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| "CG PET 2024 Mathematics Paper Solution: विस्तृत हल अब हिंदी और अंग्रेजी (Bilingual) में उपलब्ध है। एक्सपर्ट एनालिसिस के साथ अपनी तैयारी को स्मार्ट बनाएँ।" |
सम्पिश्र संख्या $\frac{-16}{1+i\sqrt{3}}$ को ध्रुवीय रूप में बदलिए।
(Convert the complex number $\frac{-16}{1+i\sqrt{3}}$ into polar form.)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: सबसे पहले दी गई संख्या का परिमेयकरण (Rationalization) करते हैं:
$z = \frac{-16}{1+i\sqrt{3}} \times \frac{1-i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}$
$z = \frac{-16(1-i\sqrt{3})}{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \frac{-16(1-i\sqrt{3})}{1+3} = \frac{-16(1-i\sqrt{3})}{4}$
$z = -4(1-i\sqrt{3}) = -4 + i4\sqrt{3}$
Step 2: मापांक (Modulus) $r$ निकालें:
$r = \sqrt{(-4)^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8$
Step 3: कोणांक (Argument) $\theta$ निकालें:
चूँकि संख्या $x < 0$ और $y > 0$ है, यह **द्वितीय चतुर्थांश (2nd Quadrant)** में है।
$\alpha = \tan^{-1} \left| \frac{y}{x} \right| = \tan^{-1} \left| \frac{4\sqrt{3}}{-4} \right| = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$
$\theta = \pi - \alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
ध्रुवीय रूप (Polar Form): $r(\cos\theta + i\sin\theta)$
$\therefore z = 8 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3} \right)$
हर (denominator) $1+i\sqrt{3}$ का कोण $60^\circ$ है और अंश $-16$ का कोण $180^\circ$ है। भाग (division) में कोण घटते हैं: $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ यानी $\frac{2\pi}{3}$। विकल्पों में केवल (B) में प्लस साइन के साथ सही कोण है।
यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix}$, तो आव्यूह $A^3 - 6A^2 + 7A + 2I$ का मान होगा:
(If $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix}$, then find the value of the matrix $A^3 - 6A^2 + 7A + 2I$. ($I$-Unit matrix))
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: अभिलाक्षणिक समीकरण (Characteristic Equation) ज्ञात करना:
Cayley-Hamilton प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने अभिलाक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है। समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ से:
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 2 \\ 0 & 2-\lambda & 1 \\ 2 & 0 & 3-\lambda \end{vmatrix} = 0$
Step 2: सारणिक (Determinant) का विस्तार करें:
$(1-\lambda) [(2-\lambda)(3-\lambda) - 0] + 2 [0 - 2(2-\lambda)] = 0$
$(1-\lambda) (\lambda^2 - 5\lambda + 6) - 4(2-\lambda) = 0$
$(\lambda^2 - 5\lambda + 6 - \lambda^3 + 5\lambda^2 - 6\lambda) - 8 + 4\lambda = 0$
$-\lambda^3 + 6\lambda^2 - 7\lambda - 2 = 0$
Step 3: आव्यूह रूप में बदलने पर:
दोनों तरफ $-1$ से गुणा करने पर: $\lambda^3 - 6\lambda^2 + 7\lambda + 2 = 0$
Cayley-Hamilton प्रमेय के अनुसार $\lambda$ को $A$ से और स्थिर अंक को $I$ से बदलें:
$A^3 - 6A^2 + 7A + 2I = O$ (शून्य आव्यूह)
जब भी परीक्षा में $A^3, A^2$ वाला लंबा समीकरण दिखे, तो समझ जाइये कि वह **Cayley-Hamilton Theorem** पर आधारित है। बस $|A - \lambda I| = 0$ को हल करें, जो समीकरण आएगा वही आपका उत्तर (शून्य आव्यूह) होगा। पूरा गुणा करने की जरूरत नहीं है!
कौन सा कथन वर्गाकार आव्यूह A के लिए सत्य है?
(Which statements are true for the Square Matrix A?)
(A Square Matrix A is invertible $\iff$ A is non Singular Matrix)
B. $|(\text{adj } A)| = |A|^{n-1}$ (यहाँ प्रश्न के विकल्पानुसार $|A|^2$ यदि $n=3$)
($|adj A| = |A|^{2}$)
C. $(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} \text{ adj}(AB)$
D. उपरोक्त सभी सत्य हैं
(Above all are true)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
कथन A की जाँच: हम जानते हैं कि आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय (Invertible) तभी होता है जब उसका सारणिक शून्य न हो ($|A| \neq 0$), जिसे अ-विलक्षणीय (Non-singular) आव्यूह कहते हैं। अतः यह सत्य है।
कथन B की जाँच: गुणधर्म के अनुसार $|adj A| = |A|^{n-1}$ होता है। यदि आव्यूह का क्रम (order) $3 \times 3$ है, तो $|adj A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होगा। यह भी सत्य है।
कथन C की जाँच: किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $M$ के लिए $M^{-1} = \frac{1}{|M|} adj(M)$ होता है। यहाँ $M = AB$ रखने पर यह सूत्र बिल्कुल सही है।
चूँकि तीनों कथन (A, B, और C) सही हैं, इसलिए विकल्प (D) सही उत्तर है।
परीक्षा में जब भी "All of the above" या "उपरोक्त सभी" विकल्प आए और आपको पहले दो कथन सही लग रहे हों, तो बिना समय गंवाए 90% मामलों में (D) ही सही उत्तर होता है। यह आव्यूह के बेसिक फॉर्मूले (Basic Formulas) हैं।
एक गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) का तीसरा पद 9 है तो पहले पांच पदों के गुणनफल का मान कितना होगा?
(The third term of a Geometric Progression (G.P.) is 9. The product of its five first terms is ----)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) का प्रथम पद $a$ और सार्वअनुपात (common ratio) $r$ है।
प्रश्नानुसार, तीसरा पद ($T_3$) = 9
हम जानते हैं कि $T_n = ar^{n-1}$ होता है।
$\therefore ar^{3-1} = 9 \implies ar^2 = 9$ ---(समीकरण 1)
Step 2: पहले पाँच पदों का गुणनफल (Product of first five terms):
$P = (a) \times (ar) \times (ar^2) \times (ar^3) \times (ar^4)$
$P = a^5 \cdot r^{(1+2+3+4)} = a^5 \cdot r^{10}$
$P = (ar^2)^5$
Step 3: समीकरण 1 से $ar^2$ का मान रखने पर:
$P = (9)^5$
चूँकि $9 = 3^2$, इसलिए:
$P = (3^2)^5 = 3^{10}$
यदि किसी G.P. का मध्य पद (Middle term) दिया हो, तो $n$ पदों का गुणनफल = $(\text{Middle term})^n$ होता है।
यहाँ 5 पदों का मध्य पद तीसरा पद (9) है।
अतः गुणनफल = $(9)^5 = (3^2)^5 = 3^{10}$। सीधा उत्तर!
आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}$ के लिए $(A + A^T)$ है:
(For the Matrix $A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}$, $(A + A^T)$ is-)
B. सममित आव्यूह A का (Symmetric Matrix of A)
C. विषम सममित आव्यूह A का (Skew Symmetric Matrix of A)
D. असममित आव्यूह A का (Non Symmetric Matrix of A)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}$ है।
इसका परिवर्त आव्यूह (Transpose) $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 7 \end{bmatrix}$ होगा।
Step 2: अब $(A + A^T)$ ज्ञात करते हैं:
$A + A^T = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 5+6 \\ 6+5 & 7+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{bmatrix}$
Step 3: किसी आव्यूह $M$ को **सममित (Symmetric)** तब कहा जाता है जब $M^T = M$ हो।
यहाँ $M = (A + A^T) = \begin{bmatrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{bmatrix}$ है।
इसका Transpose लेने पर: $M^T = \begin{bmatrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{bmatrix}$
चूँकि $M^T = M$, अतः यह एक **सममित आव्यूह** है।
यह एक मानक गुणधर्म (Standard Property) है:
1. $(A + A^T)$ हमेशा सममित (Symmetric) होता है।
2. $(A - A^T)$ हमेशा विषम सममित (Skew-Symmetric) होता है।
परीक्षा में इसे हल करने की जरूरत नहीं है, सीधे प्रॉपर्टी याद रखें!
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5 लड़कियों और 3 लड़कों को एक पंक्ति में कितने तरह से बैठाया जा सकता है कि दो लड़के एक साथ न बैठें?
(In how many ways can 5 girls and 3 boys be seated in a row so that no two boys are together?)
(None of the above)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: लड़कियों का क्रम:
सबसे पहले 5 लड़कियों (G) को बैठाते हैं। 5 लड़कियों को पंक्ति में बैठाने के तरीके = $5!$
Step 2: लड़कों के लिए रिक्त स्थान (Gap Method):
चूँकि दो लड़के साथ नहीं बैठने चाहिए, इसलिए हम उन्हें लड़कियों के बीच में या किनारों पर खाली जगहों (Gaps) में बैठाएंगे:
_ G1 _ G2 _ G3 _ G4 _ G5 _
यहाँ 5 लड़कियों के बीच और किनारों पर कुल 6 खाली स्थान उपलब्ध हैं।
Step 3: लड़कों का चयन और क्रम:
इन 6 स्थानों में से 3 लड़कों को बैठाने के तरीके = $^{6}P_{3}$
$^{6}P_{3} = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!}$
कुल तरीके:
कुल तरीके = लड़कियों के बैठाने के तरीके $\times$ लड़कों के बैठाने के तरीके
कुल तरीके = $5! \times \frac{6!}{3!}$
जब भी "दो वस्तुएं साथ न बैठें" की बात हो, तो Gap Method लगायें।
तरीके = (पहले ग्रुप का Factorial) $\times$ (उपलब्ध गैप $P$ दूसरे ग्रुप की संख्या)
यहाँ: $5! \times ^{6}P_{3} = 5! \times \frac{6!}{3!}$। देखते ही उत्तर आता है!
कौन सा कथन द्विघातीय समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए सत्य / सही है?
(Which of the following statement is true for the quadratic equation $ax^2 + bx + c = 0$?)
(Two distinct real roots, if $b^2 - 4ac > 0$)
B. दो समान मूल, यदि $b^2 - 4ac = 0$
(Two equal roots, if $b^2 - 4ac = 0$)
C. वास्तविक मूल नहीं, यदि $b^2 - 4ac < 0$
(No real roots, if $b^2 - 4ac < 0$)
D. उपरोक्त सभी सही है
(Above all are true)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
किसी द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों की प्रकृति उसके **विविक्तकर (Discriminant)** $D = b^2 - 4ac$ पर निर्भर करती है:
- केस 1: यदि $D > 0$ हो, तो समीकरण के दो भिन्न और वास्तविक मूल (Two distinct real roots) होते हैं। (कथन A सत्य है)
- केस 2: यदि $D = 0$ हो, तो समीकरण के दो बराबर और वास्तविक मूल (Two equal real roots) होते हैं। (कथन B सत्य है)
- केस 3: यदि $D < 0$ हो, तो कोई वास्तविक मूल नहीं होता (मूल काल्पनिक होते हैं)। (कथन C सत्य है)
चूँकि तीनों ही स्थितियाँ गणितीय रूप से सही दी गई हैं, इसलिए उत्तर (D) होगा।
यह द्विघात समीकरण का सबसे बेसिक कॉन्सेप्ट है। बस याद रखें:
+ve $D$ 👉 2 अलग मूल
Zero $D$ 👉 2 सेम मूल
-ve $D$ 👉 No Real मूल
ऐसे "All are true" वाले सवालों में अक्सर सारे बेसिक रूल्स ही लिखे होते हैं।
दो अंक वाले कितनी संख्या 3 से विभाजित किया जा सकता है?
(How many two-digit numbers are divisible by 3?)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: श्रेणी (Series) की पहचान:
दो अंकों की सबसे छोटी संख्या जो 3 से विभाजित होती है = 12
दो अंकों की सबसे बड़ी संख्या जो 3 से विभाजित होती है = 99
अतः समांतर श्रेणी (A.P.) होगी: 12, 15, 18, ..., 99
Step 2: मुख्य मान:
प्रथम पद ($a$) = 12
सार्व अंतर ($d$) = 3
अंतिम पद ($l$ या $a_n$) = 99
Step 3: पदों की संख्या ($n$) ज्ञात करना:
सूत्र: $a_n = a + (n - 1)d$
$99 = 12 + (n - 1)3$
$99 - 12 = (n - 1)3$
$87 = (n - 1)3$
$n - 1 = \frac{87}{3} = 29$
$n = 29 + 1 = 30$
संख्या = $\left[ \frac{\text{अंतिम संख्या}}{3} \right] - \left[ \frac{\text{शुरुआती संख्या - 1}}{3} \right]$
यहाँ 2 अंकों की संख्या 10 से 99 तक होती है।
संख्या = $\left[ \frac{99}{3} \right] - \left[ \frac{9}{3} \right] = 33 - 3 = 30$। सिर्फ 2 सेकंड में उत्तर!
यदि $x + iy = \frac{a + ib}{a - ib}$, तब $x^2 + y^2$ का मान ज्ञात कीजिए।
(If $x + iy = \frac{a + ib}{a - ib}$, then find the value of $x^2 + y^2$.)
(None of the above)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: मापांक (Modulus) की अवधारणा का उपयोग:
हम जानते हैं कि यदि $z = x + iy$ हो, तो $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ और $|z|^2 = x^2 + y^2$ होता है।
प्रश्नानुसार, $x + iy = \frac{a + ib}{a - ib}$
Step 2: दोनों तरफ मापांक लेने पर:
$|x + iy| = \left| \frac{a + ib}{a - ib} \right|$
चूँकि $\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ होता है, इसलिए:
$\sqrt{x^2 + y^2} = \frac{|a + ib|}{|a - ib|}$
Step 3: गणना (Calculation):
$\sqrt{x^2 + y^2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{a^2 + (-b)^2}}$
$\sqrt{x^2 + y^2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 1$
अंतिम परिणाम:
दोनों तरफ वर्ग (Square) करने पर:
$x^2 + y^2 = 1^2 = 1$
किसी भी सम्मिश्र संख्या (Complex Number) और उसके संयुग्मी (Conjugate) का मापांक हमेशा बराबर होता है।
अतः $|a + ib| = |a - ib|$।
जब भी अंश (Numerator) और हर (Denominator) में एक ही संख्या के संयुग्मी हों, तो उनके अनुपात का मापांक हमेशा **1** होगा। हल करने की ज़रूरत ही नहीं!
दिये गये चित्र ABC (त्रिभुज) में कौनसा असत्य है?
(In the given figure ABC (Triangle) which of the following is not true?).png)
.png)
B. $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{AC} = 0$
C. $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{CA} = 0$
D. $\vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA} = 0$
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: सदिश योग का त्रिभुज नियम (Triangle Law):
दिये गये चित्र के अनुसार, यदि हम A से शुरू करके वापस A पर पहुँचते हैं, तो कुल विस्थापन शून्य होगा:
$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = 0$
अतः विकल्प (A) सत्य है।
Step 2: दिशा परिवर्तन का प्रभाव:
हम जानते हैं कि $\vec{CA} = -\vec{AC}$ होता है।
समीकरण में रखने पर: $\vec{AB} + \vec{BC} + (-\vec{AC}) = 0 \implies \vec{AB} + \vec{BC} - \vec{AC} = 0$
अतः विकल्प (B) भी सत्य है।
Step 3: अन्य संबंधों की जाँच:
इसी प्रकार $\vec{BC} = -\vec{CB}$ होता है।
समीकरण में रखने पर: $\vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA} = 0$
अतः विकल्प (D) भी सत्य है।
निष्कर्ष: विकल्प (C) में $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{CA} = 0$ दिया गया है, जो कि गलत है क्योंकि सही संबंध $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = 0$ होता है।
"Loop Rule" याद रखें! जहाँ से शुरू किया वहीं वापस आ गए तो योग $0$ होगा। बस अक्षरों के क्रम पर ध्यान दें: $AB \to BC \to CA$। यदि इनमें से किसी की भी दिशा (Arrow) उलटी है, तो उसका चिन्ह $(-)$ बदल दें। विकल्प (C) में चिन्ह की गलती साफ दिख रही है।
सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ का सदिश $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
(Find the projection of the vector $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ on the vector $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: सूत्र (Formula):
सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप (Projection) = $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$
Step 2: अदिश गुणन ($\vec{a} \cdot \vec{b}$) ज्ञात करना:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$
$= (2 \times 1) + (3 \times 2) + (2 \times 1)$
$= 2 + 6 + 2 = 10$
Step 3: सदिश $\vec{b}$ का परिमाण ($|\vec{b}|$) ज्ञात करना:
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}$
$= \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$
Step 4: मान रखना:
प्रक्षेप = $\frac{10}{\sqrt{6}}$
परिमेयकरण करने पर (Multiply & Divide by $\sqrt{6}$):
$= \frac{10\sqrt{6}}{6} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$
हमेशा याद रखें: "जिस पर" प्रक्षेप निकालना हो, उसका परिमाण (Magnitude) नीचे आता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$ और $|\vec{b}| = \sqrt{6}$।
$\frac{10}{\sqrt{6}}$ को देखते ही समझ जाएँ कि उत्तर में $\sqrt{6}$ और $5/3$ का मेल होगा।
यदि $\vec{a} = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ है, तब दिये गये में से कौनसा कथन सत्य है?
(If $\vec{a} = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ and $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$, then which of the following statement is true?)
(($\vec{a} + \vec{b}$) and ($\vec{a} - \vec{b}$) are perpendicular)
B. $(\vec{a} + \vec{b})$ और $(\vec{a} - \vec{b})$ समान्तर हैं
(($\vec{a} + \vec{b}$) and ($\vec{a} - \vec{b}$) are parallel)
C. उपरोक्त दोनों सही हैं
(Above both are true)
D. उपरोक्त दोनों गलत हैं
(Above both are false)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: $(\vec{a} + \vec{b})$ और $(\vec{a} - \vec{b})$ के मान ज्ञात करना:
$\vec{a} + \vec{b} = (5+1)\hat{i} + (-1+3)\hat{j} + (-3-5)\hat{k} = 6\hat{i} + 2\hat{j} - 8\hat{k}$
$\vec{a} - \vec{b} = (5-1)\hat{i} + (-1-3)\hat{j} + (-3-(-5))\hat{k} = 4\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$
Step 2: लम्बवत होने की जाँच (Dot Product):
दो सदिश लम्बवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणन (Dot Product) शून्य हो।
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = (6)(4) + (2)(-4) + (-8)(2)$
$= 24 - 8 - 16 = 24 - 24 = 0$
चूँकि अदिश गुणन शून्य है, अतः $(\vec{a} + \vec{b})$ और $(\vec{a} - \vec{b})$ परस्पर लम्बवत (Perpendicular) हैं।
हम जानते हैं कि $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$ होता है।
यहाँ $|\vec{a}|^2 = 5^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = 25 + 1 + 9 = 35$
और $|\vec{b}|^2 = 1^2 + 3^2 + (-5)^2 = 1 + 9 + 25 = 35$
चूँकि $|\vec{a}| = |\vec{b}|$, इसलिए इनका अंतर हमेशा 0 होगा। जब परिमाण बराबर हों, तो योग और अंतर वाले सदिश हमेशा लम्बवत होते हैं!
$6^n - 5n$ को 25 से विभाजित किया जाता है तो हमेशा कितना शेषफल बचेगा?
(When $6^n - 5n$ is divided by 25, how much will always be the remainder?)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) का उपयोग:
हम $6^n$ को $(1 + 5)^n$ के रूप में लिख सकते हैं।
Step 2: प्रसार (Expansion):
$(1 + 5)^n = 1 + ^nC_1(5) + ^nC_2(5^2) + ^nC_3(5^3) + \dots + 5^n$
$(1 + 5)^n = 1 + 5n + 25[^nC_2 + ^nC_3(5) + \dots + 5^{n-2}]$
Step 3: समीकरण को हल करना:
$6^n = 1 + 5n + 25k$ (जहाँ $k$ एक पूर्णांक है)
$6^n - 5n = 1 + 25k$
जब $(6^n - 5n)$ को 25 से विभाजित किया जाता है, तो $25k$ पूरी तरह विभाजित हो जाएगा और शेषफल 1 बचेगा।
ऐसे सवालों में $n = 1, 2$ रखकर देखें।
यदि $n = 2$ रखें: $6^2 - 5(2) = 36 - 10 = 26$
अब 26 को 25 से भाग दें: $26 \div 25 \implies$ शेषफल = 1।
सबसे तेज़ तरीका!
समान्तर माध्य (स.मा.), गुणोत्तर माध्य (गु.मा.) और हरात्मक माध्य (ह.मा.) के लिए दिये गये में से कौन सा संबंध सही है?
(Which of the following relation is true for Arithmetic Mean (A.M.), Geometric Mean (G.M.) and Harmonic Mean (H.M.)?)
तथा $A.M. \geq G.M. \geq H.M.$
B. $(A.M.)^2 = G.M. \times H.M.$
तथा $A.M. < G.M. \leq H.M.$
C. $(H.M.)^2 = A.M. \times G.M.$
तथा $A.M. < G.M. < H.M.$
D. उपरोक्त में से कोई नहीं
(None of the above)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
मान लीजिए दो धनात्मक संख्याएँ $a$ और $b$ हैं। इनके लिए:
1. समान्तर माध्य (A.M.): $A = \frac{a+b}{2}$
2. गुणोत्तर माध्य (G.M.): $G = \sqrt{ab}$
3. हरात्मक माध्य (H.M.): $H = \frac{2ab}{a+b}$
संबंध 1 (माध्यों के बीच का गुणन):
$A \times H = \left( \frac{a+b}{2} \right) \times \left( \frac{2ab}{a+b} \right) = ab$
चूँकि $G^2 = ab$, इसलिए $G^2 = A \times H$ होता है।
संबंध 2 (परिमाण की तुलना):
गणितीय सिद्धांतों के अनुसार, किन्हीं भी धनात्मक संख्याओं के लिए हमेशा:
$A.M. \geq G.M. \geq H.M.$ होता है।
याद रखने का आसान तरीका: **"G"** बीच में आता है!
$G$ का स्क्वायर बाकी दोनों का गुणा होता है। और परिमाण में **"A"** सबसे बड़ा (A for Apple/Top) और **"H"** सबसे छोटा होता है। विकल्प (A) इस "G बीच में" वाली शर्त को पूरी तरह मानता है।
समतल $x + 2y - 3z + 4 = 0$ तथा उस रेखा जिसकी दिक् कोन्यायें $\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}$ हैं, के मध्य का कोण ज्ञात करें।
(Find the angle between the plane $x + 2y - 3z + 4 = 0$ and the line whose direction cosines are $\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}$.)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: समतल के अभिलम्ब (Normal) के अनुपात:
समतल का समीकरण $1x + 2y - 3z + 4 = 0$ है। इसके अभिलम्ब के दिक् अनुपात (Direction Ratios) $a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = -3$ हैं।
Step 2: रेखा की दिक् कोन्यायें (Direction Cosines):
रेखा के लिए $l_2 = \frac{2}{\sqrt{14}}, m_2 = \frac{3}{\sqrt{14}}, n_2 = \frac{1}{\sqrt{14}}$ दिया गया है।
Step 3: सूत्र (Formula):
समतल और रेखा के बीच का कोण ($\theta$) निम्न सूत्र से दिया जाता है:
$\sin \theta = \left| \frac{a_1 l_2 + b_1 m_2 + c_1 n_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}} \right|$
Step 4: गणना (Calculation):
$\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$
$\sin \theta = \left| \frac{(1 \times \frac{2}{\sqrt{14}}) + (2 \times \frac{3}{\sqrt{14}}) + (-3 \times \frac{1}{\sqrt{14}})}{1} \right|$ (क्योंकि $l^2+m^2+n^2=1$ होता है)
$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{14}} \left| \frac{2 + 6 - 3}{\sqrt{14}} \right| = \frac{5}{14}$
अतः $\theta = \sin^{-1} \left( \frac{5}{14} \right)$
याद रखें: रेखा-रेखा या समतल-समतल के बीच $\cos \theta$ लगता है, लेकिन रेखा-समतल के बीच $\sin \theta$ लगता है। अगर उत्तर $\sin$ में है, तो आप विकल्पों से $A$ और $C$ को तुरंत हटा सकते थे। बस $\frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{\sum a^2}\sqrt{\sum l^2}}$ की गणना करें!
यदि रेखा $2x - y + k = 0$ वृत्त $x^2 + y^2 + 6x - 6y + 5 = 0$ का व्यास रेखा है, तो $k$ का मान होगा-
(If the line $2x - y + k = 0$ is the diameter of circle $x^2 + y^2 + 6x - 6y + 5 = 0$, then $k =$)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: वृत्त के केंद्र के निर्देशांक ज्ञात करना:
वृत्त का मानक समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ होता है, जहाँ केंद्र $(-g, -f)$ होता है।
दिये गये समीकरण $x^2 + y^2 + 6x - 6y + 5 = 0$ की तुलना करने पर:
$2g = 6 \implies g = 3$
$2f = -6 \implies f = -3$
अतः केंद्र $(h, k') = (-3, 3)$ है।
Step 2: व्यास की विशेषता का उपयोग:
हम जानते हैं कि वृत्त का व्यास हमेशा उसके **केंद्र** से होकर गुजरता है।
इसलिए, रेखा $2x - y + k = 0$ केंद्र $(-3, 3)$ को संतुष्ट करेगी।
Step 3: मान रखकर $k$ निकालना:
$2(-3) - (3) + k = 0$
$-6 - 3 + k = 0$
$-9 + k = 0$
$k = 9$
वृत्त का समीकरण देखते ही $x$ और $y$ के गुणांकों को आधा करके चिन्ह बदल दें, आपको केंद्र मिल जाएगा: $(6 \to -3)$ और $(-6 \to 3)$। अब बस इन मानों को रेखा के समीकरण में रखें और $k$ निकाल लें। पेपर पेन की भी जरूरत नहीं पड़ेगी!
अंतराल $[0, 2\pi]$ में समीकरण $\tan x + \sec x = 2 \cos x$ के कितने हल होंगे?
(How many solutions of the equation $\tan x + \sec x = 2 \cos x$ lying in the interval $[0, 2\pi]$?)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: समीकरण को $\sin$ और $\cos$ में बदलें:
$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos x} = 2 \cos x$
$\frac{\sin x + 1}{\cos x} = 2 \cos x$
$\sin x + 1 = 2 \cos^2 x$ (जहाँ $\cos x \neq 0$)
Step 2: द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) बनाना:
हम जानते हैं $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, अतः:
$\sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x)$
$\sin x + 1 = 2 - 2 \sin^2 x$
$2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
Step 3: गुणनखंड (Factorization) करना:
$2 \sin^2 x + 2 \sin x - \sin x - 1 = 0$
$2 \sin x(\sin x + 1) - 1(\sin x + 1) = 0$
$(2 \sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$
Step 4: हलों की जाँच:
1. $2 \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$
$[0, 2\pi]$ में इसके हल: $x = \frac{\pi}{6}$ और $x = \frac{5\pi}{6}$ हैं। (दोनों मान्य हैं)
2. $\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -1$
$[0, 2\pi]$ में इसका हल: $x = \frac{3\pi}{2}$ है।
लेकिन, $x = \frac{3\pi}{2}$ पर $\cos x = 0$ होता है, जिससे मूल समीकरण में $\tan x$ और $\sec x$ अपरिभाषित (Undefined) हो जाते हैं। अतः यह हल मान्य नहीं है।
अतः कुल मान्य हलों की संख्या = 2
जब भी समीकरण में $\tan, \sec, \cot, \text{cosec}$ हो, तो हमेशा ध्यान रखें कि हर (Denominator) कभी शून्य नहीं होना चाहिए। यहाँ $\cos x \neq 0$ होना चाहिए, इसलिए $\sin x = -1$ वाले हल को तुरंत काट दें। केवल $\sin x = 1/2$ वाले 2 हलों पर फोकस करें!
$\sin \frac{\pi}{18} \sin \frac{5\pi}{18} \sin \frac{7\pi}{18}$ का मान होगा-
(The value of $\sin \frac{\pi}{18} \sin \frac{5\pi}{18} \sin \frac{7\pi}{18}$ is-)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: मानों को डिग्री में बदलना:
$\frac{\pi}{18} = 10^\circ$, $\frac{5\pi}{18} = 50^\circ$, $\frac{7\pi}{18} = 70^\circ$
अतः प्रश्न है: $\sin 10^\circ \cdot \sin 50^\circ \cdot \sin 70^\circ$
Step 2: सूत्र (Identity) का उपयोग:
हम एक मानक त्रिकोणमितीय सूत्र जानते हैं:
$\sin \theta \cdot \sin(60^\circ - \theta) \cdot \sin(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$
Step 3: मान रखना:
यहाँ $\theta = 10^\circ$ रखने पर:
$\sin 10^\circ \cdot \sin(60^\circ - 10^\circ) \cdot \sin(60^\circ + 10^\circ) = \sin 10^\circ \cdot \sin 50^\circ \cdot \sin 70^\circ$
सूत्र के अनुसार, इसका मान होगा: $\frac{1}{4} \sin(3 \times 10^\circ)$
Step 4: अंतिम गणना:
$= \frac{1}{4} \sin 30^\circ$
$= \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
जब भी $\sin$ या $\cos$ के ऐसे गुणनफल दिखें जिनमें कोण $20, 40, 80$ या $10, 50, 70$ के पैटर्न में हों, तो हमेशा $\frac{1}{4} \sin 3\theta$ या $\frac{1}{4} \cos 3\theta$ वाला फार्मूला याद रखें। बस सबसे छोटा कोण $\theta$ पहचानें और $1/4 \times \sin(3\theta)$ कर दें। 5 सेकंड में उत्तर हाजिर!
बिंदु $(3, 1)$ से रेखा $4x + 3y + 20 = 0$ पर डाले गये लम्ब की लम्बाई होगी-
(The length of perpendicular from $(3, 1)$ on line $4x + 3y + 20 = 0$ is-)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: सूत्र (Formula):
किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ पर डाले गए लम्ब की लम्बाई ($d$) का सूत्र है:
$$d = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$$
Step 2: मानों की पहचान:
यहाँ बिंदु $(x_1, y_1) = (3, 1)$ है।
रेखा के समीकरण $4x + 3y + 20 = 0$ से: $a = 4, b = 3, c = 20$
Step 3: गणना (Calculation):
$$d = \left| \frac{4(3) + 3(1) + 20}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \right|$$
$$d = \left| \frac{12 + 3 + 20}{\sqrt{16 + 9}} \right|$$
$$d = \left| \frac{35}{\sqrt{25}} \right| = \frac{35}{5}$$
$$d = 7$$
"3-4-5" का पाइथागोरस ट्रिपलेट याद रखें! जब भी रेखा में $4x$ और $3y$ हो, तो नीचे हमेशा $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ ही आएगा। बस ऊपर बिंदु के मान रखें: $12+3+20 = 35$। $35 \div 5 = 7$। मौखिक रूप से हल करने वाला सवाल है!
यदि रेखाएं $2x + 3ay - 1 = 0$ तथा $3x + 4y + 1 = 0$ आपस में परस्पर लम्बवत् हैं, तो $a$ का मान होगा-
(If the lines $2x + 3ay - 1 = 0$ and $3x + 4y + 1 = 0$ are mutually perpendicular, then the value of $a$ is-)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: रेखाओं की प्रवणता (Slope) ज्ञात करना:
रेखा $ax + by + c = 0$ की प्रवणता $m = -\frac{a}{b}$ होती है।
प्रथम रेखा $2x + 3ay - 1 = 0$ के लिए प्रवणता $m_1 = -\frac{2}{3a}$
द्वितीय रेखा $3x + 4y + 1 = 0$ के लिए प्रवणता $m_2 = -\frac{3}{4}$
Step 2: लम्बवत् होने की शर्त:
दो रेखाएं परस्पर लम्बवत् होती हैं यदि उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ हो: $$m_1 \times m_2 = -1$$
Step 3: गणना (Calculation):
$$\left( -\frac{2}{3a} \right) \times \left( -\frac{3}{4} \right) = -1$$
$$\frac{6}{12a} = -1$$
$$\frac{1}{2a} = -1$$
$$2a = -1 \implies a = -1/2$$
जब दो रेखाएं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ लम्बवत् हों, तो $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$ होता है।
यहाँ: $(2 \times 3) + (3a \times 4) = 0$
$6 + 12a = 0 \implies 12a = -6 \implies a = -1/2$। सीधा और सटीक!
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निम्नांकित में सत्य कथन बताइये:
(Which of the following is correct statement?)
B. परवलय $x^2 + 4x + 2y - 7 = 0$ के शीर्ष बिंदु $\left( -2, \frac{11}{2} \right)$ हैं
C. सरल रेखा $y = mx + c$, परवलय $y^2 = 4ax$ को स्पर्श करेगी यदि $a/c = m$
D. सभी सत्य हैं (All is correct)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
कथन A की जाँच: रेखा $y = mx + c$ परवलय $y^2 = 4ax$ को स्पर्श करती है यदि $c = a/m$। यहाँ $4a = 2 \implies a = 1/2$ और $m = 2$। स्पर्श की स्थिति: $c = (1/2)/2 = 1/4$। यदि $\lambda > 1/4$, तो रेखा परवलय से दूर होगी और उसे स्पर्श नहीं करेगी। अतः यह सत्य है।
कथन B की जाँच: समीकरण $x^2 + 4x + 2y - 7 = 0$ को पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^2 + 4x + 4) = -2y + 7 + 4 \implies (x + 2)^2 = -2(y - 11/2)$।
इसकी तुलना $(X)^2 = -4a(Y)$ से करने पर शीर्ष $X=0, Y=0 \implies x = -2, y = 11/2$ प्राप्त होता है। अतः यह भी सत्य है।
कथन C की जाँच: यह एक मानक सूत्र है कि $y = mx + c$, परवलय $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा होती है यदि $c = a/m$, जिसे $a/c = m$ भी लिख सकते हैं। अतः यह भी सत्य है।
चूँकि तीनों विकल्प (A, B, और C) गणितीय रूप से सही हैं, इसलिए उत्तर (D) होगा।
परवलय की स्पर्श रेखा की शर्त $c = a/m$ को कंठस्थ कर लें। यदि आपको परीक्षा में कम से कम दो कथन बिल्कुल सही मिल जाएं, तो "सभी सत्य हैं" वाले विकल्प को चुनने में संकोच न करें।
यदि किसी रेखा की दिक् कोन्यायें $\left( \frac{1}{c}, \frac{1}{c}, \frac{1}{c} \right)$ हैं, तो $c$ का मान होगा-
(If the direction cosines of a line are $\left( \frac{1}{c}, \frac{1}{c}, \frac{1}{c} \right)$, then $c =$)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: दिक् कोन्याओं (Direction Cosines) का गुणधर्म:
हम जानते हैं कि यदि किसी रेखा की दिक् कोन्यायें $l, m, n$ हों, तो उनके वर्गों का योग हमेशा 1 होता है:
$$l^2 + m^2 + n^2 = 1$$
Step 2: मान रखना:
प्रश्न के अनुसार, $l = \frac{1}{c}, m = \frac{1}{c}, n = \frac{1}{c}$ है।
अतः: $$\left( \frac{1}{c} \right)^2 + \left( \frac{1}{c} \right)^2 + \left( \frac{1}{c} \right)^2 = 1$$
Step 3: समीकरण को हल करना:
$$\frac{1}{c^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{1}{c^2} = 1$$
$$\frac{3}{c^2} = 1$$
$$c^2 = 3$$
$$c = \pm\sqrt{3}$$
जब भी तीनों दिक् कोन्यायें बराबर ($l=m=n$) दी गई हों, तो वे हमेशा $\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ होती हैं। यहाँ तुलना करने पर $\frac{1}{c} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ मिलता है, जिससे $c = \pm\sqrt{3}$ सीधा उत्तर आता है।
रेखाओं $\frac{x-2}{3} = \frac{y-1}{-2}, z = 2$ तथा $\frac{x-1}{1} = \frac{2y+3}{2} = \frac{z+5}{2}$ के बीच का कोण होगा-
(The angle between the lines $\frac{x-2}{3} = \frac{y-1}{-2}, z = 2$ and $\frac{x-1}{1} = \frac{2y+3}{2} = \frac{z+5}{2}$ is-)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: रेखाओं को मानक रूप (Standard Form) में लिखना:
पहली रेखा: $\frac{x-2}{3} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-2}{0}$
इसके दिक् अनुपात (D.R.s) हैं: $a_1 = 3, b_1 = -2, c_1 = 0$
दूसरी रेखा: $\frac{x-1}{1} = \frac{y + 3/2}{1} = \frac{z+5}{2}$ (यहाँ $2y+3$ को $2(y+3/2)$ लिखा गया है)
इसके दिक् अनुपात (D.R.s) हैं: $a_2 = 1, b_2 = 1, c_2 = 2$
Step 2: अदिश गुणन (Dot Product) की जाँच:
दो रेखाओं के बीच कोण $\theta$ के लिए: $\cos \theta = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$
अंश की गणना: $(3 \times 1) + (-2 \times 1) + (0 \times 2) = 3 - 2 + 0 = 1$
सुधार (Correction): इमेज के डेटा और विकल्पों के अनुसार, यदि दूसरी रेखा $\frac{x-1}{1} = \frac{2y+3}{3} = \dots$ के रूप में हो या गणना में $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ आए, तभी $\pi/2$ संभव है। इस विशेष प्रश्न में $3(1) + (-2)(1) + 0 \neq 0$ है। लेकिन PET के इस सेट में अक्सर दिशात्मक मानों के लम्बवत होने पर ही प्रश्न बनते हैं।
जब भी $z = \text{constant}$ (जैसे $z=2$) दिया हो, तो समझ जाइये कि उस रेखा का $z$-घटक शून्य (0) है। बस $x$ और $y$ के गुणांकों का मिलान करें। अगर $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ आ जाए, तो बिना सोचे $\pi/2$ (90 डिग्री) पर टिक लगा दें!
उस समतल का समीकरण क्या होगा जो बिंदु $(2, 1, -1)$ से गुजरता है तथा समतलों $3x - 5y + 7z - 2 = 0$ तथा $x - y - 2z + 3 = 0$ के लम्बवत है?
(What is the equation of plane that passes through the points $(2, 1, -1)$ and perpendicular to each of the planes $3x - 5y + 7z - 2 = 0$ and $x - y - 2z + 3 = 0$?)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: अभिलम्ब के दिक् अनुपात (D.R.s) निकालना:
समतल के अभिलम्ब के दिक् अनुपात $a, b, c$ निकालने के लिए दिए गए समतलों के अभिलम्बों का वज्र-गुणन (Cross Product) करते हैं:
$$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -5 & 7 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}$$
$\vec{n} = \hat{i}(10+7) - \hat{j}(-6-7) + \hat{k}(-3+5) = 17\hat{i} + 13\hat{j} + 2\hat{k}$
Step 2: समतल का समीकरण ज्ञात करना:
बिंदु $(2, 1, -1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण:
$17(x - 2) + 13(y - 1) + 2(z + 1) = 0$
$17x - 34 + 13y - 13 + 2z + 2 = 0$
$17x + 13y + 2z - 45 = 0$
चूँकि प्राप्त समीकरण $17x + 13y + 2z - 45 = 0$ दिए गए किसी भी विकल्प (A, B, C) में मौजूद नहीं है, इसलिए **विकल्प (D)** सही उत्तर है।
अगर आप परीक्षा में जल्दी में हैं, तो दिए गए बिंदु (2, 1, -1) को विकल्पों में रखकर देखें। यदि कोई भी विकल्प बिंदु को संतुष्ट न करे ($0$ न दे), तो सीधा "इनमें से कोई नहीं" (D) चुनें।
यदि कोई रेखा अक्षों के साथ $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाती है, तब $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$ का मान होगा-
(If $\alpha, \beta, \gamma$ are the angles which a line makes with axes, then $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma =$)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: मानक गुणधर्म का उपयोग:
हम जानते हैं कि किसी रेखा की दिक् कोन्याओं (Direction Cosines) के वर्गों का योग हमेशा 1 होता है:
$$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$$
Step 2: त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग:
चूँकि $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ होता है, हम उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$$(1 - \sin^2 \alpha) + (1 - \sin^2 \beta) + (1 - \sin^2 \gamma) = 1$$
Step 3: मान ज्ञात करना:
$$3 - (\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma) = 1$$
$$3 - 1 = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$$
$$\mathbf{2 = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma}$$
इसे एक "Standard Result" की तरह याद रखें:
- $\cos^2$ वाला योग = 1
- $\sin^2$ वाला योग = 2
यह प्रतियोगी परीक्षाओं में सीधे पूछा जाने वाला सवाल है।
यदि $\alpha$ तथा $\beta$ समीकरण $a \tan \theta + b \sec \theta = c$ के हल हों, तो निम्नांकित में कौन सा सही है?
(If $\alpha$ and $\beta$ are the solutions of equation $a \tan \theta + b \sec \theta = c$, then which of the following is correct?)
B. $\tan(\alpha + \beta) = \frac{2ac}{a^2 - c^2}$
C. $\tan(\alpha + \beta) = \frac{2ac}{c^2 + a^2}$
D. $\tan(\alpha - \beta) = \frac{2ac}{a^2 - c^2}$
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: समीकरण का रूपांतरण:
दिया गया समीकरण: $b \sec \theta = c - a \tan \theta$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $b^2 \sec^2 \theta = (c - a \tan \theta)^2$
$b^2(1 + \tan^2 \theta) = c^2 + a^2 \tan^2 \theta - 2ac \tan \theta$
Step 2: $\tan \theta$ में द्विघात समीकरण बनाना:
$(a^2 - b^2) \tan^2 \theta - 2ac \tan \theta + (c^2 - b^2) = 0$
चूँकि इसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं, इसलिए $\tan \alpha$ और $\tan \beta$ इस समीकरण के मूल होंगे।
Step 3: मूलों का योग और गुणनफल:
$\tan \alpha + \tan \beta = \frac{2ac}{a^2 - b^2}$
$\tan \alpha \cdot \tan \beta = \frac{c^2 - b^2}{a^2 - b^2}$
Step 4: $\tan(\alpha + \beta)$ का मान:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$
$= \frac{\frac{2ac}{a^2 - b^2}}{1 - \frac{c^2 - b^2}{a^2 - b^2}} = \frac{2ac}{(a^2 - b^2) - (c^2 - b^2)}$
$= \frac{2ac}{a^2 - c^2}$
त्रिकोणमिति के ऐसे सवालों में हमेशा याद रखें कि जब $\sec \theta$ को हटाया जाता है, तो अंततः हर (denominator) में $a^2$ और $c^2$ का अंतर ही बचता है। विकल्प (B) में ही $a^2 - c^2$ सही रूप में दिया गया है।
सरल रेखा युग्मों $y^2 \sin^2 \theta - xy \sin^2 \theta + x^2 (\cos^2 \theta - 1) = 0$ के बीच का कोण होगा-
(The angle between the pair of straight lines $y^2 \sin^2 \theta - xy \sin^2 \theta + x^2 (\cos^2 \theta - 1) = 0$ is-)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: मानक रूप से तुलना:
सरल रेखा युग्म का मानक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ होता है।
दिए गए समीकरण $x^2 (\cos^2 \theta - 1) - xy \sin^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta = 0$ की तुलना करने पर:
* $a = \cos^2 \theta - 1 = -\sin^2 \theta$
* $b = \sin^2 \theta$
Step 2: लम्बवत होने की शर्त (Condition for Perpendicularity):
हम जानते हैं कि यदि सरल रेखा युग्मों के बीच का कोण $90^\circ$ ($\pi/2$) हो, तो $a + b = 0$ होना चाहिए।
Step 3: मानों की जाँच:
$a + b = (-\sin^2 \theta) + (\sin^2 \theta) = 0$
चूँकि $a + b = 0$ है, अतः इन रेखाओं के बीच का कोण $\pi/2$ (90 डिग्री) है।
रेखा युग्म के सवालों में सबसे पहले $x^2$ के गुणांक ($a$) और $y^2$ के गुणांक ($b$) को जोड़कर देखें। यदि योग शून्य (0) आ जाए, तो बिना सूत्र लगाए सीधा $\pi/2$ उत्तर लगा दें।
समीकरण $\tan^{-1} (1 + x) + \tan^{-1} (1 - x) = \frac{\pi}{2}$ का हल है-
(A solution to the equation $\tan^{-1} (1 + x) + \tan^{-1} (1 - x) = \frac{\pi}{2}$ is-)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: मुख्य गुणधर्म (Identity):
हम जानते हैं कि $\tan^{-1} A + \cot^{-1} A = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दिए गए समीकरण $\tan^{-1} (1 + x) + \tan^{-1} (1 - x) = \frac{\pi}{2}$ की तुलना करने पर, हम कह सकते हैं कि:
$\tan^{-1} (1 - x) = \cot^{-1} (1 + x)$
Step 2: रूपांतरण (Transformation):
हम जानते हैं कि $\cot^{-1} \theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\theta} \right)$ होता है।
इसलिए: $\tan^{-1} (1 - x) = \tan^{-1} \left( \frac{1}{1 + x} \right)$
Step 3: समीकरण हल करना:
$1 - x = \frac{1}{1 + x}$
$(1 - x)(1 + x) = 1$
$1 - x^2 = 1$
$x^2 = 0 \implies x = 0$
विकल्पों का उपयोग करें (Option Verification):
यदि $x = 0$ रखें: $\tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$।
यह समीकरण को संतुष्ट करता है, अतः यही उत्तर है। बिना किसी गणना के 2 सेकंड में समाधान!
ज्ञात कीजिये-
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sin x)^{\tan x}$
(Evaluate- $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sin x)^{\tan x}$)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: रूप की पहचान (Form Identification):
जब $x \to \pi/2$ है, तब $\sin(\pi/2) = 1$ और $\tan(\pi/2) = \infty$ है।
अतः यह सीमा $1^\infty$ रूप की है।
Step 2: सूत्र का उपयोग:
हम जानते हैं कि $\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x)[f(x) - 1]}$ होता है।
यहाँ $f(x) = \sin x$ और $g(x) = \tan x$ है।
$$L = e^{\lim_{x \to \pi/2} \tan x (\sin x - 1)}$$
Step 3: घातांक की गणना:
$\lim_{x \to \pi/2} \frac{\sin x - 1}{\cot x}$ (चूँकि $\tan x = 1/\cot x$)
L-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to \pi/2} \frac{\cos x}{-\text{cosec}^2 x} = \frac{0}{-1} = 0$
Step 4: अंतिम मान:
$L = e^0 = 1$
गणित में एक सामान्य नियम याद रखें: यदि आधार (Base) 1 की ओर जा रहा है और घात (Power) अनंत की ओर, तो परिणाम अक्सर '1' या 'e' के पदों में होता है। यहाँ विकल्पों को देखते ही '1' सबसे उपयुक्त उत्तर प्रतीत होता है।
यदि $p$ तथा $q$ अवकल समीकरण $\left[ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right]^{3/2} = k \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)$ की क्रमशः कोटि तथा घात हों, तो-
(If $p$ and $q$ are the order and degree of the differential equation $\left[ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right]^{3/2} = k \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)$, then-)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: कोटि (Order) की पहचान:
समीकरण में उच्चतम अवकलज (highest derivative) $\frac{d^2y}{dx^2}$ है।
अतः कोटि $p = 2$ है।
Step 2: घात (Degree) के लिए समीकरण को सरल करना:
घात निकालने के लिए समीकरण को मूलकों (radicals/fractions) से मुक्त होना चाहिए।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$$\left[ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right]^3 = k^2 \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^2$$
Step 3: घात (Degree) की पहचान:
उच्चतम अवकलज ($\frac{d^2y}{dx^2}$) की उच्चतम घात 2 है।
अतः घात $q = 2$ है।
चूँकि $p = 2$ और $q = 2$, इसलिए $p = q$ सही संबंध है।
जब भी घात में $3/2$ या $1/2$ जैसा कुछ दिखे, तो समझ जाइये कि घात को पूर्णांक बनाने के लिए वर्ग करना पड़ेगा। इस सवाल में वर्ग करते ही उच्चतम अवकलज की घात 2 हो जाती है, जो कि कोटि के बराबर है। सीधा $p=q$ टिक करें!
यदि $x = a \left[ \cos t + \log \tan \frac{t}{2} \right]$ तथा $y = a \sin t$ है, तो $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए-
(If $x = a \left[ \cos t + \log \tan \frac{t}{2} \right]$ and $y = a \sin t$, then find $\frac{dy}{dx}$-)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: $\frac{dx}{dt}$ ज्ञात करना:
$x = a \left[ \cos t + \log \tan \frac{t}{2} \right]$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = a \left[ -\sin t + \frac{1}{\tan(t/2)} \cdot \sec^2(t/2) \cdot \frac{1}{2} \right]$
$\frac{dx}{dt} = a \left[ -\sin t + \frac{\cos(t/2)}{\sin(t/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(t/2)} \cdot \frac{1}{2} \right]$
$\frac{dx}{dt} = a \left[ -\sin t + \frac{1}{2\sin(t/2)\cos(t/2)} \right] = a \left[ -\sin t + \frac{1}{\sin t} \right]$
$\frac{dx}{dt} = a \left[ \frac{1 - \sin^2 t}{\sin t} \right] = a \frac{\cos^2 t}{\sin t}$
Step 2: $\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करना:
$y = a \sin t$
$\frac{dy}{dt} = a \cos t$
Step 3: $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करना:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a \cos t}{a \frac{\cos^2 t}{\sin t}}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin t}{\cos t} = \tan t$
यह अवकलन का एक बहुत ही मानक (Standard) प्रश्न है। अक्सर प्रतियोगी परीक्षाओं में पूछा जाता है। याद रखें कि इस विशिष्ट फलन $x$ के लिए $\frac{dx}{dt}$ हमेशा $a \cot t \cos t$ (या $\frac{a \cos^2 t}{\sin t}$) ही आता है। इसे सीधे याद रखने से परीक्षा में समय बचता है।
अवकल समीकरण $(x + y + 1) \frac{dy}{dx} = 1$ का हल है-
(The solution of differential equation $(x + y + 1) \frac{dy}{dx} = 1$ is-)
(None of these)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: समीकरण का रूपांतरण (Rearranging):
दिया गया समीकरण: $(x + y + 1) \frac{dy}{dx} = 1$
इसे $\frac{dx}{dy}$ के रूप में लिखने पर:
$\frac{dx}{dy} = x + y + 1$
Step 2: रैखिक रूप (Linear Form) में लाना:
$\frac{dx}{dy} - x = y + 1$
यह $x$ में एक प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है, जिसका रूप $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ है।
यहाँ $P = -1$ और $Q = y + 1$ है।
Step 3: समाकलन गुणक (Integrating Factor - I.F.) ज्ञात करना:
$I.F. = e^{\int P dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$
Step 4: व्यापक हल (General Solution):
$x \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dy + c$
$x e^{-y} = \int (y + 1) e^{-y} dy + c$
खंडशः समाकलन (Integration by parts) करने पर:
$x e^{-y} = -(y + 1) e^{-y} + \int 1 \cdot e^{-y} dy + c$
$x e^{-y} = -(y + 1) e^{-y} - e^{-y} + c$
$x e^{-y} = -e^{-y} (y + 1 + 1) + c \implies x e^{-y} = -e^{-y} (y + 2) + c$
Step 5: अंतिम रूप:
पूरी समीकरण को $e^y$ से गुणा करने पर:
$x = -(y + 2) + ce^y \implies x + y + 2 = ce^y$
जब भी समीकरण में $(x+y+c)$ और $dy/dx$ का गुणनफल 1 हो, तो उसे हमेशा $dx/dy$ में बदलें। समाकलन के बाद स्थिर पद (Constant term) हमेशा बढ़ जाता है। विकल्प (C) में $2$ स्थिर पद के रूप में आना इसी प्रक्रिया का परिणाम है।
यदि $y = 1 + \frac{x}{\lfloor 1} + \frac{x^2}{\lfloor 2} + \frac{x^3}{\lfloor 3} + \dots + \frac{x^n}{\lfloor n}$ है, तो $\frac{dy}{dx}$ का मान होगा-
(If $y = 1 + \frac{x}{\lfloor 1} + \frac{x^2}{\lfloor 2} + \frac{x^3}{\lfloor 3} + \dots + \frac{x^n}{\lfloor n}$, then $\frac{dy}{dx}$ is-)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: अवकलन प्रक्रिया:
दी गई श्रेणी का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2!}\right) + \dots + \frac{d}{dx}\left(\frac{x^n}{n!}\right)$
$\frac{dy}{dx} = 0 + 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$
Step 2: $y$ के साथ तुलना:
चूँकि $y = \left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\right) + \frac{x^n}{n!}$ है।
अतः $\frac{dy}{dx} = y - \frac{x^n}{n!}$ प्राप्त होता है।
महत्वपूर्ण नोट: यद्यपि आंसर-की में विकल्प (C) दिया गया है, लेकिन गणितीय रूप से विकल्प (A) ही एकमात्र सही उत्तर है।
यदि $f(x) = \begin{cases} x \cdot \frac{e^{1/x} - e^{-1/x}}{e^{1/x} + e^{-1/x}}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ हो, तो-
(If $f(x) = \begin{cases} x \cdot \frac{e^{1/x} - e^{-1/x}}{e^{1/x} + e^{-1/x}}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$, then-)
(f(x) is continuous but not differentiable at x = 0)
B. $f(x), x = 0$ पर सतत् नहीं है किंतु $x = 0$ पर अवकलनीय है
(f(x) is not continuous at x = 0 but differentiable at x = 0)
C. $f(x), x = 0$ पर न तो सतत् है और न अवकलनीय है
(f(x) is neither continuous nor differentiable at x = 0)
D. इनमें से कोई नहीं
(None of these)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: सततता (Continuity) की जाँच:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \cdot \left[ \frac{e^{1/x} - e^{-1/x}}{e^{1/x} + e^{-1/x}} \right]$
चूँकि ब्रैकेट वाली राशि का मान हमेशा $-1$ और $1$ के बीच रहता है, इसलिए $0 \times (\text{finite value}) = 0$।
चूँकि $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$ है, अतः फलन $x = 0$ पर सतत् (Continuous) है।
Step 2: अवकलनीयता (Differentiability) की जाँच:
दायाँ अवकलज (R.H.D.): $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h \cdot \frac{e^{1/h} - e^{-1/h}}{e^{1/h} + e^{-1/h}}}{h}$
$= \lim_{h \to 0} \frac{1 - e^{-2/h}}{1 + e^{-2/h}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$
बायाँ अवकलज (L.H.D.): $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h}$ को हल करने पर परिणाम $-1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $R.H.D. \neq L.H.D.$ (1 ≠ -1), इसलिए फलन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
अक्सर परीक्षाओं में जब फलन के साथ $x \cdot (\text{limit exists})$ होता है, तो वह सतत् होता है। लेकिन $e^{1/x}$ जैसे पदों में दिशा बदलने पर (बाएँ से दाएँ) मान $1$ से $-1$ हो जाता है, जिससे अवकलनीयता खत्म हो जाती है। यह एक बहुत ही प्रसिद्ध "Standard Problem" है।
समाकलन $\int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$ का मान होगा-
(The value of integral $\int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$ is-)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: प्रतिस्थापन (Substitution):
मान लीजिए $\sqrt{x} = t$
अब दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt \implies \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 dt$
Step 2: समाकलन में मान रखना:
$\int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx = \int \cos t \cdot (2 dt)$
$= 2 \int \cos t \, dt$
Step 3: समाकलन करना:
हम जानते हैं कि $\int \cos t \, dt = \sin t + C$
$= 2 \sin t + C$
Step 4: $t$ का मान वापस रखना:
$= 2 \sin \sqrt{x} + C$
अवकलन का उल्टा नियम याद रखें! $\sin \sqrt{x}$ का अवकलन $\cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$ होता है। यहाँ $1/2$ की कमी है, जिसे पूरा करने के लिए उत्तर में $2$ का गुणा होगा। सीधा $2 \sin \sqrt{x}$ चुनें!
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जोड़ी बनायें (Match the following):
स्तम्भ - A
(I) अधोस्पर्शी की लंबाई (Subtangent)
(II) अभिलम्ब की लंबाई (Normal)
(III) स्पर्श रेखा की लंबाई (Tangent)
(IV) अधोलम्ब की लंबाई (Subnormal)
स्तम्भ - B
(a) $y \sqrt{1 + (\frac{dx}{dy})^2}$
(b) $y \cdot (\frac{dy}{dx})$
(c) $y / (\frac{dy}{dx})$
(d) $y \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$
(I) अधोस्पर्शी की लंबाई (Subtangent)
(II) अभिलम्ब की लंबाई (Normal)
(III) स्पर्श रेखा की लंबाई (Tangent)
(IV) अधोलम्ब की लंबाई (Subnormal)
(a) $y \sqrt{1 + (\frac{dx}{dy})^2}$
(b) $y \cdot (\frac{dy}{dx})$
(c) $y / (\frac{dy}{dx})$
(d) $y \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$
B. I-c, II-d, III-a, IV-b
C. I-a, II-d, III-b, IV-c
D. I-c, II-b, III-a, IV-d
विस्तृत हल (Detailed Solution):
वक्र $y = f(x)$ के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब से संबंधित लंबाई के मानक सूत्र निम्नलिखित हैं:
- (I) अधोस्पर्शी (Subtangent): इसका सूत्र $|y \frac{dx}{dy}|$ या $y / (\frac{dy}{dx})$ होता है। (I → c)
- (II) अभिलम्ब (Normal): इसकी लंबाई का सूत्र $y \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ होता है। (II → d)
- (III) स्पर्श रेखा (Tangent): इसकी लंबाई का सूत्र $y \sqrt{1 + (\frac{dx}{dy})^2}$ होता है। (III → a)
- (IV) अधोलम्ब (Subnormal): इसकी लंबाई का सूत्र $y \cdot (\frac{dy}{dx})$ होता है। (IV → b)
मिलान करने पर क्रम प्राप्त होता है: I-c, II-d, III-a, IV-b
याद रखने का आसान तरीका: 'अधो' (Sub) वाले सूत्रों में रूट ($\sqrt{}$) नहीं होता। 'स्पर्शी' (Tangent) हमेशा भाग में ($y/m$) होती है और 'लम्ब' (Normal) हमेशा गुणा में ($y \cdot m$) होता है। केवल इन दो को पहचान कर आप सही विकल्प चुन सकते हैं!
यदि $f(x) = x(x-1)(x-2)$, $a = 0$ तथा $b = \frac{1}{2}$ हो, तो मध्यमान प्रमेय का उपयोग करके $c$ का मान बताइये-
(If $f(x) = x(x-1)(x-2)$, $a = 0, b = 1/2$, find $c$ by using mean value theorem-)
महत्वपूर्ण स्पष्टीकरण (Important Clarification):
नियम: लैग्रेंज के मध्यमान प्रमेय के अनुसार, $c$ का मान हमेशा अंतराल $(a, b)$ के बीच स्थित होना चाहिए, यानी $a < c < b$।
गणना: समीकरण $12c^2 - 24c + 5 = 0$ को हल करने पर हमें दो मान प्राप्त होते हैं:
1. $c = 1 + \frac{\sqrt{21}}{6} \approx 1.76$ (यह अंतराल $0$ से $0.5$ के बाहर है)
2. $c = 1 - \frac{\sqrt{21}}{6} \approx 0.236$ (यह अंतराल $0$ से $0.5$ के अंदर है)
निष्कर्ष: चूँकि केवल विकल्प (A) अंतराल की शर्त को पूरा करता है, इसलिए आंसर-की में दिया गया विकल्प (B) गणितीय रूप से त्रुटिपूर्ण है। सही उत्तर (A) ही होगा।
फलन $f(x) = \sin x \cdot (1 + \cos x)$ का अधिकतम मान $x$ के किस मान पर होगा?
(The maximum value of function $f(x) = \sin x \cdot (1 + \cos x)$ will be at $x =$)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: फलन का अवकलन (Differentiation):
दिया गया फलन: $f(x) = \sin x + \sin x \cos x = \sin x + \frac{1}{2}\sin 2x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \cos x + \frac{1}{2}(2\cos 2x) = \cos x + \cos 2x$
Step 2: क्रांतिक बिंदु (Critical Points) ज्ञात करना:
अधिकतम या न्यूनतम मान के लिए, $f'(x) = 0$ रखें:
$\cos x + \cos 2x = 0 \implies \cos 2x = -\cos x$
$\cos 2x = \cos(\pi - x)$
$2x = \pi - x \implies 3x = \pi \implies x = \pi/3$
Step 3: अधिकतम मान की जाँच:
द्वितीय अवकलन $f''(x) = -\sin x - 2\sin 2x$
$x = \pi/3$ पर, $f''(\pi/3) = -\sin(\pi/3) - 2\sin(2\pi/3) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) < 0$
चूँकि $f''(x)$ ऋणात्मक है, अतः $x = \pi/3$ पर फलन का मान अधिकतम होगा।
जब भी $\sin$ और $\cos$ के गुणनफल वाले साधारण फलन हों, तो अक्सर उत्तर $\pi/3$ (60°) या $\pi/4$ (45°) होता है। आप विकल्पों को सीधे $f'(x)$ में रखकर भी देख सकते हैं। $\cos(60^\circ) + \cos(120^\circ) = 1/2 - 1/2 = 0$। यह सबसे तेज़ तरीका है!
अवकल समीकरण $2x \frac{dy}{dx} - y = 3$ प्रदर्शित करता है-
(The solution of the differential equation $2x \frac{dy}{dx} - y = 3$ represents-)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: चरों का पृथक्करण (Separation of Variables):
दिया गया समीकरण: $2x \frac{dy}{dx} = y + 3$
इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{2}{y + 3} dy = \frac{1}{x} dx$
Step 2: समाकलन (Integration) करना:
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$2 \int \frac{1}{y + 3} dy = \int \frac{1}{x} dx$
$2 \log(y + 3) = \log x + \log C$
$\log(y + 3)^2 = \log(Cx)$
Step 3: वक्र की पहचान:
$(y + 3)^2 = Cx$
यह समीकरण $Y^2 = 4AX$ के रूप का है, जो कि एक परवलय (Parabola) का मानक समीकरण है।
समीकरण को देखते ही ध्यान दें कि $y$ की घात समाकलन के बाद 2 हो जाएगी (चूँकि $2 dy/(y+3)$ है) और $x$ की घात 1 ही रहेगी। जिस समीकरण में एक चर की घात 2 और दूसरे की 1 हो, वह हमेशा परवलय होता है।
अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}(x \log x) + y = 2 \log x$ का अवकल गुणांक (Integrating Factor) होगा-
(Integration factor of differential equation $\frac{dy}{dx}(x \log x) + y = 2 \log x$ is-)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: मानक रूप (Standard Form) में लाना:
रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ होता है।
दिए गए समीकरण को $(x \log x)$ से भाग देने पर:
$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{2 \log x}{x \log x} \implies \frac{dy}{dx} + \left( \frac{1}{x \log x} \right) y = \frac{2}{x}$
Step 2: $P$ की पहचान करना:
यहाँ तुलना करने पर $P = \frac{1}{x \log x}$ प्राप्त होता है।
Step 3: समाकलन गुणक (Integrating Factor - I.F.) की गणना:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx}$
समाकलन $\int \frac{1}{x \log x} dx$ को हल करने के लिए $\log x = t$ रखने पर, $\frac{1}{x} dx = dt$:
$\int \frac{1}{t} dt = \log t = \log(\log x)$
Step 4: अंतिम मान:
$I.F. = e^{\log(\log x)}$
चूँकि $e^{\log f(x)} = f(x)$ होता है, इसलिए:
$I.F. = \log x$
जब भी $P$ का मान $\frac{1}{x \log x}$ के रूप में हो, तो उसका समाकलन हमेशा $\log(\log x)$ होगा और $e$ की घात होने के कारण बाहरी $\log$ हट जाएगा। परिणाम हमेशा 'अंदर' वाला पद $(\log x)$ ही बचता है।
वक्र $y = 4x - x^2$ तथा $x$-अक्ष से घिरा क्षेत्रफल होगा-
(Area bounded by the curve $y = 4x - x^2$ and the $x$-axis is-)
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: प्रतिच्छेदन बिंदु (Intersection Points) ज्ञात करना:
$x$-अक्ष पर $y = 0$ होता है। अतः:
$4x - x^2 = 0 \implies x(4 - x) = 0$
$x = 0$ तथा $x = 4$। ये हमारी समाकलन की सीमाएं (Limits) होंगी।
Step 2: समाकलन द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात करना:
क्षेत्रफल (Area) = $\int_{a}^{b} y \, dx = \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx$
Area = $\left[ \frac{4x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
Area = $\left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
Step 3: सीमाओं का मान रखना (Applying Limits):
Area = $\left( 2(4)^2 - \frac{4^3}{3} \right) - (0)$
Area = $\left( 32 - \frac{64}{3} \right) = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}$ वर्ग इकाई
परवलय $y = ax - bx^2$ और $x$-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल हमेशा $\frac{a^3}{6b^2}$ होता है।
यहाँ $a = 4$ और $b = 1$ है।
Area = $\frac{4^3}{6(1)^2} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$। मात्र 5 सेकंड में उत्तर!
समाकलन $\int \frac{dx}{\sin^3 x \cos^5 x}$ का मान होगा-
(The value of integral $\int \frac{dx}{\sin^3 x \cos^5 x}$ is-)
B. $\frac{1}{2} \cot^2 x + 3 \log \tan x + \frac{3}{2} \tan^2 x + \frac{1}{4} \tan^4 x + C$
C. $-\frac{1}{2} \cot^2 x + 3 \log \tan x - \frac{3}{2} \tan^2 x + C$
D. $-\frac{1}{2} \cot^2 x - 3 \log \tan x + \frac{3}{2} \tan^2 x + C$
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: अंश (Numerator) और हर (Denominator) को $\cos^8 x$ से भाग देना:
$\int \frac{dx}{\sin^3 x \cos^5 x} = \int \frac{\sec^8 x \, dx}{(\sin^3 x / \cos^3 x)} = \int \frac{\sec^8 x \, dx}{\tan^3 x}$
Step 2: $\sec^8 x$ को सरल करना:
$\sec^8 x = \sec^6 x \cdot \sec^2 x = (1 + \tan^2 x)^3 \cdot \sec^2 x$
अतः: $\int \frac{(1 + \tan^2 x)^3}{\tan^3 x} \cdot \sec^2 x \, dx$
Step 3: प्रतिस्थापन (Substitution):
मान लीजिए $\tan x = t$, तब $\sec^2 x \, dx = dt$
$\int \frac{(1 + t^2)^3}{t^3} dt = \int \frac{1 + 3t^2 + 3t^4 + t^6}{t^3} dt$
$= \int (t^{-3} + 3t^{-1} + 3t + t^3) dt$
Step 4: समाकलन करना:
$= \frac{t^{-2}}{-2} + 3 \log t + \frac{3t^2}{2} + \frac{t^4}{4} + C$
$= -\frac{1}{2t^2} + 3 \log t + \frac{3t^2}{2} + \frac{t^4}{4} + C$
Step 5: $t = \tan x$ रखने पर:
$= -\frac{1}{2} \cot^2 x + 3 \log \tan x + \frac{3}{2} \tan^2 x + \frac{1}{4} \tan^4 x + C$
जब भी $\sin$ और $\cos$ की घातों का योग $(\text{odd} + \text{odd} = \text{even})$ ऋण में आए (जैसे यहाँ $-3-5 = -8$), तो हमेशा $\tan x = t$ का प्रतिस्थापन सबसे तेज़ होता है। विकल्प में $-\frac{1}{2} \cot^2 x$ और $\frac{1}{4} \tan^4 x$ की उपस्थिति उत्तर की पुष्टि कर देती है।
दिये गये में से कौन सा कथन असत्य / गलत है?
(Which of the following is false statement?)
B. सिम्पसन 3/8 वें नियम (Simpson’s 3/8th rule) लागू करते समय उप-अंतराल की संख्या 3 के गुणांक के रूप में ली जानी चाहिए।
C. सिम्पसन 1/3 वें नियम (Simpson’s 1/3rd rule) लागू करते समय उप-अंतराल की संख्या 3 के गुणांक के रूप में ली जानी चाहिए।
D. उपरोक्त में से कोई नहीं।
विस्तृत विश्लेषण (Detailed Analysis):
संख्यात्मक समाकलन में उप-अंतरालों (sub-intervals, $n$) की संख्या के लिए विशेष नियम होते हैं:
- Weddle's Rule: यहाँ $n$, 6 का गुणज (multiple of 6) होना चाहिए। अतः कथन A सत्य है।
- Simpson's 3/8 Rule: यहाँ $n$, 3 का गुणज (multiple of 3) होना चाहिए। अतः कथन B भी सत्य है।
- Simpson's 1/3 Rule: इस नियम के लिए $n$ हमेशा एक सम संख्या (even number) होनी चाहिए, यानी 2 का गुणज।
चूँकि कथन C कहता है कि Simpson's 1/3 rule के लिए $n$, 3 का गुणांक होना चाहिए, इसलिए यह कथन असत्य (False) है।
नियमों को उनके नाम से याद रखें:
- 1/3 नियम → 3 का उल्टा (सम संख्या $n=2,4,6...$)
- 3/8 नियम → नाम में 3 है (3 का गुणज $n=3,6,9...$)
- Weddle → "W" को उल्टा करें तो 3 जैसा दिखेगा, लेकिन यह 6 के लिए है ($n=6,12...$)
दो घटनायें स्वतंत्र होंगी, यदि ($E$ और $F$ दो घटनायें हैं)-
(Two events are said to be independent, if (Two events are $E$ and $F$)-)
त्रुटि सुधार (Error Correction):
सिद्धांत: दो घटनाएँ $E$ और $F$ तभी स्वतंत्र होती हैं जब घटना $E$ की प्रायिकता, घटना $F$ के होने या न होने से अप्रभावित रहे। इसका एकमात्र मानक गणितीय रूप है:
$P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$
नोट: आंसर-की में दिया गया विकल्प (B) गलत है। स्वतंत्र घटनाओं के लिए घटाव (Subtraction) का कोई नियम नहीं होता। छात्र कृपया विकल्प (A) को ही सही मानें।
दिये गये में से कौन सा किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(Which of the following cannot be the probability of an event?)
विस्तृत व्याख्या (Detailed Explanation):
नियम (Rule): प्रायिकता के सिद्धांत के अनुसार, किसी भी घटना $E$ की प्रायिकता $P(E)$ का मान हमेशा 0 और 1 के बीच (0 और 1 सहित) होता है।
गणितीय रूप में: $0 \leq P(E) \leq 1$
विकल्पों की जाँच:
- A. $1/3$: इसका मान लगभग $0.33$ है, जो 0 और 1 के बीच है। यह संभव है।
- B. $-2.5$: प्रायिकता कभी भी ऋणात्मक (Negative) नहीं हो सकती। अतः यह संभव नहीं है।
- C. $15\%$: इसका मान $15/100 = 0.15$ है। यह संभव है।
- D. $0.9$: यह 0 और 1 के बीच है। यह भी संभव है।
प्रायिकता के सवालों में बस दो "Red Flags" ढूँढें: **माइनस का निशान (-)** या **1 से बड़ी संख्या**। जो भी विकल्प इनमें से एक हो, वही आपका उत्तर होगा।
यदि एक निष्पक्ष सिक्का को $n$-बार उछालते हैं, तो ठीक $m$ शीर्ष ($n-m$ पुच्छ) प्राप्त होने की प्रायिकता इस प्रकार की जाती है-
(If we toss a fair coin $n$-times, the probability of obtaining exactly $m$ heads ($n-m$ tail) will be given by-)
B. $\binom{n}{m} \left( \frac{1}{2} \right)^m \left( \frac{1}{2} \right)^{n+m}$
C. $\binom{n}{m} 2^m 2^{n-m}$
D. $\binom{n}{m} \left( \frac{1}{2} \right)^m 2^{n-m}$
विस्तृत हल (Detailed Solution):
Step 1: बाइनोमियल वितरण का मानक सूत्र:
बर्नौली परीक्षणों के लिए, $n$ प्रयासों में से ठीक $r$ सफलताओं की प्रायिकता का सूत्र है:
$$P(X=r) = \binom{n}{r} p^r q^{n-r}$$
जहाँ $p$ सफलता की प्रायिकता और $q = (1-p)$ असफलता की प्रायिकता है।
Step 2: प्रश्न के अनुसार मान रखना:
एक निष्पक्ष सिक्के (fair coin) के लिए:
- शीर्ष ($Head$) आने की प्रायिकता ($p$) = $1/2$
- पुच्छ ($Tail$) आने की प्रायिकता ($q$) = $1/2$
- कुल उछाल की संख्या = $n$
- सफलताओं की संख्या ($Head$) = $m$
Step 3: अंतिम समीकरण:
सफलता ($m$) और असफलता ($n-m$) के मान सूत्र में रखने पर:
$$P(\text{exactly } m \text{ heads}) = \binom{n}{m} \left( \frac{1}{2} \right)^m \left( \frac{1}{2} \right)^{n-m}$$
चूंकि सिक्के के मामले में $p=q=1/2$ होता है, इसलिए आधार समान होने पर घातांक जुड़ जाते हैं ($m + n - m = n$)। अंतिम उत्तर को $\binom{n}{m} \frac{1}{2^n}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है। विकल्प (A) ही मानक सूत्र का सीधा विस्तार है।
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--------- प्रिंटर एक समय में एक लाइन प्रिंट करता है।
(The --------- printer print one line at a time.)
विस्तृत विश्लेषण (Detailed Analysis):
प्रिंटर को उनकी प्रिंटिंग गति और तकनीक के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है। मुख्य रूप से **लाइन प्रिंटर (Line Printers)** वे होते हैं जो एक बार में पूरी लाइन प्रिंट करते हैं।
- ड्रम प्रिंटर (Drum Printer): यह एक इम्पैक्ट लाइन प्रिंटर है जिसमें एक बेलनाकार ड्रम होता है। यह एक समय में एक पूरी लाइन प्रिंट करने की क्षमता रखता है।
- चेन/बैंड प्रिंटर (Chain/Band Printer): यह भी लाइन प्रिंटर की श्रेणी में आता है जो एक घूमने वाली चेन या स्टील बैंड का उपयोग करके एक समय में एक लाइन प्रिंट करता है।
- कैरेक्टर प्रिंटर (Character Printer): जैसा कि नाम से पता चलता है, यह एक समय में केवल एक अक्षर (Character) प्रिंट करता है, जैसे डॉट मैट्रिक्स प्रिंटर।
चूंकि ड्रम और चेन दोनों ही 'लाइन प्रिंटर' के उदाहरण हैं, इसलिए सही उत्तर **'A और B दोनों'** होगा।
लाइन प्रिंटर की गति को **LPM (Lines Per Minute)** में मापा जाता है। ड्रम, चेन और बैंड प्रिंटर इसके सबसे प्रमुख उदाहरण हैं जो पुराने मेनफ्रेम कंप्यूटरों में बहुत लोकप्रिय थे।
उस डिवाइस का नाम बताइए जो कंप्यूटर के सी.पी.यू. (CPU) और मेमोरी को घेरे रहते हैं?
(Name the devices which surround a computer's CPU and memory?)
विस्तृत विश्लेषण (Detailed Analysis):
कंप्यूटर आर्किटेक्चर में, मुख्य प्रसंस्करण इकाई (CPU) और मुख्य मेमोरी (RAM) कंप्यूटर के 'कोर' या केंद्र माने जाते हैं।
- पेरिफेरल डिवाइसेस (Peripheral Devices): ये वे हार्डवेयर उपकरण होते हैं जो कंप्यूटर के मुख्य भाग (CPU और मेमोरी) के बाहर स्थित होते हैं और उससे जुड़कर उसकी कार्यक्षमता बढ़ाते हैं। इसमें इनपुट, आउटपुट और स्टोरेज डिवाइस सभी शामिल हैं।
- इनपुट डिवाइसेस: ये केवल डेटा भेजने का काम करते हैं (जैसे कीबोर्ड, माउस)।
- आउटपुट डिवाइसेस: ये केवल परिणाम दिखाने का काम करते हैं (जैसे मॉनिटर, प्रिंटर)।
चूंकि इनपुट और आउटपुट दोनों ही श्रेणी के उपकरण CPU को घेरकर कार्य करते हैं, इसलिए सामूहिक रूप से इन्हें 'पेरिफेरल डिवाइसेस' कहा जाता है।
कौन सा सॉफ्टवेयर उपयोगकर्ता को सिस्टम रखरखाव में मदद करता है?
(Which software helps user in system maintenance?)
विस्तृत विश्लेषण (Detailed Analysis):
सॉफ्टवेयर को उनके कार्यों के आधार पर कई श्रेणियों में बांटा गया है। सिस्टम के रखरखाव और सुचारू संचालन के लिए विशिष्ट सॉफ्टवेयर का उपयोग किया जाता है।
- यूटिलिटी सॉफ्टवेयर (Utility Software): यह वह सॉफ्टवेयर है जिसे विशेष रूप से कंप्यूटर हार्डवेयर, ऑपरेटिंग सिस्टम या एप्लिकेशन सॉफ्टवेयर को कॉन्फ़िगर करने, विश्लेषण करने, अनुकूलित करने या रखरखाव (Maintenance) करने में मदद के लिए डिज़ाइन किया गया है। उदाहरण: एंटीवायरस, डिस्क क्लीनअप, बैकअप सॉफ्टवेयर।
- ऑपरेटिंग सिस्टम: यह हार्डवेयर और उपयोगकर्ता के बीच इंटरफेस का काम करता है।
- एप्लिकेशन सॉफ्टवेयर: यह विशिष्ट उपयोगकर्ता कार्यों के लिए होता है (जैसे वर्ड प्रोसेसर)।
अतः, सिस्टम रखरखाव (System Maintenance) का कार्य **'यूटिलिटी सॉफ्टवेयर'** द्वारा किया जाता है।
इनमें से कौन सी/से इनपुट डिवाइस है/हैं?
(Which of these is/are Input Device/s?)
विस्तृत विश्लेषण (Detailed Analysis):
इनपुट डिवाइस वे उपकरण होते हैं जिनके माध्यम से डेटा या निर्देश कंप्यूटर सिस्टम में भेजे जाते हैं।
- डिजिटाइजर (Digitizer): यह ग्राफिक्स टैबलेट जैसा उपकरण है जो हाथ से बनाई गई ड्राइंग को डिजिटल डेटा में बदल देता है। यह एक शुद्ध इनपुट डिवाइस है।
- टच स्क्रीन (Touch Screen): हालांकि यह डिस्प्ले का भी काम करती है, लेकिन उंगलियों के स्पर्श से कमांड लेना इसे एक प्रमुख इनपुट डिवाइस बनाता है।
- इमेज स्कैनर (Image Scanner): यह हार्ड कॉपी (तस्वीर या दस्तावेज) को डिजिटल इमेज में स्कैन करके कंप्यूटर के अंदर भेजता है। यह भी एक इनपुट डिवाइस है।
चूंकि तीनों ही उपकरण कंप्यूटर में जानकारी प्रविष्ट करने का काम करते हैं, इसलिए सही उत्तर **'उपरोक्त सभी'** है।
टच स्क्रीन एक अनूठा उदाहरण है जिसे **इनपुट और आउटपुट** दोनों श्रेणियों में रखा जा सकता है, क्योंकि यह जानकारी दिखाता भी है और निर्देश लेता भी है।
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