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CG PET 2023
MATHS & COMPUTER SOLUTION
(In three dimensional space xyz, equation $x^2 - 5x + 6 = 0$ represents-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: दिया गया समीकरण है: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
इसे हल करने पर: $(x-2)(x-3) = 0$.
अतः, $x = 2$ और $x = 3$.
Step 2: 3D स्पेस ($xyz$) में, $x = a$ जैसा समीकरण हमेशा एक समतल (Plane) को दर्शाता है जो $yz$-तल के समानांतर होता है। यहाँ हमें $x=2$ और $x=3$ मिल रहे हैं, जो दो समानांतर समतलों को प्रदर्शित करते हैं।
(In 3D space, any equation of the form $x = constant$ represents a Plane parallel to the $yz$-plane. Since we get $x=2$ and $x=3$, they represent a pair of parallel planes.)
याद रखें! 3D स्पेस में यदि समीकरण में केवल एक ही चर (variable) हो (जैसे सिर्फ $x$), तो वह हमेशा एक समतल (Plane) को दर्शाता है। अगर 2D होता तो यह रेखा होती।
(If $p$ and $q$ are the roots of $x^2 + 2px + q - 6 = 0$, the value of $p$ equals-)
व्याख्या (Solution):
समीकरण $x^2 + 2px + (q - 6) = 0$ की तुलना $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर:
Step 1: मूलों का योग (Sum of Roots)
$p + q = -b/a = -2p$
$\Rightarrow q = -3p$ --- (समीकरण 1)
Step 2: मूलों का गुणनफल (Product of Roots)
$p \times q = c/a = q - 6$
$\Rightarrow pq = q - 6$ --- (समीकरण 2)
Step 3: हल (Solving)
समीकरण 1 से $q$ का मान समीकरण 2 में रखने पर:
$p(-3p) = -3p - 6$
$-3p^2 = -3p - 6$
दोनों तरफ -3 से भाग देने पर: $p^2 = p + 2$
$p^2 - p - 2 = 0$
$(p - 2)(p + 1) = 0$
अतः, $p = 2$ या $p = -1$।
सीधे $p = -1$ विकल्प से लेकर देखें:
अगर $p = -1$, तो समीकरण 1 से $q = -3(-1) = 3$।
अब समीकरण 2 जाँचें: $(-1)(3) = 3 - 6 \Rightarrow -3 = -3$। (सत्य है!)
अतः विकल्प B बिल्कुल सही है।
(The greatest value of $f(x) = \frac{1 - x + x^2}{1 + x + x^2}$ is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: मान लीजिए $y = \frac{1 - x + x^2}{1 + x + x^2}$
तिर्यक गुणा करने पर: $y(1 + x + x^2) = 1 - x + x^2$
$y + yx + yx^2 = 1 - x + x^2$
$(y - 1)x^2 + (y + 1)x + (y - 1) = 0$
Step 2: चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या है, इसलिए विविक्तकर (Discriminant) $D \ge 0$ होना चाहिए।
$B^2 - 4AC \ge 0$
$(y + 1)^2 - 4(y - 1)(y - 1) \ge 0$
$(y + 1)^2 - 4(y - 1)^2 \ge 0$
Step 3: इसे हल करने पर:
$((y + 1) - 2(y - 1))((y + 1) + 2(y - 1)) \ge 0$
$(-y + 3)(3y - 1) \ge 0$
$(y - 3)(3y - 1) \le 0$
अतः $y$ का मान $1/3$ और $3$ के बीच होगा: $\frac{1}{3} \le y \le 3$.
यहाँ महत्तम मान (Greatest Value) = 3 है और न्यूनतम मान = $1/3$ है।
इस प्रकार के फलन $\frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$ के लिए, यदि आप $x = -1$ रखते हैं:
$f(-1) = \frac{1 - (-1) + (-1)^2}{1 + (-1) + (-1)^2} = \frac{1 + 1 + 1}{1 - 1 + 1} = \frac{3}{1} = 3$.
यह सीधे आपको उत्तर तक पहुँचा सकता है।
(The value of $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 7x^2 + 16x - 12}{\log(x-1) \sin(x-2)}$ is equal to-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: अंश (Numerator) $x^3 - 7x^2 + 16x - 12$ का गुणनखंड करने पर हमें $(x-2)^2(x-3)$ प्राप्त होता है।
Step 2: हम जानते हैं कि जब $x \to 2$, तो:
1. $\sin(x-2) \approx (x-2)$
2. $\log(x-1) = \log(1 + (x-2)) \approx (x-2)$
Step 3: अब सीमा (Limit) में मान रखने पर:
$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)^2 (x-3)}{(x-2) \cdot (x-2)}$
$= \lim_{x \to 2} (x-3)$
$= 2 - 3 = -1$
अंश का दो बार अवकलन (double differentiation) करें क्योंकि यह $(x-2)^2$ का रूप है।
अंश का 2nd derivative: $6x - 14$। $x=2$ पर मान $= 12 - 14 = -2$।
हर का 2nd derivative $x=2$ पर $2$ आता है।
अतः $-2 / 2 = -1$।
(The value of $\int_{1/e}^{e} |\log x| dx$ is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: मापांक (Modulus) को तोड़ना
हम जानते हैं कि $\log x$ का मान $0$ से $1$ के बीच ऋणात्मक $(-)$ और $1$ से बड़े मानों के लिए धनात्मक $(+)$ होता है।
अतः सीमा को दो भागों में बांटने पर:
$I = \int_{1/e}^{1} (-\log x) dx + \int_{1}^{e} (\log x) dx$
Step 2: समाकलन (Integration)
$\int \log x dx = x \log x - x$ होता है।
$I = -[x \log x - x]_{1/e}^{1} + [x \log x - x]_{1}^{e}$
Step 3: मान रखने पर (Applying Limits)
$I = -[(1 \cdot 0 - 1) - (\frac{1}{e} \log \frac{1}{e} - \frac{1}{e})] + [(e \log e - e) - (1 \cdot 0 - 1)]$
$I = -[-1 - (-\frac{1}{e} - \frac{1}{e})] + [(e - e) - (-1)]$
$I = -[-1 + \frac{2}{e}] + [1] = 1 - \frac{2}{e} + 1$
$I = 2 - \frac{2}{e} = 2\left(1 - \frac{1}{e}\right)$
$\int |\log x| dx$ का ग्राफ देखें। $x=1$ पर यह $x$-अक्ष को छूता है। $1/e$ से $1$ तक का क्षेत्रफल और $1$ से $e$ तक का क्षेत्रफल निकालकर जोड़ दें।
Area = $|(\text{Area under } 1/e \text{ to } 1)| + (\text{Area under } 1 \text{ to } e)$।
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$\vec{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$, $\vec{c} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ का आयतन है-
(The volume of the parallelepiped whose edges are represented by the vectors $\vec{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$, $\vec{c} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: समांतर षट्फलक का आयतन अधिश त्रिक गुणनफल (Scalar Triple Product) $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन $V = | \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) |$
Step 2: इसे सारणिक (Determinant) के रूप में लिखने पर:
$V = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix}$
Step 3: सारणिक का विस्तार करने पर:
$V = 2[(2 \times 2) - (-1 \times -1)] - (-3)[(1 \times 2) - (3 \times -1)] + 4[(1 \times -1) - (3 \times 2)]$
$V = 2[4 - 1] + 3[2 + 3] + 4[-1 - 6]$
$V = 2(3) + 3(5) + 4(-7)$
$V = 6 + 15 - 28$
$V = 21 - 28 = -7$
चूंकि आयतन कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए हम इसका परिमाण (Magnitude) लेते हैं:
आयतन = $|-7| = 7$ घन इकाई।
सारणिक को हल करते समय सावधानी रखें। यदि अंत में उत्तर ऋणात्मक आए, तो उसे धनात्मक कर दें क्योंकि 'आयतन' (Volume) हमेशा Positive होता है।
(The matrix $A = \begin{bmatrix} i & 3 \\ -3 & -2i \end{bmatrix}$ is-)
व्याख्या (Solution):
1. विषम-हर्मीटीय (Skew-Hermitian) की जाँच:
एक मैट्रिक्स $A$, Skew-Hermitian होता है यदि $A^\theta = -A$ (जहाँ $A^\theta$ का अर्थ है conjugate transpose)।
$A = \begin{bmatrix} i & 3 \\ -3 & -2i \end{bmatrix}$
Conjugate $\bar{A} = \begin{bmatrix} -i & 3 \\ -3 & 2i \end{bmatrix}$
Transpose $A^\theta = (\bar{A})^T = \begin{bmatrix} -i & -3 \\ 3 & 2i \end{bmatrix}$
अब $-A = \begin{bmatrix} -i & -3 \\ 3 & 2i \end{bmatrix}$
चूंकि $A^\theta = -A$, इसलिए यह विषम-हर्मीटीय है।
2. व्युत्क्रमणीय (Non-singular) की जाँच:
एक मैट्रिक्स $A$, Non-singular होता है यदि उसका सारणिक $|A| \neq 0$ हो।
$|A| = (i)(-2i) - (3)(-3)$
$|A| = -2i^2 - (-9)$
$|A| = -2(-1) + 9 = 2 + 9 = 11$
चूंकि $|A| = 11 \neq 0$, इसलिए यह व्युत्क्रमणीय है।
Skew-Hermitian मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण (main diagonal) के तत्व हमेशा शुद्ध काल्पनिक (purely imaginary) या शून्य होते हैं। यहाँ $i$ और $-2i$ काल्पनिक हैं, जो सीधे संकेत देते हैं कि यह Skew-Hermitian हो सकता है!
(If $\frac{3 + 2i \sin\theta}{1 - 2i \sin\theta}$ is a real number and $0 < \theta < 2\pi$, then $\theta$ is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: परिमेयीकरण (Rationalization)
दी गई सम्मिश्र संख्या का हर (denominator) वास्तविक बनाने के लिए अंश और हर में $(1 + 2i \sin\theta)$ से गुणा करें:
$z = \frac{(3 + 2i \sin\theta)(1 + 2i \sin\theta)}{(1 - 2i \sin\theta)(1 + 2i \sin\theta)}$
$z = \frac{3 + 6i \sin\theta + 2i \sin\theta - 4\sin^2\theta}{1 + 4\sin^2\theta}$
$z = \frac{(3 - 4\sin^2\theta) + i(8 \sin\theta)}{1 + 4\sin^2\theta}$
Step 2: वास्तविक संख्या की शर्त
चूंकि $z$ एक वास्तविक संख्या है, इसलिए इसका काल्पनिक भाग (Imaginary part) शून्य होना चाहिए:
$\frac{8 \sin\theta}{1 + 4\sin^2\theta} = 0$
$\Rightarrow 8 \sin\theta = 0$
$\Rightarrow \sin\theta = 0$
Step 3: $\theta$ का मान ज्ञात करना
शर्त $0 < \theta < 2\pi$ के अंतर्गत $\sin\theta = 0$ केवल **$\theta = \pi$** पर होता है।
किसी भी रूप $\frac{a + bi}{c + di}$ के वास्तविक होने के लिए $ad = bc$ होना चाहिए।
यहाँ: $3(-2 \sin\theta) = (1)(2 \sin\theta)$
$-6 \sin\theta = 2 \sin\theta \Rightarrow 8 \sin\theta = 0 \Rightarrow \sin\theta = 0$।
सीधे उत्तर: $\pi$।
(If $\alpha = \sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin^{-1} \frac{1}{3}$ and $\beta = \cos^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos^{-1} \frac{1}{3}$ then-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: $\alpha$ का मान ज्ञात करना
$\alpha = \sin^{-1} (\sqrt{3}/2) + \sin^{-1} (1/3)$
$\alpha = 60^\circ + \sin^{-1} (0.33)$
चूंकि $\sin^{-1} (0.33) \approx 19.47^\circ$, इसलिए $\alpha \approx 79.47^\circ$
Step 2: $\beta$ का मान ज्ञात करना
$\beta = \cos^{-1} (\sqrt{3}/2) + \cos^{-1} (1/3)$
$\beta = 30^\circ + \cos^{-1} (0.33)$
चूंकि $\cos^{-1} (0.33) \approx 70.53^\circ$, इसलिए $\beta \approx 100.53^\circ$
Step 3: तुलना (Comparison)
स्पष्ट रूप से $79.47^\circ < 100.53^\circ$
अतः, $\alpha < \beta$
हम जानते हैं $\sin^{-1} x$ एक वर्धमान (increasing) फलन है और $\cos^{-1} x$ एक ह्रासमान (decreasing) फलन है। यहाँ $x = \sqrt{3}/2$ (बड़ी संख्या) के लिए $\sin^{-1}$ का मान बड़ा होगा, लेकिन $x = 1/3$ (छोटी संख्या) के लिए $\cos^{-1}$ का मान काफी बड़ा हो जाता है, जिससे $\beta$ का कुल मान $\alpha$ से अधिक हो जाता है।
(The order of differential equation whose solution is given by $y = (c_1 + c_2) \cos(x + c_3) - c_4 e^{x+c_5}$ is, all $c_i$ are constants-)
व्याख्या (Solution):
नियम: किसी अवकल समीकरण की कोटि (Order) उसके व्यापक हल (General Solution) में उपस्थित **स्वतंत्र अचरों (Independent Arbitrary Constants)** की संख्या के बराबर होती है।
Step 1: समीकरण को सरल करना
दिया गया हल: $y = (c_1 + c_2) \cos(x + c_3) - c_4 e^{x+c_5}$
यहाँ हम अचरों को कम कर सकते हैं:
1. $(c_1 + c_2)$ को एक नया अचर **$A$** मान सकते हैं।
2. $e^{x+c_5}$ को $e^x \cdot e^{c_5}$ लिख सकते हैं।
3. $c_4 \cdot e^{c_5}$ को एक नया अचर **$B$** मान सकते हैं।
Step 2: संशोधित समीकरण
$y = A \cos(x + c_3) - B e^x$
अब इस समीकरण में केवल **3 स्वतंत्र अचर** बचे हैं: $A$, $c_3$, और $B$।
निष्कर्ष: चूंकि स्वतंत्र अचरों की कुल संख्या 3 है, इसलिए अवकल समीकरण की कोटि भी **3** होगी।
केवल उन्हीं $c_i$ को गिनें जिन्हें आपस में जोड़ा, घटाया या गुणा करके एक नहीं बनाया जा सकता। यहाँ $(c_1+c_2)$ मिलकर 1 बना और $(c_4 \cdot e^{c_5})$ मिलकर 1 बना। तो कुल $5 - 2 = 3$ स्वतंत्र अचर बचे।
(If $z_1 = 1 - i$ and $z_2 = -2 + 4i$, then $\text{Im}\left( \frac{z_1 z_2}{\bar{z}_1} \right)$ is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: मानों को व्यवस्थित करना
दिया है: $z_1 = 1 - i$ और $z_2 = -2 + 4i$.
संयुग्मी (Conjugate) $\bar{z}_1 = 1 + i$.
Step 2: $z_1 z_2$ की गणना
$z_1 z_2 = (1 - i)(-2 + 4i) = -2 + 4i + 2i - 4i^2$
चूंकि $i^2 = -1$, इसलिए: $z_1 z_2 = -2 + 6i + 4 = 2 + 6i$.
Step 3: $\frac{z_1 z_2}{\bar{z}_1}$ का मान निकालना
$\frac{2 + 6i}{1 + i}$
हर का परिमेयीकरण करने पर: $\frac{2 + 6i}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{2 - 2i + 6i - 6i^2}{1^2 - i^2}$
$= \frac{2 + 4i + 6}{1 + 1} = \frac{8 + 4i}{2} = 4 + 2i$.
Step 4: काल्पनिक भाग ($\text{Im}$)
सम्मिश्र संख्या $4 + 2i$ का काल्पनिक भाग **$2$** है।
याद रखें $\frac{z}{\bar{z}}$ हमेशा $e^{i 2\theta}$ के रूप में होता है। यहाँ $z_1 = 1-i$ का कोणांक (argument) $-45^\circ$ है, तो $z_1/\bar{z}_1$ का कोणांक $-90^\circ$ यानी $-i$ होगा।
अतः $\text{Im}((-i) \times (-2+4i)) = \text{Im}(2i - 4i^2) = \text{Im}(4 + 2i) = 2$।
(If $\alpha$ and $\beta$ are the roots of the equation $3x^2 - 2x + 6 = 0$, then the equation whose roots are $\frac{\alpha+1}{\alpha-1}, \frac{\beta+1}{\beta-1}$ is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: रूपांतरण विधि (Transformation Method)
मान लीजिए नए समीकरण का चर $y$ है, जहाँ $y = \frac{x+1}{x-1}$.
अब $x$ का मान $y$ के पदों में निकालें:
$y(x-1) = x+1 \Rightarrow yx - y = x + 1$
$yx - x = y + 1 \Rightarrow x(y-1) = y+1$
$x = \frac{y+1}{y-1}$.
Step 2: मूल समीकरण में $x$ का मान रखना
समीकरण $3x^2 - 2x + 6 = 0$ में $x = \frac{y+1}{y-1}$ रखने पर:
$3\left(\frac{y+1}{y-1}\right)^2 - 2\left(\frac{y+1}{y-1}\right) + 6 = 0$.
Step 3: सरल करना (Simplifying)
पुरे समीकरण को $(y-1)^2$ से गुणा करने पर:
$3(y+1)^2 - 2(y+1)(y-1) + 6(y-1)^2 = 0$
$3(y^2 + 2y + 1) - 2(y^2 - 1) + 6(y^2 - 2y + 1) = 0$
$3y^2 + 6y + 3 - 2y^2 + 2 + 6y^2 - 12y + 6 = 0$
$(3-2+6)y^2 + (6-12)y + (3+2+6) = 0$
$7y^2 - 6y + 11 = 0$.
जब मूलों का रूप $\frac{x+1}{x-1}$ हो, तो गुणांकों का क्रम बदल जाता है। $a, b, c$ के स्थान पर $f(1)$ और $f(-1)$ का उपयोग करके भी आप उत्तर की जांच कर सकते हैं। $7x^2 - 6x + 11 = 0$ में $x=y$ रखने पर हमें अभीष्ट समीकरण प्राप्त होता है.
(If the straight line $y = mx$ is outside the circle $x^2 + y^2 - 20y + 90 = 0$, then-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: वृत्त का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात करना
वृत्त का समीकरण: $x^2 + y^2 - 20y + 90 = 0$
तुलना करने पर: $g = 0, f = -10, c = 90$
केंद्र ($C$) = $(0, 10)$
त्रिज्या ($r$) = $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{0 + 100 - 90} = \sqrt{10}$.
Step 2: रेखा की केंद्र से दूरी ($d$)
रेखा: $mx - y = 0$
बिंदु $(0, 10)$ से लम्बवत दूरी: $d = \frac{|m(0) - 10|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{10}{\sqrt{m^2 + 1}}$.
Step 3: बाहर होने की शर्त
यदि रेखा वृत्त के बाहर है, तो $d > r$ होना चाहिए।
$\frac{10}{\sqrt{m^2 + 1}} > \sqrt{10}$
दोनों तरफ वर्ग करने पर: $\frac{100}{m^2 + 1} > 10$
$10 > m^2 + 1 \Rightarrow m^2 < 9$
अतः, **$|m| < 3$**.
सीधे $m=0$ (यानी $y=0$ अक्ष) रखकर देखें। क्या यह वृत्त के बाहर है? हाँ, क्योंकि वृत्त $y$-अक्ष पर ऊपर की ओर है। चूंकि $m=0$ इस शर्त को संतुष्ट करता है, इसलिए उत्तर $|m| < 3$ ही होना चाहिए क्योंकि अन्य विकल्प $m=0$ को शामिल नहीं करते।
(The process of Newton-Raphson is-)
व्याख्या (Solution):
न्यूटन-राफसन विधि (Newton-Raphson Method): यह विधि किसी समीकरण के वास्तविक मूल (roots) ज्ञात करने के लिए उपयोग की जाती है।
अभिसारिता की दर (Rate of Convergence):
न्यूटन-राफसन विधि की सबसे बड़ी विशेषता यह है कि इसकी अभिसारिता द्विघातीय (Quadratic) होती है। इसका अर्थ यह है कि प्रत्येक अगले चरण (iteration) में त्रुटि (error) पिछले चरण की त्रुटि के वर्ग के समानुपाती होती है ($e_{n+1} \approx k \cdot e_n^2$)।
निष्कर्ष: सरल शब्दों में, यह विधि मूल (root) के करीब पहुँचने पर बहुत तेज़ी से परिणाम देती है, इसलिए इसे द्विघातीय अभिसारी (Quadratic convergent) कहा जाता है।
याद रखें:
1. Bisection Method: Linear convergent (Order 1)
2. Secant Method: Order 1.618
3. Newton-Raphson: Quadratic convergent (Order 2)
(For what value of $\lambda$ is $(A^{-1} - \lambda I)$ singular, if $A = \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$ and $I$ is the third order unit matrix?)
व्याख्या (Solution):
Step 1: मुख्य सिद्धांत
यदि $(A^{-1} - \lambda I)$ अव्युत्क्रमणीय (Singular) है, तो $\lambda$, आव्यूह $A^{-1}$ का एक अभिलाक्षणिक मान (Eigenvalue) है।
हम जानते हैं कि यदि $k$ आव्यूह $A$ का Eigenvalue है, तो $1/k$, आव्यूह $A^{-1}$ का Eigenvalue होगा।
Step 2: $A$ के Eigenvalues ज्ञात करना
अभिलाक्षणिक समीकरण $|A - kI| = 0$ से:
$\begin{vmatrix} 6-k & -2 & 2 \\ -2 & 3-k & -1 \\ 2 & -1 & 3-k \end{vmatrix} = 0$
इसे हल करने पर हमें $k = 2, 2, 8$ प्राप्त होता है।
Step 3: $A^{-1}$ के Eigenvalues ($\lambda$)
अतः $A^{-1}$ के Eigenvalues होंगे: $1/2, 1/2, 1/8$।
विकल्पों में **$1/2$** दिया गया है।
याद रखें: $\text{Eigenvalue}(A^{-1}) = \frac{1}{\text{Eigenvalue}(A)}$। बस $A$ के Eigenvalues निकालें और उनका उल्टा (reciprocal) कर दें। $A$ का एक Eigenvalue $2$ है, इसलिए $\lambda = 1/2$ होगा।
(The area bounded by the curve $y^2 = 4a^2(x - 1)$ and the lines $x = 1$, $y = 4a$ is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: वक्र समीकरण
वक्र $y^2 = 4a^2(x - 1)$ को $x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{y^2}{4a^2} + 1$
Step 2: क्षेत्रफल (Area) $y$-अक्ष के सापेक्ष
रेखा $x = 1$ और वक्र के बीच $y = 0$ से $y = 4a$ तक का क्षेत्रफल:
Area $= \int_{0}^{4a} (x - 1) dy$
Step 3: गणना (Calculation)
Area $= \int_{0}^{4a} \frac{y^2}{4a^2} dy = \frac{1}{4a^2} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{4a}$
$= \frac{1}{4a^2} \times \frac{(4a)^3}{3}$
$= \frac{1}{4a^2} \times \frac{64a^3}{3} = \frac{16a}{3}$
याद रखें: यदि समाकलन $y^2/k$ का हो रहा है, तो सीमा $h$ तक का क्षेत्रफल $\frac{1}{k} \cdot \frac{h^3}{3}$ होता है। यहाँ $k=4a^2$ और $h=4a$ रखने पर सीधे $16a/3$ प्राप्त होता है।
(If $b_{yx}$ and $b_{xy}$ are both positive, then-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: मुख्य गुणधर्म (Key Property)
हम जानते हैं कि सहसंबंध गुणांक $r$, प्रतिगमन गुणांकों $b_{yx}$ और $b_{xy}$ का गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) होता है:
$r^2 = b_{yx} \times b_{xy}$ या $r = \sqrt{b_{yx} \cdot b_{xy}}$.
Step 2: AM-GM संबंध का उपयोग
गणित के मूलभूत नियम के अनुसार, समांतर माध्य (Arithmetic Mean) हमेशा गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) से बड़ा या बराबर होता है ($AM \ge GM$)।
$\frac{b_{yx} + b_{xy}}{2} \ge \sqrt{b_{yx} \cdot b_{xy}} = r$.
Step 3: व्युत्क्रम संबंध (Reciprocal Relation)
इसी प्रकार, यदि हम $1/b_{yx}$ और $1/b_{xy}$ का समांतर माध्य लें, तो वह भी एक निश्चित संबंध का पालन करता है। सांख्यिकी के विशिष्ट गुणधर्म के अनुसार, प्रतिगमन गुणांकों के व्युत्क्रम का योग हमेशा सहसंबंध गुणांक के दोगुने व्युत्क्रम से बड़ा या बराबर होता है।
$\frac{1}{b_{yx}} + \frac{1}{b_{xy}} \ge \frac{2}{r}$.
याद रखें: $AM \ge GM \ge HM$।
चूंकि $r$ गुणोत्तर माध्य है, इसलिए कोई भी समांतर माध्य ($AM$) वाला पद $r$ से बड़ा होगा। व्युत्क्रमों का योग ($1/b$) हमेशा $\ge 2/r$ की शर्त को पूरा करता है।
(In a conference, every delegate shakes hands with every other delegate. If 300 handshakes have been counted, the number of delegates participated in the conference is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: सूत्र (Formula)
यदि किसी समूह में $n$ व्यक्ति हैं और प्रत्येक व्यक्ति एक-दूसरे से हाथ मिलाता है, तो कुल हाथ मिलाने की संख्या $^nC_2$ होती है।
कुल हाथ मिलाना $= \frac{n(n-1)}{2}$.
Step 2: समीकरण बनाना
प्रश्न के अनुसार, कुल हाथ मिलाना $= 300$.
$\frac{n(n-1)}{2} = 300$
$n(n-1) = 600$.
Step 3: हल करना
हमें ऐसी दो क्रमागत संख्याएं (consecutive numbers) ढूंढनी हैं जिनका गुणनफल $600$ हो।
हम जानते हैं कि $25 \times 24 = 600$.
अतः, $n = 25$.
विकल्पों का उपयोग करें!
यदि $n=25$, तो $\frac{25 \times 24}{2} = 25 \times 12 = 300$.
यह सीधे प्रश्न की शर्त को पूरा करता है।
(Degree of differential equation $\frac{d^3y}{dx^3} - 7\left(\frac{dy}{dx}\right)^4 - \sqrt{x} = 0$ is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: कोटि (Order) पहचानना
दिए गए समीकरण में उच्चतम अवकलज (highest derivative) $\frac{d^3y}{dx^3}$ है।
अतः इस समीकरण की कोटि (Order) 3 है।
Step 2: घात (Degree) की परिभाषा
किसी अवकल समीकरण की घात, उसमें मौजूद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात (power) होती है, बशर्ते समीकरण अवकलजों के संदर्भ में एक बहुपद (polynomial) हो।
Step 3: गणना
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ है और इसकी घात **1** है।
हालाँकि $(\frac{dy}{dx})$ की घात 4 है, लेकिन हम हमेशा सबसे बड़े डेरिवेटिव की घात को ही देखते हैं।
भ्रमित न हों! सबसे बड़े 'D' ($\frac{d^3y}{dx^3}$) को ढूंढें और उसकी खोपड़ी पर जो नंबर (power) लिखा है, वही आपकी 'घात' है। यहाँ $\frac{d^3y}{dx^3}$ की पावर कुछ नहीं यानी 1 है।
($\lim_{x \to \infty} \frac{\text{cosec}^{-1}x}{\cot^{-1}x}$ is equal to-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: सीमा का रूप पहचानना
जब $x \to \infty$, तो:
$\text{cosec}^{-1}(\infty) = \sin^{-1}(1/\infty) = \sin^{-1}(0) = 0$.
$\cot^{-1}(\infty) = 0$.
अतः यह $\frac{0}{0}$ का अनिश्चित रूप है।
Step 2: L'Hospital के नियम का उपयोग
अंश और हर का अलग-अलग अवकलन (differentiation) करने पर:
अंश का अवकलन: $\frac{d}{dx}(\text{cosec}^{-1}x) = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
हर का अवकलन: $\frac{d}{dx}(\cot^{-1}x) = \frac{-1}{1+x^2}$
Step 3: सीमा की गणना
$\lim_{x \to \infty} \frac{-1/x\sqrt{x^2-1}}{-1/(1+x^2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{1+x^2}{x\sqrt{x^2-1}}$
$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2(1/x^2 + 1)}{x^2\sqrt{1 - 1/x^2}} = \frac{0 + 1}{\sqrt{1 - 0}} = 1$.
बहुत बड़े $x$ के लिए, $\text{cosec}^{-1}x \approx \sin^{-1}(1/x) \approx 1/x$ और $\cot^{-1}x \approx \tan^{-1}(1/x) \approx 1/x$ होता है।
इसलिए, $\frac{1/x}{1/x} = 1$। यह सबसे तेज़ तरीका है!
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(A unit vector perpendicular to both $\hat{i} + \hat{j}$ and $\hat{j} + \hat{k}$ is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: सदिश गुणनफल (Cross Product)
दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के लंबवत सदिश $\vec{V} = \vec{A} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{A} = \hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{B} = 0\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-0) - \hat{j}(1-0) + \hat{k}(1-0) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
Step 2: परिमाण (Magnitude) ज्ञात करना
लंबवत सदिश का परिमाण $|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
Step 3: इकाई सदिश (Unit Vector)
अभीष्ट इकाई सदिश $= \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$.
विकल्पों का उपयोग करें (Dot Product Test)!
सही उत्तर वह होगा जिसका दिए गए सदिशों के साथ डॉट प्रोडक्ट शून्य (0) हो।
$(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 1 - 1 = 0$.
$(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{j} + \hat{k}) = -1 + 1 = 0$.
यह शर्त केवल विकल्प B द्वारा पूरी होती है।
(Area bounded by the curves $y = |x|$, $y = |x - 1|$ and $x$-axis is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: प्रतिच्छेद बिंदु (Intersection Point)
दोनों वक्रों का मिलान बिंदु ज्ञात करने के लिए: $|x| = |x - 1|$
वर्ग करने पर: $x^2 = (x - 1)^2 \Rightarrow x^2 = x^2 - 2x + 1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 1/2$.
जब $x = 1/2$, तब $y = |1/2| = 1/2$. अतः प्रतिच्छेद बिंदु $(1/2, 1/2)$ है।
Step 2: ग्राफ समझना
* वक्र $y = |x|$, बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है।
* वक्र $y = |x - 1|$, बिंदु $(1, 0)$ से गुजरता है।
* ये दोनों $x = 1/2$ पर मिलते हैं।
इससे $x$-अक्ष के साथ एक त्रिभुज बनता है जिसके शीर्ष $(0, 0)$, $(1, 0)$ और $(1/2, 1/2)$ हैं।
Step 3: क्षेत्रफल की गणना
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार (Base)} \times \text{ऊंचाई (Height)}$
आधार = $0$ से $1$ तक की दूरी $= 1$.
ऊंचाई = प्रतिच्छेद बिंदु का $y$-निर्देशांक $= 1/2$.
Area $= \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
याद रखें, यदि दो मापांक फलन $|x-a|$ और $|x-b|$ हैं, तो उनके और $x$-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल $\frac{1}{4}(b-a)^2$ होता है।
यहाँ $a=0, b=1$, तो Area $= \frac{1}{4}(1-0)^2 = 1/4$।
(If $\phi(x) = f(x) + f(1 - x)$, $f''(x) < 0$ for $0 \le x \le 1$ then-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: प्रथम अवकलज ($\phi'(x)$) ज्ञात करना
$\phi(x) = f(x) + f(1 - x)$
$\phi'(x) = f'(x) + f'(1 - x) \cdot (-1) = f'(x) - f'(1 - x)$.
Step 2: फलन के व्यवहार का विश्लेषण
दिया है $f''(x) < 0$, इसका अर्थ है कि $f'(x)$ एक ह्रासमान (decreasing) फलन है।
अंतराल $0 \le x < 1/2$ में:
$x < 1 - x \Rightarrow f'(x) > f'(1 - x)$ (क्योंकि $f'$ ह्रासमान है)।
अतः, $\phi'(x) = f'(x) - f'(1 - x) > 0$.
Step 3: निष्कर्ष
चूंकि $[0, 1/2]$ में $\phi'(x) > 0$ है, इसलिए $\phi(x)$ इस अंतराल में एक वृद्धिमान (increasing) फलन है।
$f''(x) < 0$ का मतलब ग्राफ 'concave down' (उल्टा कटोरा) है। $\phi(x)$ दो ऐसे ग्राफों का योग है जो एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब हैं। $x=1/2$ पर सममिति (symmetry) के कारण, ग्राफ $x=1/2$ तक बढ़ेगा और फिर घटेगा। अतः $0$ से $1/2$ में यह वृद्धिमान होगा।
(The equation $e^{x-1} + x - 2 = 0$ has-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: फलन मान लेना
माना $f(x) = e^{x-1} + x - 2$.
Step 2: फलन के व्यवहार की जाँच ($f'(x)$)
अवकलन करने पर: $f'(x) = e^{x-1} + 1$.
चूँकि $e^{x-1}$ का मान हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए $f'(x) > 0$ सभी वास्तविक $x$ के लिए।
इसका अर्थ है कि $f(x)$ एक सतत वर्धमान (strictly increasing) फलन है।
Step 3: मूलों की संख्या
एक सतत वर्धमान फलन $x$-अक्ष को अधिकतम **एक ही बार** काट सकता है।
यदि हम $x=1$ रखें: $f(1) = e^0 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$.
अतः $x=1$ इसका एकमात्र वास्तविक मूल है।
निरीक्षण विधि (Observation Method):
समीकरण में $x=1$ रखने पर $e^0 + 1 - 2 = 0$ मिल जाता है। चूँकि बाएँ पक्ष में $e^{x-1}$ और $x$ दोनों ही $x$ के बढ़ने के साथ बढ़ते हैं, इसलिए यह फलन दोबारा कभी शून्य नहीं हो सकता। सीधे उत्तर: 1 वास्तविक मूल।
($\frac{\cos 9^\circ + \sin 9^\circ}{\cos 9^\circ - \sin 9^\circ}$ is equal to-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: $\cos 9^\circ$ से भाग देना
अंश (Numerator) और हर (Denominator) दोनों को $\cos 9^\circ$ से भाग देने पर:
$= \frac{\frac{\cos 9^\circ}{\cos 9^\circ} + \frac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ}}{\frac{\cos 9^\circ}{\cos 9^\circ} - \frac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ}}$
Step 2: $\tan$ के रूप में रूपांतरण
$= \frac{1 + \tan 9^\circ}{1 - \tan 9^\circ}$
Step 3: सूत्र का उपयोग
हम जानते हैं कि $\tan 45^\circ = 1$ होता है। अतः इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$= \frac{\tan 45^\circ + \tan 9^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 9^\circ}$
यह $\tan(A + B)$ का सूत्र है, जहाँ $A = 45^\circ$ और $B = 9^\circ$ है।
Step 4: अंतिम उत्तर
$= \tan(45^\circ + 9^\circ) = \tan 54^\circ$.
याद रखें! $\frac{\cos \theta + \sin \theta}{\cos \theta - \sin \theta} = \tan(45^\circ + \theta)$ होता है।
यहाँ $\theta = 9^\circ$ है, तो सीधे $45 + 9 = 54^\circ$।
(यदि नीचे प्लस और ऊपर माइनस होता, तो $\tan(45^\circ - \theta)$ होता)।
(If $\cos^{-1}\left( \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} \right) = \log z$ then $\frac{dy}{dx}$ is equal to-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: प्रतिस्थापन (Substitution)
माना $y = x \tan\theta$। तब $\tan\theta = y/x$।
अब बाएँ पक्ष के व्यंजक में मान रखने पर:
$\frac{x^2 - x^2 \tan^2\theta}{x^2 + x^2 \tan^2\theta} = \frac{1 - \tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta} = \cos 2\theta$.
Step 2: समीकरण को सरल करना
समीकरण बना: $\cos^{-1}(\cos 2\theta) = \log z$
$\Rightarrow 2\theta = \log z$
$\Rightarrow 2 \tan^{-1}(y/x) = \log z$ (चूँकि $\theta = \tan^{-1}(y/x)$)।
Step 3: $x$ के सापेक्ष अवकलन (Differentiation)
चूँकि $\log z$ एक अचर (constant) की तरह व्यवहार करेगा क्योंकि $z$ चर $x$ और $y$ से स्वतंत्र है (या एक फलन माना जा सकता है जिसका अवकलन अंत में शून्य परिणाम दे):
$\frac{d}{dx} [2 \tan^{-1}(y/x)] = 0$
$2 \cdot \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(y/x) = 0$
$\frac{2x^2}{x^2 + y^2} \cdot \left[ \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2} \right] = 0$.
Step 4: अंतिम गणना
$x \frac{dy}{dx} - y = 0$
$x \frac{dy}{dx} = y \Rightarrow \frac{dy}{dx} = y/x$.
याद रखें! यदि कोई समीकरण $f(y/x) = \text{constant}$ के रूप में है, तो उसका अवकलज $\frac{dy}{dx}$ हमेशा **$y/x$** ही आता है। यहाँ $\cos^{-1}$ के अंदर का पद $y/x$ का एक फलन है और दायां पक्ष अचर है।
(If $\cos x - \sin x \ge 1$ and $0 \le x \le 2\pi$ then the solution set for $x$ is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: असमिका का विश्लेषण
हमें वह अंतराल चाहिए जहाँ $\cos x - \sin x \ge 1$ हो।
Step 2: मुख्य बिंदुओं पर जाँच (Checking Critical Points)
1. $x = 0$ पर: $\cos 0 - \sin 0 = 1 - 0 = 1$ (सत्य)
2. $x = 3\pi/2$ पर: $\cos(270^\circ) - \sin(270^\circ) = 0 - (-1) = 1$ (सत्य)
3. $x = 2\pi$ पर: $\cos(360^\circ) - \sin(360^\circ) = 1 - 0 = 1$ (सत्य)
Step 3: ग्राफिकल व्यवहार
चौथे चतुर्थांश (Fourth Quadrant) में यानी $270^\circ$ ($3\pi/2$) से $360^\circ$ ($2\pi$) के बीच, $\cos x$ धनात्मक होता है और $\sin x$ ऋणात्मक होता है।
अतः $(\cos x - \sin x)$ का मान हमेशा $1$ या उससे अधिक बना रहता है।
निष्कर्ष: अंतराल $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ के साथ बिंदु $\{0\}$ को मिलाने पर हमें पूर्ण हल समुच्चय प्राप्त होता है।
विकल्पों का परीक्षण करें! $x = 3\pi/2$ रखने पर परिणाम $1$ आता है, जो शर्त को पूरा करता है। विकल्प A और D में $3\pi/2$ शामिल नहीं है, इसलिए C सबसे व्यापक और सही विकल्प है।
(When $ax + by + cz = p$, then the minimum value of $x^2 + y^2 + z^2$ is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: Cauchy-Schwarz असमिका का उपयोग
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या के समूह के लिए:
$(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) \ge (ax + by + cz)^2$
Step 2: मानों को प्रतिस्थापित करना
दिया गया है: $ax + by + cz = p$.
अतः, $(\Sigma a^2)(x^2 + y^2 + z^2) \ge p^2$.
Step 3: न्यूनतम मान ज्ञात करना
$x^2 + y^2 + z^2 \ge \frac{p^2}{\Sigma a^2}$
अतः, न्यूनतम मान (Minimum value) = $\frac{p^2}{\Sigma a^2}$.
याद रखें: मूल बिंदु (origin) से समतल (plane) $ax+by+cz=p$ की लम्बवत दूरी का वर्ग ही $x^2+y^2+z^2$ का न्यूनतम मान होता है।
दूरी $d = \frac{|p|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
दूरी का वर्ग $= \frac{p^2}{a^2+b^2+c^2} = \frac{p^2}{\Sigma a^2}$।
(A computer can execute-)
व्याख्या (Solution):
- एल्गोरिथम (Algorithm): यह किसी समस्या को हल करने के लिए "चरण-दर-चरण" निर्देश होते हैं, जो मानव भाषा या सरल शब्दों में लिखे जाते हैं।
- फ्लो चार्ट (Flow Chart): यह एल्गोरिथम का एक चित्रात्मक या ग्राफिकल रूप है।
- प्रोग्राम (Programme): जब एक एल्गोरिथम को ऐसी भाषा (जैसे C, C++, Python) में लिखा जाता है जिसे कंप्यूटर समझ सके, तो उसे प्रोग्राम कहते हैं।
निष्कर्ष: कंप्यूटर केवल उन्हीं निर्देशों को सीधे निष्पादित (execute) कर सकता है जो प्रोग्राम के रूप में उसे दिए जाते हैं। एल्गोरिथम और फ्लो चार्ट केवल प्रोग्राम लिखने की योजना बनाने के उपकरण हैं, कंप्यूटर उन्हें सीधे नहीं चला सकता।
Algorithm + Data Structure = Programme.
कंप्यूटर केवल 'Programme' को ही 'Execute' करता है।
(If $\sin \theta_1 - \sin \theta_2 = a$ and $\cos \theta_1 + \cos \theta_2 = b$, then-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: दिए गए समीकरणों का वर्ग करके जोड़ना
$a^2 + b^2 = (\sin \theta_1 - \sin \theta_2)^2 + (\cos \theta_1 + \cos \theta_2)^2$
$= (\sin^2 \theta_1 + \sin^2 \theta_2 - 2 \sin \theta_1 \sin \theta_2) + (\cos^2 \theta_1 + \cos^2 \theta_2 + 2 \cos \theta_1 \cos \theta_2)$
Step 2: सर्वसमिका ($\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$) का उपयोग
$= (\sin^2 \theta_1 + \cos^2 \theta_1) + (\sin^2 \theta_2 + \cos^2 \theta_2) + 2(\cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2)$
$= 1 + 1 + 2 \cos(\theta_1 + \theta_2)$
$= 2 + 2 \cos(\theta_1 + \theta_2)$
Step 3: सीमांत मान (Boundaries)
हम जानते हैं कि $\cos$ फलन का अधिकतम मान $1$ होता है।
अतः, $a^2 + b^2 = 2 + 2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \le 2 + 2(1)$
$a^2 + b^2 \le 4$.
विशेष कोण मान लें!
माना $\theta_1 = 0^\circ$ और $\theta_2 = 0^\circ$।
तब $a = \sin 0 - \sin 0 = 0$ और $b = \cos 0 + \cos 0 = 2$।
यहाँ $a^2 + b^2 = 0^2 + 2^2 = 4$।
चूंकि यह अधिकतम संभव मानों में से एक है, उत्तर $\le 4$ ही होगा।
(The probability that A speaks truth is $4/5$, B speaks truth is $3/4$. The probability they contradict each other is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: सच और झूठ की प्रायिकता ज्ञात करना
* A के सच बोलने की प्रायिकता $P(A) = 4/5$, तो झूठ बोलने की $P(\bar{A}) = 1 - 4/5 = 1/5$.
* B के सच बोलने की प्रायिकता $P(B) = 3/4$, तो झूठ बोलने की $P(\bar{B}) = 1 - 3/4 = 1/4$.
Step 2: विपरीत (Contradict) होने की स्थिति
वे एक-दूसरे का विरोध तब करेंगे जब:
1. A सच बोले और B झूठ बोले (Case 1)
2. A झूठ बोले और B सच बोले (Case 2)
Step 3: कुल प्रायिकता की गणना
अभीष्ट प्रायिकता $= P(A)P(\bar{B}) + P(\bar{A})P(B)$
$= (4/5 \times 1/4) + (1/5 \times 3/4)$
$= 4/20 + 3/20$
$= 7/20$.
सीधे गुणा करें: (सच A $\times$ झूठ B) + (झूठ A $\times$ सच B)
$(4/5 \times 1/4) + (1/5 \times 3/4) = 4/20 + 3/20 = 7/20$।
बिना पेन उठाए हर (denominator) 20 सेट करें और अंश जोड़ दें।
($\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi \cos^2 x)}{x^2}$ is equal to-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: त्रिकोणमितीय रूपांतरण
हम जानते हैं कि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
अतः अंश को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\sin(\pi(1 - \sin^2 x)) = \sin(\pi - \pi \sin^2 x)$.
Step 2: $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग
$\sin(\pi - \pi \sin^2 x) = \sin(\pi \sin^2 x)$.
Step 3: सीमा की गणना
अब व्यंजक है: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{x^2}$
इसे मानक सीमा (Standard Limit) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{\pi \sin^2 x} \times \frac{\pi \sin^2 x}{x^2}$
$= 1 \times \pi \times \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2$
$= 1 \times \pi \times (1)^2 = \pi$.
$\frac{0}{0}$ रूप होने पर अवकलन करें:
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(\pi \cos^2 x) \cdot \pi(2 \cos x)(-\sin x)}{2x}$
$\lim_{x \to 0} \cos(\pi \cos^2 x) \cdot (-\pi \cos x) \cdot \left( \frac{\sin x}{x} \right)$
$= \cos(\pi) \cdot (-\pi \cdot 1) \cdot (1) = (-1) \cdot (-\pi) = \pi$।
(Line $2x + y - 9 = 0$, which of the following is the normal of the parabola?)
व्याख्या (Solution):
Step 1: रेखा की प्रवणता (Slope)
दी गई रेखा: $2x + y - 9 = 0 \Rightarrow y = -2x + 9$
यहाँ $m = -2$ और $c = 9$ है।
Step 2: अभिलम्ब की शर्त
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए अभिलम्ब की शर्त होती है: $c = -2am - am^3$
Step 3: $a$ का मान ज्ञात करना
मान रखने पर: $9 = -2a(-2) - a(-2)^3$
$9 = 4a + 8a$
$9 = 12a \Rightarrow a = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$
Step 4: परवलय का समीकरण
अभीष्ट परवलय: $y^2 = 4ax = 4 \times \left(\frac{3}{4}\right)x$
$\mathbf{y^2 = 3x}$
हमेशा याद रखें, यदि रेखा $y = mx + c$ परवलय $y^2 = 4ax$ का अभिलम्ब है, तो $c$ का मान $a$ के समानुपाती होता है। यहाँ $a=3/4$ निकलने पर सीधे विकल्प D सही हो जाता है।
(A typical modern computer uses-)
व्याख्या (Solution):
आधुनिक कंप्यूटर की तकनीक:
आधुनिक कंप्यूटरों में अर्धचालक (semiconductor) तकनीक का उपयोग किया जाता है, जिसमें हजारों ट्रांजिस्टर एक छोटी सी चिप पर एकीकृत होते हैं।
- LSI (Large Scale Integration): यह वह तकनीक है जिसमें एक ही चिप पर हजारों इलेक्ट्रॉनिक घटक (components) लगाए जाते हैं। आधुनिक कंप्यूटरों में इसी का उन्नत रूप VLSI (Very Large Scale Integration) भी उपयोग होता है।
- चुंबकीय कोर और टेप: चुंबकीय कोर का उपयोग बहुत पुराने (जैसे दूसरी पीढ़ी के) कंप्यूटरों की मेमोरी में किया जाता था। चुंबकीय टेप का उपयोग डेटा स्टोरेज (secondary storage) के लिए होता है, प्राथमिक मेमोरी (RAM) के लिए नहीं।
आधुनिक कंप्यूटर की चौथी पीढ़ी (4th Generation) मुख्य रूप से **LSI** और **VLSI** तकनीक पर आधारित है, जिसने कंप्यूटर के आकार को बहुत छोटा और गति को बहुत तेज़ बना दिया है।
(If the points $(1, 3)$ and $(5, 1)$ are two opposite vertices of a rectangle and the other two vertices lie on the line $y = 2x + c$, then the value of $c$ is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: आयत का गुणधर्म
एक आयत के विकर्ण (diagonals) एक-दूसरे को मध्य बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः विपरीत शीर्षों का मध्य बिंदु ही दूसरे विकर्ण का भी मध्य बिंदु होगा।
Step 2: मध्य बिंदु की गणना
बिंदु $(1, 3)$ और $(5, 1)$ का मध्य बिंदु $M$:
$M = \left( \frac{1+5}{2}, \frac{3+1}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{4}{2} \right) = (3, 2)$
Step 3: रेखा के समीकरण में मान रखना
चूँकि शेष दो शीर्ष रेखा $y = 2x + c$ पर हैं, इसलिए यह मध्य बिंदु $(3, 2)$ भी इसी रेखा पर स्थित होगा।
समीकरण में $x=3$ और $y=2$ रखने पर:
$2 = 2(3) + c$
$2 = 6 + c$
$c = 2 - 6 = -4$
याद रखें, किसी भी समांतर चतुर्भुज (Parallelogram), आयत या वर्ग के लिए, विपरीत शीर्षों का मध्य बिंदु हमेशा समान होता है। मध्य बिंदु $(3, 2)$ निकालें और उसे सीधे रेखा के समीकरण में पुट कर दें!
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(One root of the equation $x^3 - 5x + 1 = 0$ must lie in the interval-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: फलन को परिभाषित करना
माना $f(x) = x^3 - 5x + 1$.
Step 2: अंतराल के अंत-बिंदुओं पर मान की जाँच
यदि किसी अंतराल $(a, b)$ में $f(a)$ और $f(b)$ के चिह्न (sign) विपरीत हों, तो उस अंतराल में कम से कम एक मूल अवश्य होता है।
- 👉 अंतराल (0, 1) के लिए:
$f(0) = 0^3 - 5(0) + 1 = +1$ ($> 0$)
$f(1) = 1^3 - 5(1) + 1 = 1 - 5 + 1 = -3$ ($< 0$)
Step 3: निष्कर्ष
चूंकि $f(0)$ धनात्मक है और $f(1)$ ऋणात्मक है, इसलिए $x=0$ और $x=1$ के बीच ग्राफ कम से कम एक बार $x$-अक्ष को काटेगा।
अतः, समीकरण का एक मूल अंतराल **$(0, 1)$** में स्थित है।
बस विकल्पों के मान समीकरण में रखें। जहाँ उत्तर का चिह्न बदल जाए (प्लस से माइनस या उल्टा), वही आपका सही अंतराल है!
(A finite sequence of steps needed to solve a problem is called-)
व्याख्या (Solution):
एल्गोरिथम की परिभाषा:
कंप्यूटर विज्ञान में, किसी विशिष्ट कार्य को पूरा करने या किसी समस्या को हल करने के लिए निर्देशों के एक सुव्यवस्थित और परिमित (finite) समूह को एल्गोरिथम कहा जाता है।
- 👉 फ्लो चार्ट: यह एल्गोरिथम का एक चित्रात्मक (graphical) प्रतिनिधित्व होता है।
- 👉 प्रक्रिया: यह केवल एक क्रिया है जो चल रही है, जबकि एल्गोरिथम निर्देशों की वह सूची है जो उस प्रक्रिया को परिभाषित करती है।
अतः, समस्या समाधान के निश्चित चरणों के क्रम को एल्गोरिथम कहते हैं।
एक अच्छे एल्गोरिथम में तीन मुख्य गुण होने चाहिए: वह सटीक हो, उसके चरण परिमित (finite) हों और वह एक निश्चित परिणाम तक पहुँचाता हो।
(The vectors $3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$, $2\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$ and $5\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ form the sides of a triangle which is-)
व्याख्या (Solution):
त्रिभुज की तीनों भुजाओं के सदिश निम्न हैं:
$\vec{a} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{b} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$
$\vec{c} = 5\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
भुजाओं का परिमाण (Magnitudes):
$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 25 + 4} = \sqrt{38}$
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}$
$|\vec{c}| = \sqrt{5^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 4 + 9} = \sqrt{38}$
चूंकि तीनों भुजाओं की लंबाई आपस में बराबर ($|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = \sqrt{38}$) है, इसलिए यह त्रिभुज समबाहु (Equilateral) है।
(If the sum of two unit vectors is a vector of magnitude $\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$, then the angle between the two given vectors is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: सूत्र का उपयोग
माना दो इकाई सदिश $\hat{u}$ और $\hat{v}$ हैं ($|\hat{u}| = |\hat{v}| = 1$)। उनके योग का परिमाण निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$|\hat{u} + \hat{v}|^2 = |\hat{u}|^2 + |\hat{v}|^2 + 2|\hat{u}||\hat{v}| \cos \theta$
Step 2: मानों को प्रतिस्थापित करना
दिया है: $|\hat{u} + \hat{v}| = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
वर्ग करने पर: $\left(\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)^2 = 1 + 1 + 2(1)(1) \cos \theta$
$\frac{1 + 3 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + 2 \cos \theta$
$\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + 2 \cos \theta$
$2 + \sqrt{3} = 2 + 2 \cos \theta$
Step 3: $\theta$ का मान ज्ञात करना
$\sqrt{3} = 2 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
चूंकि $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, अतः $\theta = 30^\circ = \pi/6$।
याद रखें: दो इकाई सदिशों के योग का परिमाण $2 \cos(\theta/2)$ होता है।
$2 \cos(\theta/2) = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \Rightarrow \cos(\theta/2) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$
हम जानते हैं कि $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ होता है।
अतः $\theta/2 = 15^\circ \Rightarrow \theta = 30^\circ = \pi/6$।
(Function $y = \frac{x}{\log x}$ increases in the interval-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: अवकलन (Differentiation) करना
दिया है: $y = \frac{x}{\log x}$।
भागफल नियम (Quotient Rule) का उपयोग करते हुए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(\log x) \cdot \frac{d}{dx}(x) - x \cdot \frac{d}{dx}(\log x)}{(\log x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{(\log x) \cdot 1 - x \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$
Step 2: वृद्धिमान होने की शर्त
एक फलन वृद्धिमान (increasing) होता है यदि $\frac{dy}{dx} > 0$।
अतः, $\frac{\log x - 1}{(\log x)^2} > 0$
Step 3: अंतराल ज्ञात करना
चूंकि हर $(\log x)^2$ हमेशा धनात्मक होता है (यदि $x \ne 1$), इसलिए:
$\log x - 1 > 0 \Rightarrow \log x > 1$
$\log_e x > \log_e e \Rightarrow x > e$
अतः फलन अंतराल **$(e, \infty)$** में वृद्धिमान होगा।
याद रखें: जब $x=e$ होता है, तो $\log e = 1$ होता है और डेरिवेटिव शून्य हो जाता है। $e$ से बड़े मानों के लिए $\log x$ का मान $1$ से बड़ा होगा, जिससे $\frac{dy}{dx}$ धनात्मक बना रहेगा।
(Let $\vec{A} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$; $\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{k}$. The vector $\vec{C}$ is coplanar with $\vec{A}$ and $\vec{B}$. If $\vec{C}$ and $\vec{B}$ are orthogonal and $\vec{C} \cdot \vec{A} = -76$ then $\vec{C}$ is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: समतलीय सदिश का रूप
चूंकि $\vec{C}$, $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के साथ समतलीय है, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\vec{C} = \lambda \vec{A} + \mu \vec{B}$
$\vec{C} = \lambda(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 3\hat{k}) = (2\mu - \lambda)\hat{i} + \lambda\hat{j} + (3\mu + \lambda)\hat{k}$
Step 2: लंबकोणीय (Orthogonal) शर्त लागू करना
दिया है $\vec{C} \cdot \vec{B} = 0$:
$(2\mu - \lambda)(2) + (\lambda)(0) + (3\mu + \lambda)(3) = 0$
$4\mu - 2\lambda + 9\mu + 3\lambda = 0 \Rightarrow 13\mu + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -13\mu$
Step 3: $\vec{C} \cdot \vec{A} = -76$ शर्त लागू करना
$\vec{C} \cdot \vec{A} = (2\mu - \lambda)(-1) + (\lambda)(1) + (3\mu + \lambda)(1) = -76$
$-2\mu + \lambda + \lambda + 3\mu + \lambda = -76 \Rightarrow \mu + 3\lambda = -76$
$\lambda = -13\mu$ रखने पर: $\mu + 3(-13\mu) = -76 \Rightarrow \mu - 39\mu = -76$
$-38\mu = -76 \Rightarrow \mu = 2$
Step 4: अंतिम सदिश ज्ञात करना
यदि $\mu = 2$, तो $\lambda = -13(2) = -26$।
$\vec{C} = (2(2) - (-26))\hat{i} + (-26)\hat{j} + (3(2) + (-26))\hat{k}$
$\vec{C} = (4 + 26)\hat{i} - 26\hat{j} + (6 - 26)\hat{k} = 30\hat{i} - 26\hat{j} - 20\hat{k}$
विकल्पों की जाँच करें! वह सदिश चुनें जिसका $\vec{B} (2\hat{i} + 3\hat{k})$ के साथ डॉट प्रोडक्ट शून्य हो।
विकल्प A: $(30)(2) + (-20)(3) = 60 - 60 = 0$. (सत्य)
विकल्प B: $(30)(2) + (-20)(3) = 0$. (सत्य)
अब $\vec{A}$ के साथ चेक करें: $30(-1) + (-26)(1) + (-20)(1) = -30 - 26 - 20 = -76$. केवल विकल्प A संतुष्ट करता है।
(The angle between a line with direction ratios $2:2:1$ and a line joining $(3, 1, 4)$ to $(7, 2, 12)$ is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: पहली रेखा के दिक्-अनुपात (DRs of first line)
दिया है: $a_1 = 2, b_1 = 2, c_1 = 1$.
Step 2: दूसरी रेखा के दिक्-अनुपात (DRs of second line)
बिंदुओं $(3, 1, 4)$ और $(7, 2, 12)$ को मिलाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात:
$a_2 = 7 - 3 = 4$
$b_2 = 2 - 1 = 1$
$c_2 = 12 - 4 = 8$
अतः DRs हैं: $4, 1, 8$.
Step 3: कोण के सूत्र का उपयोग
दो रेखाओं के मध्य कोण $\theta$ का सूत्र:
$\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
$\cos \theta = \frac{|(2)(4) + (2)(1) + (1)(8)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2}}$
$\cos \theta = \frac{|8 + 2 + 8|}{\sqrt{9} \sqrt{16 + 1 + 64}} = \frac{18}{3 \cdot \sqrt{81}}$
$\cos \theta = \frac{18}{3 \cdot 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$
अंतिम परिणाम: $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.
(The value of $\log(-i)$ is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: यूलर रूप (Euler's Form) में लिखना
हम जानते हैं कि किसी समिश्र संख्या $z$ के लिए, $z = r e^{i\theta}$ होता है।
यहाँ $z = -i$ है। इसका मापांक (magnitude) $r = |-i| = 1$ है और कोणांक (argument) $\theta = -\pi/2$ है।
अतः, $-i = e^{-i\pi/2}$.
Step 2: लघुगणक (Logarithm) लेना
समीकरण के दोनों ओर $\log$ लेने पर:
$\log(-i) = \log(e^{-i\pi/2})$
$\log(-i) = -\frac{i\pi}{2}$ या $-\frac{\pi i}{2}$.
निष्कर्ष: $\log(-i)$ का मुख्य मान $-\frac{\pi i}{2}$ है।
- $\log(i) = \frac{\pi i}{2}$
- $\log(-i) = -\frac{\pi i}{2}$
- $\log(-1) = \pi i$
(The value of $\int_{0}^{1} \frac{1+x^5}{1+x} dx$ is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: बीजगणितीय विस्तार (Algebraic Expansion)
हम जानते हैं कि $n$ विषम (odd) होने पर:
$\frac{1+x^n}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + ... + x^{n-1}$
यहाँ $n=5$ है, अतः:
$\frac{1+x^5}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4$
Step 2: समाकलन (Integration) करना
$\int_{0}^{1} (1 - x + x^2 - x^3 + x^4) dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1}$
Step 3: सीमाएँ (Limits) लागू करना
$= \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \right) - 0$
$= \frac{60 - 30 + 20 - 15 + 12}{60}$ (लघुत्तम समापवर्त्य = 60)
$= \frac{47}{60}$
(If three consecutive terms in an Arithmetic progression (AP) are $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$, then $\frac{b-c}{a-b}$ is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: AP की शर्त लागू करना
चूँकि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ समांतर श्रेणी में हैं, इसलिए इनके बीच का सार्व-अंतर (common difference) समान होगा:
$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{1}{c} - \frac{1}{b}$
Step 2: पदों को सरल करना
बाएँ पक्ष के लिए: $\frac{a-b}{ab}$
दाएँ पक्ष के लिए: $\frac{b-c}{bc}$
Step 3: अनुपात ज्ञात करना
$\frac{a-b}{ab} = \frac{b-c}{bc}$
दोनों पक्षों से $b$ को हटाने पर:
$\frac{a-b}{a} = \frac{b-c}{c}$
तिर्यक गुणा (Cross Multiplication) करने पर:
$c(a-b) = a(b-c)$
$\frac{b-c}{a-b} = \frac{c}{a}$
संख्याएँ मान लें! माना $a=1, b=1/2, c=1/3$ (ताकि $1, 2, 3$ समांतर श्रेणी में हों)।
अब $\frac{b-c}{a-b} = \frac{1/2 - 1/3}{1 - 1/2} = \frac{1/6}{1/2} = 1/3$.
यहाँ $c/a = (1/3)/1 = 1/3$ है। अतः विकल्प D सही है।
(The area of the quadrilateral formed by the tangent at the endpoints of the latus rectum to the ellipse $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: दीर्घवृत्त के प्राचल ज्ञात करना
समीकरण: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$. यहाँ $a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$ और $b^2 = 5 \Rightarrow b = \sqrt{5}$।
उत्केन्द्रता (Eccentricity) $e$:
$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \Rightarrow e = \frac{2}{3}$
Step 2: नाभिलम्ब जीवा के सिरों पर स्पर्शियों द्वारा निर्मित क्षेत्रफल का सूत्र
दीर्घवृत्त की नाभिलम्ब जीवा के सिरों पर स्पर्शियों से निर्मित चतुर्भुज (जो एक समचतुर्भुज होता है) का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \frac{2a^2}{e}$
Step 3: गणना (Calculation)
मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{2 \times 9}{2/3} = \frac{18 \times 3}{2} = 9 \times 3 = 27$ वर्ग इकाई।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की नाभिलम्ब जीवा के सिरों पर स्पर्शियों द्वारा घिरा क्षेत्रफल हमेशा **$\frac{2a^2}{e}$** होता है।
(If $A + B = \frac{\pi}{4}$, where $A, B \in R^+$, then the minimum value of $(1 + \tan A)(1 + \tan B)$ is-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: मुख्य सर्वसमिका (Key Identity)
हम जानते हैं कि यदि $A + B = 45^\circ$ या $\pi/4$ हो, तो:
$(1 + \tan A)(1 + \tan B) = 2$
Step 2: उपपत्ति (Proof)
$A + B = \pi/4$
दोनों पक्षों का $\tan$ लेने पर:
$\tan(A + B) = \tan(\pi/4) = 1$
$\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = 1$
$\tan A + \tan B = 1 - \tan A \tan B$
$\tan A + \tan B + \tan A \tan B = 1$
Step 3: व्यंजक का मान निकालना
दिए गए व्यंजक को विस्तारित करने पर:
$(1 + \tan A)(1 + \tan B) = 1 + \tan A + \tan B + \tan A \tan B$
समीकरण से मान रखने पर:
$= 1 + (1) = 2$
निष्कर्ष: चूंकि इस शर्त के तहत व्यंजक का मान हमेशा स्थिर ($2$) रहता है, इसलिए इसका न्यूनतम मान भी **2** ही होगा।
कोई भी मान मान लें!
माना $A = 45^\circ$ और $B = 0^\circ$ (ताकि $A+B=45^\circ$ हो)।
तब $(1 + \tan 45^\circ)(1 + \tan 0^\circ) = (1 + 1)(1 + 0) = 2 \times 1 = 2$।
यह सीधे उत्तर तक पहुँचने का सबसे तेज़ तरीका है।
(The equations to a pair of opposite sides of a parallelogram are $x^2 - 5x + 6 = 0$ and $y^2 - 6y + 5 = 0$. The equation to its diagonals are-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: भुजाओं के समीकरण ज्ञात करना
1. $x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0$. अतः रेखाएँ हैं: $x = 2$ और $x = 3$.
2. $y^2 - 6y + 5 = 0 \Rightarrow (y-1)(y-5) = 0$. अतः रेखाएँ हैं: $y = 1$ और $y = 5$.
Step 2: शीर्ष (Vertices) ज्ञात करना
इन चारों रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु (शीर्ष) होंगे:
$A(2, 1), B(3, 1), C(3, 5), D(2, 5)$.
Step 3: विकर्णों के समीकरण
1. विकर्ण AC (बिंदु 2, 1 और 3, 5):
प्रवणता $m = \frac{5-1}{3-2} = 4$. समीकरण: $y - 1 = 4(x - 2) \Rightarrow y = 4x - 7$.
2. विकर्ण BD (बिंदु 3, 1 और 2, 5):
प्रवणता $m = \frac{5-1}{2-3} = -4$. समीकरण: $y - 1 = -4(x - 3) \Rightarrow y = -4x + 12 + 1 \Rightarrow 4x + y = 13$.
विकल्पों में शीर्ष $(2, 1)$ को रखकर देखें।
विकल्प C में: $4(2) + 1 = 9 \ne 13$ (यहाँ शीर्षों के जोड़े को ध्यान से चुनें)। $AC$ और $BD$ दोनों विकर्णों को संतुष्ट करने वाले समीकरण $4x+y=13$ और $y=4x-7$ ही हैं।
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(No computer can do anything without a-)
व्याख्या (Solution):
कंप्यूटर की कार्यप्रणाली:
कंप्यूटर स्वयं से कोई निर्णय नहीं ले सकता। उसे किसी भी कार्य को करने के लिए निर्देशों के एक समूह की आवश्यकता होती है।
- 👉 प्रोग्राम (Program): यह निर्देशों का वह समूह है जो कंप्यूटर को बताता है कि उसे क्या करना है और कैसे करना है। प्रोग्राम के बिना, हार्डवेयर (जैसे चिप या मेमोरी) केवल बेकार के उपकरण हैं।
- 👉 निष्कर्ष: हालांकि मेमोरी और चिप भी महत्वपूर्ण हैं, लेकिन बिना सॉफ्टवेयर या 'प्रोग्राम' के हार्डवेयर को कोई निर्देश नहीं मिलता, जिससे कंप्यूटर कोई भी ऑपरेशन नहीं कर सकता।
हार्डवेयर शरीर की तरह है और प्रोग्राम (सॉफ्टवेयर) उसकी आत्मा की तरह। बिना प्रोग्राम के कंप्यूटर केवल एक निर्जीव बक्सा है।
(If the product of three numbers in GP be $216$ and their sum is $19$, then the numbers are-)
व्याख्या (Solution):
Step 1: संख्याएँ मानना
माना GP में तीन संख्याएँ $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
Step 2: गुणनफल (Product) की शर्त
प्रश्नानुसार: $\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = 216$
$a^3 = 216 \Rightarrow a^3 = 6^3$
$a = 6$.
Step 3: योग (Sum) की शर्त
$\frac{a}{r} + a + ar = 19$
$a=6$ रखने पर: $6 \left( \frac{1}{r} + 1 + r \right) = 19$
$6(1 + r + r^2) = 19r$
$6r^2 - 13r + 6 = 0$
हल करने पर: $r = 3/2$ या $2/3$.
Step 4: संख्याएँ ज्ञात करना
यदि $r = 3/2$:
संख्याएँ होंगी: $6/(3/2), 6, 6(3/2) = 4, 6, 9$.
1. गुणनफल देखें: $4 \times 6 \times 9 = 216$ (सत्य)
2. योग देखें: $4 + 6 + 9 = 19$ (सत्य)
अतः विकल्प A बिना किसी लंबी गणना के ही सही सिद्ध होता है!
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