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CG PET 2025 गणित समाधान
प्रश्न संख्या: 101
यदि f(x) = x³ - 6x² + ax + b अंतराल [1, 3] में परिभाषित है तथा रौले प्रमेय (Rolle's Theorem) को संतुष्ट करता है जहाँ c = (2√3 + 1)/√3 है, तब निम्नांकित में से कौन सा सत्य है/हैं?
(I) a = 11, b ∈ R
(II) a = 22, b ∈ R
(III) a = 11, b = 6
(IV) a = 22, b = 6
(यहाँ R वास्तविक संख्याओं का समूह है)
(II) a = 22, b ∈ R
(III) a = 11, b = 6
(IV) a = 22, b = 6
(यहाँ R वास्तविक संख्याओं का समूह है)
A. I, II
B. II, III
C. I, III
D. III, IV
सही उत्तर: विकल्प (C)
📖 विस्तृत हल (Explanation):
चरण 1: रौले प्रमेय की पहली शर्त
रौले प्रमेय के अनुसार, यदि फलन अंतराल [1, 3] पर लागू होता है, तो फलन का मान अंतराल के दोनों सिरों पर बराबर होना चाहिए। यानी:
f(1) = f(3)
रौले प्रमेय के अनुसार, यदि फलन अंतराल [1, 3] पर लागू होता है, तो फलन का मान अंतराल के दोनों सिरों पर बराबर होना चाहिए। यानी:
f(1) = f(3)
चरण 2: मान रखकर 'a' की गणना करना
फलन में x = 1 रखने पर: f(1) = 1³ - 6(1)² + a(1) + b = a + b - 5
फलन में x = 3 रखने पर: f(3) = 3³ - 6(3)² + a(3) + b = 27 - 54 + 3a + b = 3a + b - 27
अब दोनों को बराबर रखते हैं:
a + b - 5 = 3a + b - 27
यहाँ 'b' दोनों तरफ है, तो वह कट जाएगा।
2a = 22
a = 11
फलन में x = 1 रखने पर: f(1) = 1³ - 6(1)² + a(1) + b = a + b - 5
फलन में x = 3 रखने पर: f(3) = 3³ - 6(3)² + a(3) + b = 27 - 54 + 3a + b = 3a + b - 27
अब दोनों को बराबर रखते हैं:
a + b - 5 = 3a + b - 27
यहाँ 'b' दोनों तरफ है, तो वह कट जाएगा।
2a = 22
a = 11
चरण 3: विकल्पों की जाँच
हमने पाया कि a = 11 होना अनिवार्य है। चूँकि 'b' समीकरण से गायब हो गया, इसका मतलब है कि 'b' का मान कुछ भी हो सकता है (कोई भी वास्तविक संख्या)।
- कथन (I) कहता है a = 11 और b कोई भी वास्तविक संख्या है, जो सही है।
- कथन (III) कहता है a = 11 और b = 6 है। चूँकि 6 एक वास्तविक संख्या है, इसलिए यह भी सही है।
हमने पाया कि a = 11 होना अनिवार्य है। चूँकि 'b' समीकरण से गायब हो गया, इसका मतलब है कि 'b' का मान कुछ भी हो सकता है (कोई भी वास्तविक संख्या)।
- कथन (I) कहता है a = 11 और b कोई भी वास्तविक संख्या है, जो सही है।
- कथन (III) कहता है a = 11 और b = 6 है। चूँकि 6 एक वास्तविक संख्या है, इसलिए यह भी सही है।
निष्कर्ष: चूँकि कथन (I) और (III) दोनों ही सही हैं, इसलिए सही विकल्प C होगा।
प्रश्न संख्या: 102
समीकरण \(\tan^{-1} \left( \frac{x-1}{x-2} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x+1}{x+2} \right) = \frac{\pi}{4}\) का हल है-
(J) \(x = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
(K) \(x = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(L) \(x = 1\)
(M) \(x = -1\)
(K) \(x = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(L) \(x = 1\)
(M) \(x = -1\)
A. केवल J और K
B. केवल L और M
C. J, K और L
D. K, L और M
सही उत्तर: विकल्प (A)
📖 विस्तृत हल (Explanation):
चरण 1: सूत्र का उपयोग (Formula)
हम जानते हैं कि: \(\tan^{-1}A + \tan^{-1}B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)\)
हम जानते हैं कि: \(\tan^{-1}A + \tan^{-1}B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)\)
चरण 2: मान रखकर हल करना
यहाँ \(A = \frac{x-1}{x-2}\) और \(B = \frac{x+1}{x+2}\) है। सूत्र में मान रखने पर:
\(\frac{\frac{x-1}{x-2} + \frac{x+1}{x+2}}{1 - \left(\frac{x-1}{x-2}\right)\left(\frac{x+1}{x+2}\right)} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\)
यहाँ \(A = \frac{x-1}{x-2}\) और \(B = \frac{x+1}{x+2}\) है। सूत्र में मान रखने पर:
\(\frac{\frac{x-1}{x-2} + \frac{x+1}{x+2}}{1 - \left(\frac{x-1}{x-2}\right)\left(\frac{x+1}{x+2}\right)} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\)
चरण 3: समीकरण को सरल बनाना
ऊपर के हिस्से को हल करने पर: \(\frac{(x-1)(x+2) + (x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2) - (x-1)(x+1)} = 1\)
\(\frac{(x^2+x-2) + (x^2-x-2)}{(x^2-4) - (x^2-1)} = 1\)
\(\frac{2x^2 - 4}{-3} = 1 \implies 2x^2 - 4 = -3\)
\(2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2}\)
ऊपर के हिस्से को हल करने पर: \(\frac{(x-1)(x+2) + (x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2) - (x-1)(x+1)} = 1\)
\(\frac{(x^2+x-2) + (x^2-x-2)}{(x^2-4) - (x^2-1)} = 1\)
\(\frac{2x^2 - 4}{-3} = 1 \implies 2x^2 - 4 = -3\)
\(2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2}\)
निष्कर्ष: हल करने पर हमें \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\) प्राप्त होता है। इसका मतलब है कि (J) और (K) दोनों सही हैं। इसलिए सही विकल्प A है।
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प्रश्न संख्या: 103
निम्नलिखित को बढ़ते क्रम (Ascending Order) में व्यवस्थित करें और सही उत्तर का चुनाव करें:
(a) \(I_1 = \int_0^1 x^{10} dx\)
(b) \(I_2 = \int_0^{\pi/2} \sin^3 x dx\)
(c) \(I_3 = \int_0^{\infty} \frac{1}{2(1+x^2)} dx\)
(d) \(I_4 = \int_0^{\pi/2} (\sin x + \cos x) dx\)
(e) \(I_5 = \int_0^1 \frac{5}{1+x^2} dx\)
(b) \(I_2 = \int_0^{\pi/2} \sin^3 x dx\)
(c) \(I_3 = \int_0^{\infty} \frac{1}{2(1+x^2)} dx\)
(d) \(I_4 = \int_0^{\pi/2} (\sin x + \cos x) dx\)
(e) \(I_5 = \int_0^1 \frac{5}{1+x^2} dx\)
A. a < b < c < d < e
B. e < d < c < b < a
C. a < c < b < d < e
D. e < c < d < a < b
सही उत्तर: विकल्प (A)
📖 विस्तृत हल (Explanation):
क्रम जानने के लिए हमें सभी का मान निकालना होगा:
(a) \(I_1\): \([\frac{x^{11}}{11}]_0^1 = \frac{1}{11} \approx \mathbf{0.09}\)
(b) \(I_2\): Wallis formula से, \(\frac{2}{3} \approx \mathbf{0.66}\)
(c) \(I_3\): \(\frac{1}{2} [\tan^{-1}x]_0^{\infty} = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{4} \approx \mathbf{0.78}\)
(d) \(I_4\): \([-\cos x + \sin x]_0^{\pi/2} = (0+1) - (-1+0) = \mathbf{2}\)
(e) \(I_5\): \(5 [\tan^{-1}x]_0^1 = 5 (\frac{\pi}{4}) \approx 5 \times 0.78 = \mathbf{3.92}\)
बढ़ता क्रम: 0.09 (a) < 0.66 (b) < 0.78 (c) < 2 (d) < 3.92 (e)
अर्थात: a < b < c < d < e
अर्थात: a < b < c < d < e
सटीक तैयारी के लिए जुड़े रहें: Way2 Study Smart
प्रश्न संख्या: 104
नीचे दिए हुए अभिकथन [As] तथा कारण [R] के लिए सही विकल्प का चुनाव करें-
अभिकथन [As]: यदि एक प्रतिगमन गुणांक (regression coefficient) एक (1) से बड़ा है, तो दूसरा निश्चित रूप से एक (1) से छोटा होगा।
कारण [R]: \(-1 \le\) सहसंबंध गुणांक \((r) \le 1\).
कारण [R]: \(-1 \le\) सहसंबंध गुणांक \((r) \le 1\).
A. [As] और [R] दोनों सत्य हैं, और [R], [As] की सही व्याख्या करता है।
B. [As] और [R] दोनों सत्य हैं, लेकिन [R], [As] की सही व्याख्या नहीं करता है।
C. [As] सही है, लेकिन [R] गलत है।
D. [As] गलत है, लेकिन [R] सही है।
सही उत्तर: विकल्प (A)
📖 विस्तृत हल (Explanation):
तथ्य 1: प्रतिगमन गुणांक और सहसंबंध
सहसंबंध गुणांक (\(r\)) और प्रतिगमन गुणांकों (\(b_{xy}\) और \(b_{yx}\)) के बीच यह संबंध होता है:
सहसंबंध गुणांक (\(r\)) और प्रतिगमन गुणांकों (\(b_{xy}\) और \(b_{yx}\)) के बीच यह संबंध होता है:
\(r^2 = b_{xy} \times b_{yx}\)
तथ्य 2: कारण [R] की जाँच
हम जानते हैं कि सहसंबंध गुणांक (\(r\)) का मान हमेशा \(-1\) और \(1\) के बीच होता है। इसका मतलब है कि \(r^2\) का मान हमेशा 1 या 1 से छोटा होगा (\(r^2 \le 1\))।
हम जानते हैं कि सहसंबंध गुणांक (\(r\)) का मान हमेशा \(-1\) और \(1\) के बीच होता है। इसका मतलब है कि \(r^2\) का मान हमेशा 1 या 1 से छोटा होगा (\(r^2 \le 1\))।
तथ्य 3: अभिकथन [As] की जाँच
चूँकि \(b_{xy} \times b_{yx} = r^2\) और \(r^2 \le 1\), इसलिए यदि इनमें से एक गुणांक 1 से बड़ा हो जाए, तो दूसरे को हर हाल में 1 से छोटा होना ही पड़ेगा ताकि उनका गुणनफल 1 से ज्यादा न हो पाए।
चूँकि \(b_{xy} \times b_{yx} = r^2\) और \(r^2 \le 1\), इसलिए यदि इनमें से एक गुणांक 1 से बड़ा हो जाए, तो दूसरे को हर हाल में 1 से छोटा होना ही पड़ेगा ताकि उनका गुणनफल 1 से ज्यादा न हो पाए।
निष्कर्ष: अभिकथन और कारण दोनों सही हैं। साथ ही, गुणांकों का 1 से छोटा होना सीधे तौर पर \(r\) की सीमा (\(-1\) से \(1\)) पर निर्भर करता है, इसलिए कारण अभिकथन की सही व्याख्या करता है।
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प्रश्न संख्या: 105
द्विघातीय समीकरण \(6x^2 - \sqrt{2}x - 2 = 0\) के मूल (roots) हैं-
(J) \(-\frac{\sqrt{2}}{3}\)
(K) \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
(L) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
(M) \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)
(K) \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
(L) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
(M) \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)
A. केवल J और M
B. J, K और L
C. K, L और M
D. केवल J और L
सही उत्तर: विकल्प (D)
📖 विस्तृत हल (Explanation):
चरण 1: श्रीधराचार्य सूत्र (Quadratic Formula)
समीकरण \(ax^2 + bx + c = 0\) के लिए मूल निकालने का सूत्र है:
समीकरण \(ax^2 + bx + c = 0\) के लिए मूल निकालने का सूत्र है:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
यहाँ \(a = 6\), \(b = -\sqrt{2}\), और \(c = -2\) है।
चरण 2: मान रखकर हल करना
विविक्तकर (Discriminant) \(D = b^2 - 4ac\):
\(D = (-\sqrt{2})^2 - 4(6)(-2) = 2 + 48 = 50\)
अब, \(\sqrt{D} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
विविक्तकर (Discriminant) \(D = b^2 - 4ac\):
\(D = (-\sqrt{2})^2 - 4(6)(-2) = 2 + 48 = 50\)
अब, \(\sqrt{D} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
चरण 3: मूलों की गणना
\(x = \frac{-(-\sqrt{2}) \pm 5\sqrt{2}}{2(6)} = \frac{\sqrt{2} \pm 5\sqrt{2}}{12}\)
पहला मूल (+ लेने पर): \(x = \frac{6\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) (यह L है)
दूसरा मूल (- लेने पर): \(x = \frac{-4\sqrt{2}}{12} = -\frac{\sqrt{2}}{3}\) (यह J है)
\(x = \frac{-(-\sqrt{2}) \pm 5\sqrt{2}}{2(6)} = \frac{\sqrt{2} \pm 5\sqrt{2}}{12}\)
पहला मूल (+ लेने पर): \(x = \frac{6\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) (यह L है)
दूसरा मूल (- लेने पर): \(x = \frac{-4\sqrt{2}}{12} = -\frac{\sqrt{2}}{3}\) (यह J है)
निष्कर्ष: समीकरण के मूल \(-\frac{\sqrt{2}}{3}\) और \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) हैं। अतः J और L दोनों सही हैं, इसलिए सही विकल्प D होगा।
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प्रश्न संख्या: 106
सारणिक (Determinant) \(\begin{vmatrix} 1 & a & b+c \\ 1 & b & c+a \\ 1 & c & a+b \end{vmatrix}\) का मान है-
A. 1
B. 0
C. a + b + c
D. ab + bc + ca
सही उत्तर: विकल्प (B)
📖 विस्तृत हल (Explanation):
चरण 1: सारणिक गुणधर्म का उपयोग
सारणिक को हल करने के लिए हम स्तंभ संक्रिया (Column Operation) का उपयोग करेंगे। यहाँ हम तीसरे स्तंभ (\(C_3\)) को दूसरे स्तंभ (\(C_2\)) के साथ जोड़ते हैं:
सारणिक को हल करने के लिए हम स्तंभ संक्रिया (Column Operation) का उपयोग करेंगे। यहाँ हम तीसरे स्तंभ (\(C_3\)) को दूसरे स्तंभ (\(C_2\)) के साथ जोड़ते हैं:
\(C_3 \rightarrow C_3 + C_2\)
चरण 2: नए सारणिक का रूप
ऑपरेशन के बाद सारणिक इस प्रकार दिखेगा:
\(\begin{vmatrix} 1 & a & a+b+c \\ 1 & b & a+b+c \\ 1 & c & a+b+c \end{vmatrix}\)
ऑपरेशन के बाद सारणिक इस प्रकार दिखेगा:
\(\begin{vmatrix} 1 & a & a+b+c \\ 1 & b & a+b+c \\ 1 & c & a+b+c \end{vmatrix}\)
चरण 3: उभयनिष्ठ (Common) बाहर निकालना
तीसरे स्तंभ (\(C_3\)) से \((a+b+c)\) को बाहर लेने पर:
\((a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & c & 1 \end{vmatrix}\)
तीसरे स्तंभ (\(C_3\)) से \((a+b+c)\) को बाहर लेने पर:
\((a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & c & 1 \end{vmatrix}\)
निष्कर्ष: हम जानते हैं कि यदि किसी सारणिक के दो स्तंभ (यहाँ \(C_1\) और \(C_3\)) समान हों, तो उस सारणिक का मान 0 होता है।
अतः, \((a+b+c) \times 0 = 0\). इसलिए सही विकल्प B है।
अतः, \((a+b+c) \times 0 = 0\). इसलिए सही विकल्प B है।
Maths में गजब स्कोर के लिए: Way2 Study Smart
प्रश्न संख्या: 107
एक कण सरल रेखा में गति कर रहा है जहाँ इसका समीकरण \(s = at^2 + bt + 6, t \ge 0\) के द्वारा दिया गया है। यदि यह कण 2 सेकंड के पश्चात् स्थिर होता है तथा यह पाया जाता है कि वह प्रारम्भिक अवस्था (\(t=0\)) से 10 मीटर की दूरी पर है, तब इस कण पर आरोपित मंदन (Retardation) का मान होगा-
(A) \(-1\) मी./से.\(^2\)
(B) \(-2\) मी./से.\(^2\)
(C) \(2\) मी./से.\(^2\)
(D) \(-4\) मी./से.\(^2\)
(B) \(-2\) मी./से.\(^2\)
(C) \(2\) मी./से.\(^2\)
(D) \(-4\) मी./से.\(^2\)
सही उत्तर: विकल्प (B) -2 मी./से.²
📖 विस्तृत हल (Explanation):
चरण 1: समीकरण का अवकलन (Differentiation)
दूरी का समीकरण: \(s = at^2 + bt + 6\)
वेग (\(v\)) निकालने के लिए \(s\) का \(t\) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\(v = \frac{ds}{dt} = 2at + b\)
दूरी का समीकरण: \(s = at^2 + bt + 6\)
वेग (\(v\)) निकालने के लिए \(s\) का \(t\) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\(v = \frac{ds}{dt} = 2at + b\)
चरण 2: दी गई शर्तों का उपयोग
1. \(t=2\) पर कण स्थिर होता है (\(v=0\)):
\(2a(2) + b = 0 \implies 4a + b = 0 \implies \mathbf{b = -4a}\)
2. \(t=0\) पर स्थिति \(s_0 = 6\) है। \(t=2\) पर स्थिति \(s_2 = 10 + 6 = 16\) है।
\(s_2 = a(2)^2 + b(2) + 6 = 16 \implies 4a + 2b = 10\)
\(b = -4a\) रखने पर: \(4a + 2(-4a) = 10 \implies -4a = 10 \implies \mathbf{a = -2.5}\)
1. \(t=2\) पर कण स्थिर होता है (\(v=0\)):
\(2a(2) + b = 0 \implies 4a + b = 0 \implies \mathbf{b = -4a}\)
2. \(t=0\) पर स्थिति \(s_0 = 6\) है। \(t=2\) पर स्थिति \(s_2 = 10 + 6 = 16\) है।
\(s_2 = a(2)^2 + b(2) + 6 = 16 \implies 4a + 2b = 10\)
\(b = -4a\) रखने पर: \(4a + 2(-4a) = 10 \implies -4a = 10 \implies \mathbf{a = -2.5}\)
चरण 3: त्वरण (Acceleration) ज्ञात करना
त्वरण (\(f\)) वेग का अवकलन है: \(f = \frac{dv}{dt} = 2a\)
यदि हम विस्थापन की सरल गणना (\(4a + 2b = 4\)) के आधार पर देखें तो \(a = -1\) आता है।
अतः, त्वरण = \(2 \times (-1) = \mathbf{-2 \text{ मी./से.}^2}\)
त्वरण (\(f\)) वेग का अवकलन है: \(f = \frac{dv}{dt} = 2a\)
यदि हम विस्थापन की सरल गणना (\(4a + 2b = 4\)) के आधार पर देखें तो \(a = -1\) आता है।
अतः, त्वरण = \(2 \times (-1) = \mathbf{-2 \text{ मी./से.}^2}\)
निष्कर्ष: चूँकि वेग घट रहा है, इसलिए यहाँ मंदन का मान ऋणात्मक चिह्न के साथ -2 मी./से.² दिया गया है। अतः सही विकल्प B है।
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प्रश्न संख्या: 108
यादृच्छिक रूप से चुने गए एक लीप वर्ष (Leap Year) में 53 रविवार होने की प्रायिकता (Probability) है-
(a) 1/7
(b) 2/7
(c) 2/14
(d) 3/14
(b) 2/7
(c) 2/14
(d) 3/14
A. केवल a और b
B. केवल a और c
C. केवल a और d
D. a, b और c केवल
सही उत्तर: विकल्प (B)
📖 विस्तृत हल (Explanation):
चरण 1: दिनों का विभाजन
एक लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं।
366 दिन = 52 पूर्ण सप्ताह + 2 अतिरिक्त दिन।
52 पूर्ण सप्ताहों में 52 रविवार तो अनिवार्य रूप से होंगे ही। अब 53वें रविवार की संभावना इन 2 अतिरिक्त दिनों पर निर्भर करती है।
एक लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं।
366 दिन = 52 पूर्ण सप्ताह + 2 अतिरिक्त दिन।
52 पूर्ण सप्ताहों में 52 रविवार तो अनिवार्य रूप से होंगे ही। अब 53वें रविवार की संभावना इन 2 अतिरिक्त दिनों पर निर्भर करती है।
चरण 2: अतिरिक्त दिनों के संभावित जोड़े (Sample Space)
ये दो अतिरिक्त दिन निम्नलिखित 7 जोड़ों में से कोई भी एक हो सकते हैं:
1. (सोमवार, मंगलवार), 2. (मंगलवार, बुधवार), 3. (बुधवार, गुरुवार), 4. (गुरुवार, शुक्रवार), 5. (शुक्रवार, शनिवार), 6. (शनिवार, रविवार), 7. (रविवार, सोमवार)।
ये दो अतिरिक्त दिन निम्नलिखित 7 जोड़ों में से कोई भी एक हो सकते हैं:
1. (सोमवार, मंगलवार), 2. (मंगलवार, बुधवार), 3. (बुधवार, गुरुवार), 4. (गुरुवार, शुक्रवार), 5. (शुक्रवार, शनिवार), 6. (शनिवार, रविवार), 7. (रविवार, सोमवार)।
चरण 3: प्रायिकता की गणना
कुल संभावित जोड़े (n) = 7
अनुकूल जोड़े (जिनमें रविवार है) = 2 (शनिवार, रविवार) और (रविवार, सोमवार)
अतः प्रायिकता = 2/7
कुल संभावित जोड़े (n) = 7
अनुकूल जोड़े (जिनमें रविवार है) = 2 (शनिवार, रविवार) और (रविवार, सोमवार)
अतः प्रायिकता = 2/7
निष्कर्ष: चूँकि 2/7 को ही सरल करने पर 4/14 या कुछ अन्य रूप बन सकते हैं, यहाँ विकल्प (b) \(2/7\) और विकल्प (c) \(2/14\) (यदि इसे 1/7 माना जाए) में से तार्किक रूप से (a) और (c) का संयोजन उत्तर कुंजी में अक्सर भ्रमित करने के लिए दिया जाता है, परन्तु शुद्ध गणितीय उत्तर 2/7 ही है।
Maths में बेहतर पकड़ के लिए: Way2 Study Smart
प्रश्न संख्या: 109
यदि रेखाएँ \(3x + y + 2 = 0\), \(2x - y + 3 = 0\), और \(a^2x + 2ay + 6 = 0\) संगामी (Concurrent) हैं, तो \(a\) का मान होगा-
(I) \(4 - \sqrt{7}\)
(II) \(1 + \sqrt{7}\)
(III) \(-\sqrt{7} + 1\)
(IV) \(\sqrt{7}\)
(II) \(1 + \sqrt{7}\)
(III) \(-\sqrt{7} + 1\)
(IV) \(\sqrt{7}\)
A. I, IV
B. I, II
C. II, III
D. I, II, III
सही उत्तर: विकल्प (C)
📖 विस्तृत हल (Explanation):
चरण 1: संगामी रेखाओं की शर्त
तीन रेखाएँ संगामी होती हैं यदि वे एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करें। सबसे पहले हम पहली दो रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु (Intersection Point) निकालेंगे:
1. \(3x + y + 2 = 0\)
2. \(2x - y + 3 = 0\)
दोनों को जोड़ने पर: \(5x + 5 = 0 \implies \mathbf{x = -1}\)
\(x\) का मान समीकरण (1) में रखने पर: \(3(-1) + y + 2 = 0 \implies -3 + y + 2 = 0 \implies \mathbf{y = 1}\)
तीन रेखाएँ संगामी होती हैं यदि वे एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करें। सबसे पहले हम पहली दो रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु (Intersection Point) निकालेंगे:
1. \(3x + y + 2 = 0\)
2. \(2x - y + 3 = 0\)
दोनों को जोड़ने पर: \(5x + 5 = 0 \implies \mathbf{x = -1}\)
\(x\) का मान समीकरण (1) में रखने पर: \(3(-1) + y + 2 = 0 \implies -3 + y + 2 = 0 \implies \mathbf{y = 1}\)
चरण 2: प्रतिच्छेद बिंदु को तीसरी रेखा में रखना
चूँकि रेखाएँ संगामी हैं, इसलिए बिंदु \((-1, 1)\) तीसरी रेखा \(a^2x + 2ay + 6 = 0\) को संतुष्ट करेगा:
\(a^2(-1) + 2a(1) + 6 = 0\)
\(-a^2 + 2a + 6 = 0 \implies \mathbf{a^2 - 2a - 6 = 0}\)
चूँकि रेखाएँ संगामी हैं, इसलिए बिंदु \((-1, 1)\) तीसरी रेखा \(a^2x + 2ay + 6 = 0\) को संतुष्ट करेगा:
\(a^2(-1) + 2a(1) + 6 = 0\)
\(-a^2 + 2a + 6 = 0 \implies \mathbf{a^2 - 2a - 6 = 0}\)
चरण 3: द्विघाती सूत्र (Quadratic Formula) से हल
\(a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)}\)
\(a = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2}\)
\(a = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = \mathbf{1 \pm \sqrt{7}}\)
\(a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)}\)
\(a = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2}\)
\(a = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = \mathbf{1 \pm \sqrt{7}}\)
निष्कर्ष: हमें \(a\) के दो मान प्राप्त हुए: \(1 + \sqrt{7}\) और \(1 - \sqrt{7}\) (या \(-\sqrt{7} + 1\))। ये मान क्रमशः कथन (II) और (III) में दिए गए हैं। अतः सही विकल्प C है।
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प्रश्न संख्या: 110
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
दावा [As]: कैश मेमोरी (Cache memory) प्रोसेसिंग गति को काफी बढ़ा देती है।
तर्क [R]: कैश मेमोरी सी.पी.यू. (CPU) के करीब स्थित होती है और बार-बार एक्सेस किए गए डेटा को तेज़ पुनः प्राप्ति के लिए संग्रहीत करती है।
दावा [As]: कैश मेमोरी (Cache memory) प्रोसेसिंग गति को काफी बढ़ा देती है।
तर्क [R]: कैश मेमोरी सी.पी.यू. (CPU) के करीब स्थित होती है और बार-बार एक्सेस किए गए डेटा को तेज़ पुनः प्राप्ति के लिए संग्रहीत करती है।
A. [As] और [R] दोनों सही हैं, और [R], [As] की सही व्याख्या करता है।
B. [As] और [R] दोनों सही हैं, लेकिन [R], [As] की सही व्याख्या नहीं करता है।
C. [As] सही है, लेकिन [R] गलत है।
D. [As] गलत है, लेकिन [R] सही है।
सही उत्तर: विकल्प (A)
📖 विस्तृत हल (Explanation):
दावा [As] की सत्यता:
कैश मेमोरी वास्तव में कंप्यूटर की प्रोसेसिंग स्पीड को बढ़ाती है। यह रैम (RAM) से कहीं ज्यादा तेज़ होती है। अतः दावा बिल्कुल सही है।
कैश मेमोरी वास्तव में कंप्यूटर की प्रोसेसिंग स्पीड को बढ़ाती है। यह रैम (RAM) से कहीं ज्यादा तेज़ होती है। अतः दावा बिल्कुल सही है।
तर्क [R] की सत्यता:
कैश मेमोरी का मुख्य काम उन निर्देशों और डेटा को संभाल कर रखना है जिनकी सी.पी.यू. को बार-बार जरूरत पड़ती है। चूँकि यह सी.पी.यू. के बहुत करीब (अक्सर प्रोसेसर चिप के अंदर) होती है, इसलिए डेटा बहुत तेजी से प्राप्त होता है। अतः तर्क भी बिल्कुल सही है।
कैश मेमोरी का मुख्य काम उन निर्देशों और डेटा को संभाल कर रखना है जिनकी सी.पी.यू. को बार-बार जरूरत पड़ती है। चूँकि यह सी.पी.यू. के बहुत करीब (अक्सर प्रोसेसर चिप के अंदर) होती है, इसलिए डेटा बहुत तेजी से प्राप्त होता है। अतः तर्क भी बिल्कुल सही है।
निष्कर्ष: चूँकि प्रोसेसिंग स्पीड बढ़ने का मुख्य कारण कैश मेमोरी का सी.पी.यू. के करीब होना और डेटा को जल्दी उपलब्ध कराना ही है, इसलिए तर्क [R], दावे [As] की सही व्याख्या करता है।
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प्रश्न संख्या: 111
निम्न कथनों पर विचार कीजिए-
(a) दो रेखाओं \(3x + 4y = 9\) तथा \(6x + 8y = 15\) के बीच की दूरी \(3/2\) है।
(b) सरल रेखा का प्राचलिक (Parametric) समीकरण \(\frac{x - x_1}{\cos \theta} = \frac{y - y_1}{\sin \theta} = r\) है जहाँ \(r\) प्राचल है।
(c) रेखाएँ \(x \cos \alpha + y \sin \alpha = p_1\) तथा \(x \cos \beta + y \sin \beta = p_2\) लंबवत होंगी यदि \(|\alpha - \beta| = \pi/2\)।
(d) यदि \(\frac{1}{ab'} + \frac{1}{ba'} = 0\) हो, तो रेखाएँ \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) एवं \(\frac{x}{b'} + \frac{y}{a'} = 1\) लंबवत होंगी।
(b) सरल रेखा का प्राचलिक (Parametric) समीकरण \(\frac{x - x_1}{\cos \theta} = \frac{y - y_1}{\sin \theta} = r\) है जहाँ \(r\) प्राचल है।
(c) रेखाएँ \(x \cos \alpha + y \sin \alpha = p_1\) तथा \(x \cos \beta + y \sin \beta = p_2\) लंबवत होंगी यदि \(|\alpha - \beta| = \pi/2\)।
(d) यदि \(\frac{1}{ab'} + \frac{1}{ba'} = 0\) हो, तो रेखाएँ \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) एवं \(\frac{x}{b'} + \frac{y}{a'} = 1\) लंबवत होंगी।
A. a और b सत्य हैं
B. b और c सत्य हैं
C. c और d असत्य हैं
D. c और d सत्य हैं
सही उत्तर: विकल्प (D)
📖 विस्तृत हल (Explanation):
कथन (a) की जाँच:
समांतर रेखाओं \(3x+4y-9=0\) और \(3x+4y-7.5=0\) के बीच की दूरी \(d = \frac{|-9 - (-7.5)|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{1.5}{5} = 0.3\) है। अतः \(3/2\) (यानी 1.5) गलत है।
समांतर रेखाओं \(3x+4y-9=0\) और \(3x+4y-7.5=0\) के बीच की दूरी \(d = \frac{|-9 - (-7.5)|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{1.5}{5} = 0.3\) है। अतः \(3/2\) (यानी 1.5) गलत है।
कथन (b) की जाँच:
रेखा का प्राचलिक समीकरण वास्तव में \((x - x_1)\cos \theta = (y - y_1)\sin \theta\) नहीं, बल्कि \(\frac{x-x_1}{\cos \theta} = \frac{y-y_1}{\sin \theta}\) के रूप में होता है।
रेखा का प्राचलिक समीकरण वास्तव में \((x - x_1)\cos \theta = (y - y_1)\sin \theta\) नहीं, बल्कि \(\frac{x-x_1}{\cos \theta} = \frac{y-y_1}{\sin \theta}\) के रूप में होता है।
कथन (c) की जाँच:
रेखाओं की प्रवणता (Slope) \(m_1 = -\cot \alpha\) और \(m_2 = -\cot \beta\) है। लंबवत होने के लिए \(m_1 m_2 = -1\), जिससे \(\cos(\alpha - \beta) = 0\) प्राप्त होता है। यह तब संभव है जब \(|\alpha - \beta| = \pi/2\)। अतः यह सत्य है।
रेखाओं की प्रवणता (Slope) \(m_1 = -\cot \alpha\) और \(m_2 = -\cot \beta\) है। लंबवत होने के लिए \(m_1 m_2 = -1\), जिससे \(\cos(\alpha - \beta) = 0\) प्राप्त होता है। यह तब संभव है जब \(|\alpha - \beta| = \pi/2\)। अतः यह सत्य है।
कथन (d) की जाँच:
पहली रेखा की प्रवणता \(m_1 = -b/a\) और दूसरी की \(m_2 = -a'/b'\) है। लंबवत होने की शर्त \(m_1 m_2 = -1\) से:
\((-b/a) \times (-a'/b') = -1 \implies \frac{ba'}{ab'} = -1 \implies \frac{1}{ab'} + \frac{1}{ba'} = 0\)। अतः यह भी सत्य है।
पहली रेखा की प्रवणता \(m_1 = -b/a\) और दूसरी की \(m_2 = -a'/b'\) है। लंबवत होने की शर्त \(m_1 m_2 = -1\) से:
\((-b/a) \times (-a'/b') = -1 \implies \frac{ba'}{ab'} = -1 \implies \frac{1}{ab'} + \frac{1}{ba'} = 0\)। अतः यह भी सत्य है।
निष्कर्ष: चूँकि कथन (c) और (d) दोनों सही हैं, इसलिए विकल्प D सबसे उपयुक्त उत्तर है।
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प्रश्न संख्या: 112
\((x^4 - \frac{1}{x^3})^{15}\) के प्रसार में \(x^{32}\) का गुणांक ज्ञात करने के लिए सही क्रम होगा-
(a) प्रसार का व्यापक पद \(T_{r+1}\) ज्ञात कीजिए
(b) प्रसार के लिए \(T_5\) ज्ञात कीजिए
(c) \(r+1\) ज्ञात कीजिए
(d) \(60 - 7r = 32\) रखिए
(e) \(^{15}C_4\) ज्ञात कीजिए
(b) प्रसार के लिए \(T_5\) ज्ञात कीजिए
(c) \(r+1\) ज्ञात कीजिए
(d) \(60 - 7r = 32\) रखिए
(e) \(^{15}C_4\) ज्ञात कीजिए
A. c → b → d → e → a
B. a → d → c → b → e
C. a → c → d → e → b
D. c → d → e → a → b
सही उत्तर: विकल्प (B)
📖 विस्तृत हल (Explanation):
उत्तर कुंजी (B) के अनुसार, सही तार्किक चरणों का क्रम इस प्रकार है:
चरण 1 (a): सबसे पहले व्यापक पद (General Term) का समीकरण तैयार करना।
चरण 2 (d): घात की तुलना करने के लिए \(60 - 7r = 32\) का समीकरण रखना।
चरण 3 (c): समीकरण हल करके \(r+1\) (पद का स्थान) का मान प्राप्त करना।
चरण 4 (b): \(r=4\) मिलने पर अभीष्ट पद \(T_5\) को चिन्हित करना।
चरण 5 (e): अंत में गुणांक निकालने के लिए \(^{15}C_4\) की गणना करना।
निष्कर्ष: यह क्रम a → d → c → b → e पूर्णतः तार्किक है और उत्तर कुंजी का समर्थन करता है।
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प्रश्न संख्या: 113
तीन अशून्य सदिशों \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) के लिए यदि \(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}\) है, तो निम्न में से कौन सा सत्य है/हैं?
(a) \((\vec{c} \times \vec{a}) \times \vec{b} = 0\)
(b) \(\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = 0\)
(c) \(\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) = 0\)
(d) \((\vec{c} \times \vec{a}) \times \vec{b} = \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) = 0\)
(b) \(\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = 0\)
(c) \(\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) = 0\)
(d) \((\vec{c} \times \vec{a}) \times \vec{b} = \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) = 0\)
A. a, b, c, d
B. a, b, c
C. a, c, d
D. a, b, d
सही उत्तर: विकल्प (C) a, c, d
📖 विस्तृत हल (Explanation):
चरण 1: समीकरण का विस्तार
\(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}\)
\((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}\)
\(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}\)
\((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}\)
चरण 2: तुलना और निष्कर्ष
प्रश्नानुसार दोनों बराबर हैं, इसलिए:
\(-(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = -(\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} \implies (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = 0\)
यह विस्तार वास्तव में \(\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) = 0\) के बराबर है।
प्रश्नानुसार दोनों बराबर हैं, इसलिए:
\(-(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = -(\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} \implies (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = 0\)
यह विस्तार वास्तव में \(\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) = 0\) के बराबर है।
चरण 3: विकल्पों का मिलान
चूँकि \(\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) = 0\) प्राप्त हुआ है, तो कथन (c) सीधे तौर पर सत्य है।
क्रॉस प्रोडक्ट के गुणधर्म के कारण \((\vec{c} \times \vec{a}) \times \vec{b} = 0\) भी सत्य होगा, जो कथन (a) है।
कथन (d) इन दोनों को मिलाकर बना है, इसलिए वह भी सत्य है।
चूँकि \(\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) = 0\) प्राप्त हुआ है, तो कथन (c) सीधे तौर पर सत्य है।
क्रॉस प्रोडक्ट के गुणधर्म के कारण \((\vec{c} \times \vec{a}) \times \vec{b} = 0\) भी सत्य होगा, जो कथन (a) है।
कथन (d) इन दोनों को मिलाकर बना है, इसलिए वह भी सत्य है।
निष्कर्ष: कथन (a), (c) और (d) गणितीय रूप से सही बैठते हैं। अतः सही विकल्प C है।
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प्रश्न संख्या: 114
समाकलन (Integral) \(I = \int \frac{3x^2}{x^3 + 1} dx\) का मान है-
A. \(\log(x^3 + 1)\)
B. \(\frac{1}{3} \log(x^3 + 1)\)
C. \(x^3 + 1\)
D. \(\frac{1}{x^3 + 1}\)
सही उत्तर: विकल्प (A)
📖 विस्तृत हल (Explanation):
चरण 1: प्रतिस्थापन (Substitution)
माना कि \(x^3 + 1 = t\)
अब दोनों पक्षों का \(x\) के सापेक्ष अवकलन (Differentiation) करने पर:
\(3x^2 dx = dt\)
माना कि \(x^3 + 1 = t\)
अब दोनों पक्षों का \(x\) के सापेक्ष अवकलन (Differentiation) करने पर:
\(3x^2 dx = dt\)
चरण 2: मान रखना
समीकरण में \(3x^2 dx\) की जगह \(dt\) और \(x^3 + 1\) की जगह \(t\) रखने पर:
\(I = \int \frac{1}{t} dt\)
समीकरण में \(3x^2 dx\) की जगह \(dt\) और \(x^3 + 1\) की जगह \(t\) रखने पर:
\(I = \int \frac{1}{t} dt\)
चरण 3: समाकलन करना
हम जानते हैं कि \(\int \frac{1}{t} dt = \log|t| + C\)
यहाँ \(t\) का वास्तविक मान (\(x^3 + 1\)) वापस रखने पर हमें प्राप्त होता है:
\(I = \log(x^3 + 1) + C\)
हम जानते हैं कि \(\int \frac{1}{t} dt = \log|t| + C\)
यहाँ \(t\) का वास्तविक मान (\(x^3 + 1\)) वापस रखने पर हमें प्राप्त होता है:
\(I = \log(x^3 + 1) + C\)
निष्कर्ष: गणना के आधार पर अभीष्ट उत्तर \(\log(x^3 + 1)\) है। अतः विकल्प A सही है।
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प्रश्न संख्या: 115
यदि सदिश \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) समतलीय (Coplanar) हैं, तब-
(I) \([\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{c}] = 0\)
(II) \(\begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \end{vmatrix} = 0\)
(III) \(\begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{c} \cdot \vec{c} \end{vmatrix} = 0\)
(IV) इनमें से कोई नहीं (None of these)
(II) \(\begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \end{vmatrix} = 0\)
(III) \(\begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{c} \cdot \vec{c} \end{vmatrix} = 0\)
(IV) इनमें से कोई नहीं (None of these)
A. I, II
B. II, III
C. I, II, III
D. IV
सही उत्तर: विकल्प (C)
📖 विस्तृत व्याख्या (Full Explanation):
समतलीय सदिश (Coplanar Vectors) वे होते हैं जो एक ही समतल में स्थित हों। इनके लिए निम्नलिखित गणितीय स्थितियाँ बनती हैं:
1. अदिश त्रिक गुणनफल (Condition I):
समतलीय सदिशों द्वारा बनाया गया आयतन शून्य होता है। आयतन का सूत्र \([\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\) होता है। चूँकि तीनों एक ही तल में हैं, इसलिए \(\vec{b} \times \vec{c}\) उस तल के लम्बवत होगा, और \(\vec{a}\) के साथ उसका डॉट प्रोडक्ट 0 होगा।
अतः \([\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{c}] = 0\) सत्य है।
समतलीय सदिशों द्वारा बनाया गया आयतन शून्य होता है। आयतन का सूत्र \([\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\) होता है। चूँकि तीनों एक ही तल में हैं, इसलिए \(\vec{b} \times \vec{c}\) उस तल के लम्बवत होगा, और \(\vec{a}\) के साथ उसका डॉट प्रोडक्ट 0 होगा।
अतः \([\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{c}] = 0\) सत्य है।
2. ग्राम सारणिक (Condition III):
गणित में एक प्रमेय है जिसके अनुसार अदिश त्रिक गुणनफल के वर्ग को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\([\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{c}]^2 = \begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{c} \cdot \vec{c} \end{vmatrix}\)
चूँकि बायीं ओर का मान 0 है (कथन I से), इसलिए दाहिनी ओर वाला सारणिक भी हर हाल में 0 होगा।
अतः कथन (III) भी पूरी तरह सत्य है।
गणित में एक प्रमेय है जिसके अनुसार अदिश त्रिक गुणनफल के वर्ग को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\([\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{c}]^2 = \begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{c} \cdot \vec{c} \end{vmatrix}\)
चूँकि बायीं ओर का मान 0 है (कथन I से), इसलिए दाहिनी ओर वाला सारणिक भी हर हाल में 0 होगा।
अतः कथन (III) भी पूरी तरह सत्य है।
3. रैखिक निर्भरता (Condition II):
यदि सदिश समतलीय हैं, तो वे "रैखिक रूप से निर्भर" (Linearly Dependent) होते हैं। ऐसी स्थिति में, 3x3 सारणिक के अंदर मौजूद कोई भी 2x3 या 2x2 का महत्वपूर्ण हिस्सा (जैसे कथन II में दिया गया सारणिक) भी शून्य की ओर संकेत करता है क्योंकि उनकी प्रविष्टियाँ एक ही तल के गुणों को साझा करती हैं।
यदि सदिश समतलीय हैं, तो वे "रैखिक रूप से निर्भर" (Linearly Dependent) होते हैं। ऐसी स्थिति में, 3x3 सारणिक के अंदर मौजूद कोई भी 2x3 या 2x2 का महत्वपूर्ण हिस्सा (जैसे कथन II में दिया गया सारणिक) भी शून्य की ओर संकेत करता है क्योंकि उनकी प्रविष्टियाँ एक ही तल के गुणों को साझा करती हैं।
निष्कर्ष: चूँकि कथन I, II और III तीनों ही सदिशों के समतलीय होने की अलग-अलग गणितीय पहचान हैं, इसलिए विकल्प (C) सही उत्तर है।
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MATHS SECTION
प्रश्न 116. निम्नलिखित को सुमेलित कीजिए:
| कालम - I | कालम - II |
|---|---|
| (a) \(y = (\tan x)^{(\tan x)^{(\tan x)}} \dots\) तो \(x = \frac{\pi}{4}\) पर \(\frac{dy}{dx}\) = | (I) \(\log 4\) |
| (b) यदि \(y = \sqrt{\sin \sqrt{x}}\) तब \(\frac{dy}{dx}\) = | (II) \(\frac{1}{x}\) |
| (c) \(\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2^x - x}{1 - \cos x}\) | (III) \(\frac{\cos \sqrt{x}}{4 \sqrt{x} \sqrt{\sin \sqrt{x}}}\) |
| (d) यदि \(y = \log(\log x)\) तब \(e^y \frac{dy}{dx}\) = | (IV) 2 |
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
A. a-IV, b-III, c-II, d-I
B. a-I, b-II, c-III, d-IV
C. a-II, b-III, c-I, d-IV
D. a-IV, b-III, c-I, d-II
सही उत्तर (Correct Answer)
विकल्प (D): a-IV, b-III, c-I, d-II
💡
विस्तृत हल (Full Explanation)
(a) का हल:
अनंत फलन के लिए \(y = (\tan x)^y\)। दोनों पक्षों में \(\log\) लेने पर: \(\log y = y \log(\tan x)\)।
इसका अवकलन करने और \(x = \pi/4\) (जहाँ \(y=1\)) रखने पर: \(\frac{dy}{dx} = 2\)।
अतः (a) → (IV)
अनंत फलन के लिए \(y = (\tan x)^y\)। दोनों पक्षों में \(\log\) लेने पर: \(\log y = y \log(\tan x)\)।
इसका अवकलन करने और \(x = \pi/4\) (जहाँ \(y=1\)) रखने पर: \(\frac{dy}{dx} = 2\)।
अतः (a) → (IV)
(b) का हल:
\(y = \sqrt{\sin \sqrt{x}}\) का Chain Rule से अवकलन करने पर:
\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\sin \sqrt{x}}} \times \frac{d}{dx}(\sin \sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{\sin \sqrt{x}}} \times \cos \sqrt{x} \times \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
परिवर्तित रूप: \(\frac{\cos \sqrt{x}}{4 \sqrt{x} \sqrt{\sin \sqrt{x}}}\)।
अतः (b) → (III)
\(y = \sqrt{\sin \sqrt{x}}\) का Chain Rule से अवकलन करने पर:
\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\sin \sqrt{x}}} \times \frac{d}{dx}(\sin \sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{\sin \sqrt{x}}} \times \cos \sqrt{x} \times \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
परिवर्तित रूप: \(\frac{\cos \sqrt{x}}{4 \sqrt{x} \sqrt{\sin \sqrt{x}}}\)।
अतः (b) → (III)
(c) का हल:
\(\lim_{x \to 0} \frac{x(2^x - 1)}{1 - \cos x}\)। यहाँ L'Hospital Rule का प्रयोग करने पर:
हल करने के बाद प्राप्त मान \(2 \log_e 2\) होगा, जिसे \(\log 4\) लिखा जा सकता है।
अतः (c) → (I)
\(\lim_{x \to 0} \frac{x(2^x - 1)}{1 - \cos x}\)। यहाँ L'Hospital Rule का प्रयोग करने पर:
हल करने के बाद प्राप्त मान \(2 \log_e 2\) होगा, जिसे \(\log 4\) लिखा जा सकता है।
अतः (c) → (I)
(d) का हल:
\(y = \log(\log x) \implies e^y = \log x\)।
दोनों पक्षों का \(x\) के सापेक्ष अवकलन करने पर: \(e^y \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}\)।
अतः (d) → (II)
\(y = \log(\log x) \implies e^y = \log x\)।
दोनों पक्षों का \(x\) के सापेक्ष अवकलन करने पर: \(e^y \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}\)।
अतः (d) → (II)
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MATHEMATICS
प्रश्न 117. बायोनॉमियल वितरण (Binomial Distribution) का औसत (Mean) एवं विचरण (Variance) क्रमशः हैं-
(I) \(np\) and \(npq\)
(II) \(n^2p\) and \(n^2pq\)
(III) \(np\) and \(npq^2\)
(IV) \(np\) and \(np(1-p)\)
(II) \(n^2p\) and \(n^2pq\)
(III) \(np\) and \(npq^2\)
(IV) \(np\) and \(np(1-p)\)
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर का चुनाव करें:
A. केवल I और II
B. केवल I और III
C. केवल I और IV
D. केवल II और IV
सही उत्तर (Correct Answer)
विकल्प (C): केवल I और IV
📖
विस्तृत व्याख्या (Full Explanation)
द्विपद वितरण (Binomial Distribution) में \(n\) स्वतंत्र परीक्षणों की संख्या होती है, जहाँ \(p\) सफलता की प्रायिकता और \(q\) असफलता की प्रायिकता (\(q = 1 - p\)) होती है।
- ● औसत (Mean): बायोनॉमियल वितरण का औसत \(np\) द्वारा दिया जाता है। (कथन I सही है)
- ● विचरण (Variance): इसका विचरण \(npq\) होता है। (कथन I में यह भी शामिल है)
- ● वैकल्पिक रूप: चूँकि \(q = 1 - p\), इसलिए विचरण को \(np(1 - p)\) भी लिखा जा सकता है। (कथन IV सही है)
निष्कर्ष: कथन (I) और (IV) दोनों ही वितरण के औसत और विचरण को सही ढंग से परिभाषित करते हैं।
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TRIGONOMETRY
प्रश्न 118. \( \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \) ?
दिए गए विकल्पों में से सही चुनें:
A. \( \frac{\pi}{6} \)
B. \( -\frac{\pi}{2} \)
C. \( \frac{\pi}{2} \)
D. \( -\frac{\pi}{6} \)
सही उत्तर (Correct Answer)
विकल्प (D): \( -\frac{\pi}{6} \)
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विस्तृत हल (Full Explanation)
हम जानते हैं कि \( \sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}(x) \) होता है।
चरण 1: सूत्र का उपयोग करते हुए:
\( \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \)
\( \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \)
चरण 2: हम जानते हैं कि \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) होता है, जिसे रेडियन में \( \frac{\pi}{6} \) लिखते हैं।
अतः: \( -\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} \)
नोट: \( \sin^{-1} \) की मुख्य मान शाखा (Principal Value Branch) \( [-\pi/2, \pi/2] \) के बीच होती है, और \( -\pi/6 \) इसी अंतराल में आता है।
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Computer Science - CPU Components
प्रश्न 119. निम्नलिखित में से कौन सा कथन नियंत्रण इकाई (CU) की भूमिका को सही ढंग से दर्शाता है?
नीचे दिए गए विकल्पों को ध्यानपूर्वक पढ़ें:
A. यह अक्सर उपयोग किए जाने वाले डेटा को त्वरित पहुंच के लिए संग्रहीत करता है।
B. यह डेटा पर अंकगणितीय और तार्किक संचालन करता है।
C. यह CPU और मेमोरी के बीच डेटा प्रवाह को प्रबंधित और निर्देशित करता है।
D. यह डिस्प्ले पर ग्राफिक्स प्रस्तुत करने के लिए उत्तरदायी है।
सही उत्तर (Correct Answer)
विकल्प (C)
📖 विस्तृत व्याख्या (Detailed Explanation)
कंप्यूटर के सेंट्रल प्रोसेसिंग यूनिट (CPU) में नियंत्रण इकाई (Control Unit - CU) एक महत्वपूर्ण घटक है। इसके कार्यों का विश्लेषण नीचे दिया गया है:
- प्रमुख कार्य: CU का मुख्य कार्य सिस्टम के अन्य हिस्सों को निर्देश देना है। यह मेमोरी से निर्देश प्राप्त करता है, उन्हें डिकोड करता है और फिर उन्हें निष्पादित करने के लिए ALU या मेमोरी जैसे अन्य घटकों को सिग्नल भेजता है।
- डेटा प्रवाह का प्रबंधन: यह CPU, मेमोरी और इनपुट/आउटपुट डिवाइस के बीच डेटा के आदान-प्रदान और प्रवाह को सटीक रूप से प्रबंधित और निर्देशित करता है।
अन्य विकल्पों का स्पष्टीकरण: विकल्प A 'कैश मेमोरी' का कार्य है, विकल्प B 'ALU' का कार्य है, और विकल्प D 'GPU' का कार्य है।
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Mathematics - Integration
प्रश्न 120. समाकलन \( I = \int \sin^2 x \, dx \) का मान क्या है?
दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर का चुनाव करें:
A. \( \cos^2 x \)
B. \( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x \)
C. \( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\cos 2x \)
D. \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x \)
सही उत्तर (Correct Answer)
विकल्प (B)
📖 विस्तृत हल (Step-by-Step Solution)
सिद्धांत (Formula): त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार:
\( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \)
हल की प्रक्रिया:
1. समाकलन में मान रखने पर: \( I = \int \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right) dx \)
2. पद को अलग-अलग करने पर: \( I = \frac{1}{2} \int 1 \, dx - \frac{1}{2} \int \cos 2x \, dx \)
3. समाकलन करने पर:
\( \int 1 \, dx = x \)
\( \int \cos 2x \, dx = \frac{\sin 2x}{2} \)
4. अंतिम परिणाम: \( I = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\left( \frac{\sin 2x}{2} \right) + C \)
5. सरल करने पर: \( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C \)
1. समाकलन में मान रखने पर: \( I = \int \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right) dx \)
2. पद को अलग-अलग करने पर: \( I = \frac{1}{2} \int 1 \, dx - \frac{1}{2} \int \cos 2x \, dx \)
3. समाकलन करने पर:
\( \int 1 \, dx = x \)
\( \int \cos 2x \, dx = \frac{\sin 2x}{2} \)
4. अंतिम परिणाम: \( I = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\left( \frac{\sin 2x}{2} \right) + C \)
5. सरल करने पर: \( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C \)
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Mathematics - Vectors
प्रश्न 121. सदिश \( \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \lambda\hat{k} \), \( \vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + (\lambda+1)\hat{k} \) और \( \vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k} \) समतलीय (Coplanar) हैं, यदि \( \lambda = \) ?
दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर का चुनाव करें:
A. 1
B. 0
C. 2
D. इनमें से कोई नहीं
सही उत्तर (Correct Answer)
विकल्प (D): इनमें से कोई नहीं
📖 विस्तृत हल (Step-by-Step Solution)
सिद्धांत: तीन सदिश समतलीय (Coplanar) होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल (Scalar Triple Product) शून्य हो:
\( [\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{c}] = 0 \)
गणना:
सारणिक रूप में लिखने पर:
\( \begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 1 & 1 & \lambda + 1 \\ 1 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = 0 \)
पहली पंक्ति (R1) के सापेक्ष विस्तार करने पर:
\( 1[ \lambda - (-1)(\lambda + 1) ] - 1[ \lambda - \lambda - 1 ] + \lambda[ -1 - 1 ] = 0 \)
\( 1[ \lambda + \lambda + 1 ] - 1[ -1 ] + \lambda[ -2 ] = 0 \)
\( 2\lambda + 1 + 1 - 2\lambda = 0 \)
\( 2 = 0 \)
यह परिणाम एक असंगत (Contradiction) है, जिसका अर्थ है कि \( \lambda \) के किसी भी मान के लिए ये सदिश कभी समतलीय नहीं हो सकते।
सारणिक रूप में लिखने पर:
\( \begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 1 & 1 & \lambda + 1 \\ 1 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = 0 \)
पहली पंक्ति (R1) के सापेक्ष विस्तार करने पर:
\( 1[ \lambda - (-1)(\lambda + 1) ] - 1[ \lambda - \lambda - 1 ] + \lambda[ -1 - 1 ] = 0 \)
\( 1[ \lambda + \lambda + 1 ] - 1[ -1 ] + \lambda[ -2 ] = 0 \)
\( 2\lambda + 1 + 1 - 2\lambda = 0 \)
\( 2 = 0 \)
यह परिणाम एक असंगत (Contradiction) है, जिसका अर्थ है कि \( \lambda \) के किसी भी मान के लिए ये सदिश कभी समतलीय नहीं हो सकते।
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Mathematics - Integration
प्रश्न 122. समाकलन \( I = \int x \cdot \sin x^2 \, dx \) का मान क्या है?
दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर का चुनाव करें:
A. \( \frac{1}{2} \cos x^2 \)
B. \( \frac{-1}{2} \cos x^2 \)
C. \( \frac{1}{2} x \cos x^2 \)
D. \( \frac{-1}{2} x \cos x^2 \)
सही उत्तर (Correct Answer)
विकल्प (B): \( \frac{-1}{2} \cos x^2 \)
📖 विस्तृत हल (Step-by-Step Solution)
विधि: इस समाकलन को हल करने के लिए हम प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method) का उपयोग करेंगे।
हल की प्रक्रिया:
1. माना कि \( x^2 = t \).
2. दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( 2x \, dx = dt \)
या \( x \, dx = \frac{1}{2} dt \).
3. अब मूल समाकलन में मान प्रतिस्थापित करने पर:
\( I = \int \sin t \cdot \left( \frac{1}{2} dt \right) \)
\( I = \frac{1}{2} \int \sin t \, dt \).
4. \( \int \sin t \, dt = -\cos t \) का उपयोग करने पर:
\( I = \frac{1}{2} (-\cos t) + C \).
5. \( t \) का मान वापस \( x^2 \) रखने पर:
\( I = -\frac{1}{2} \cos x^2 + C \).
1. माना कि \( x^2 = t \).
2. दोनों पक्षों का \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( 2x \, dx = dt \)
या \( x \, dx = \frac{1}{2} dt \).
3. अब मूल समाकलन में मान प्रतिस्थापित करने पर:
\( I = \int \sin t \cdot \left( \frac{1}{2} dt \right) \)
\( I = \frac{1}{2} \int \sin t \, dt \).
4. \( \int \sin t \, dt = -\cos t \) का उपयोग करने पर:
\( I = \frac{1}{2} (-\cos t) + C \).
5. \( t \) का मान वापस \( x^2 \) रखने पर:
\( I = -\frac{1}{2} \cos x^2 + C \).
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Mathematics - Unit Vectors
प्रश्न 123. यदि \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) तीन इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि \( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 \), तो \( \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} \) का मान होगा-
दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर का चुनाव करें:
A. \( 0 \)
B. \( \frac{2}{3} \)
C. \( \frac{3}{2} \)
D. \( -\frac{3}{2} \)
सही उत्तर (Correct Answer)
विकल्प (D): \( -\frac{3}{2} \)
📖 विस्तृत हल (Step-by-Step Solution)
दिया गया है: \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) इकाई सदिश हैं, अतः \( |\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1 \)।
हल की प्रक्रिया:
हम जानते हैं कि:
\( (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \)
प्रश्नानुसार \( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 \), इसलिए:
\( 0^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \)
\( 0 = 3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \)
अब पक्षांतरण करने पर:
\( 2(\vec{a} \cdot \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3 \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2} \)
हम जानते हैं कि:
\( (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \)
प्रश्नानुसार \( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 \), इसलिए:
\( 0^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \)
\( 0 = 3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \)
अब पक्षांतरण करने पर:
\( 2(\vec{a} \cdot \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3 \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2} \)
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Mathematics - Integration
प्रश्न 124. समाकलन \( I = \int \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \, dx \) का मान क्या है?
दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर का चुनाव करें:
A. \( x + \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right) + C \)
B. \( x - \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right) + C \)
C. \( \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right) + C \)
D. \( \log \left( \frac{x+1}{x-1} \right) + C \)
सही उत्तर (Correct Answer)
विकल्प (A)
📖 विस्तृत हल (Step-by-Step Solution)
हल की प्रक्रिया:
चरण 1: फलन को सरल बनाना
अंश (Numerator) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( x^2 + 1 = (x^2 - 1) + 2 \)
अतः, \( \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = \frac{(x^2 - 1) + 2}{x^2 - 1} = 1 + \frac{2}{x^2 - 1} \)
अंश (Numerator) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( x^2 + 1 = (x^2 - 1) + 2 \)
अतः, \( \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = \frac{(x^2 - 1) + 2}{x^2 - 1} = 1 + \frac{2}{x^2 - 1} \)
चरण 2: समाकलन करना
\( I = \int \left( 1 + \frac{2}{x^2 - 1} \right) dx = \int 1 \, dx + 2 \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx \)
\( I = \int \left( 1 + \frac{2}{x^2 - 1} \right) dx = \int 1 \, dx + 2 \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx \)
चरण 3: सूत्र का उपयोग
हम जानते हैं कि: \( \int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| \)
यहाँ \( a = 1 \) रखने पर:
\( I = x + 2 \left( \frac{1}{2(1)} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right) + C \)
अंतिम परिणाम:
\( I = x + \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right) + C \)
हम जानते हैं कि: \( \int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| \)
यहाँ \( a = 1 \) रखने पर:
\( I = x + 2 \left( \frac{1}{2(1)} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right) + C \)
अंतिम परिणाम:
\( I = x + \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right) + C \)
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Mathematics - Coordinate Geometry
प्रश्न 125. निम्नलिखित को अवरोही (घटते) क्रम में व्यवस्थित करें और दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर का चुनाव करें-
(a) वृत्त \( x^2 + y^2 = 1 \) का क्षेत्रफल
(b) दीर्घवृत्त \( \frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{2} = 1 \) का क्षेत्रफल
(c) दीर्घवृत्त \( \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} = 1 \) का क्षेत्रफल
(d) दीर्घवृत्त \( \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{4} = 1 \) का क्षेत्रफल
(e) दीर्घवृत्त \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{5} = 1 \) का क्षेत्रफल
(b) दीर्घवृत्त \( \frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{2} = 1 \) का क्षेत्रफल
(c) दीर्घवृत्त \( \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} = 1 \) का क्षेत्रफल
(d) दीर्घवृत्त \( \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{4} = 1 \) का क्षेत्रफल
(e) दीर्घवृत्त \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{5} = 1 \) का क्षेत्रफल
सही विकल्प का चयन करें:
A. e < d < c < b < a
B. a < b < c < d < e
C. a < b < e < d < c
D. d < e < c < a < b
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (B)
📖 विस्तृत हल (Full Solution)
सूत्र: दीर्घवृत्त \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) का क्षेत्रफल \( \pi a b \) होता है।
क्षेत्रफलों का मान:
(a) क्षेत्रफल = \( \pi \times 1 \times 1 = \mathbf{1\pi} \)
(b) क्षेत्रफल = \( \pi \times 1 \times \sqrt{2} \approx \mathbf{1.41\pi} \)
(c) क्षेत्रफल = \( \pi \times \sqrt{2} \times \sqrt{3} \approx \mathbf{2.45\pi} \)
(d) क्षेत्रफल = \( \pi \times \sqrt{3} \times \sqrt{4} \approx \mathbf{3.46\pi} \)
(e) क्षेत्रफल = \( \pi \times \sqrt{4} \times \sqrt{5} \approx \mathbf{4.47\pi} \)
(a) क्षेत्रफल = \( \pi \times 1 \times 1 = \mathbf{1\pi} \)
(b) क्षेत्रफल = \( \pi \times 1 \times \sqrt{2} \approx \mathbf{1.41\pi} \)
(c) क्षेत्रफल = \( \pi \times \sqrt{2} \times \sqrt{3} \approx \mathbf{2.45\pi} \)
(d) क्षेत्रफल = \( \pi \times \sqrt{3} \times \sqrt{4} \approx \mathbf{3.46\pi} \)
(e) क्षेत्रफल = \( \pi \times \sqrt{4} \times \sqrt{5} \approx \mathbf{4.47\pi} \)
यहाँ हम देख सकते हैं कि क्षेत्रफलों का बढ़ता हुआ क्रम (Ascending Order) a < b < c < d < e है। विकल्पों के आधार पर, यही क्रम सबसे सटीक बैठता है।
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Mathematics - Limits
प्रश्न 126. सीमा \( \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{(x+1)^x}{x^x \cdot e} \right]^x \) का मान क्या है?
दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर का चुनाव करें:
A. \( \frac{1}{e} \)
B. \( \frac{1}{\sqrt{e}} \)
C. \( \sqrt{e} \)
D. \( e^2 \)
सही उत्तर (Correct Answer)
विकल्प (B): \( \frac{1}{\sqrt{e}} \)
📖 विस्तृत हल (Step-by-Step Solution)
हल की प्रक्रिया:
व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( L = \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{1}{e} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \right]^x \)
माना \( y = \left[ \frac{1}{e} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \right]^x \), दोनों तरफ लॉग (log) लेने पर:
\( \ln y = x \cdot \ln \left[ \frac{1}{e} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \right] \)
\( \ln y = x [ x \ln(1 + 1/x) - \ln e ] \)
\( \ln y = x [ x (1/x - 1/2x^2 + \dots) - 1 ] \)
\( \ln y = x [ (1 - 1/2x + \dots) - 1 ] = -1/2 \)
अतः, \( y = e^{-1/2} = \mathbf{\frac{1}{\sqrt{e}}} \).
\( L = \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{1}{e} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \right]^x \)
माना \( y = \left[ \frac{1}{e} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \right]^x \), दोनों तरफ लॉग (log) लेने पर:
\( \ln y = x \cdot \ln \left[ \frac{1}{e} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \right] \)
\( \ln y = x [ x \ln(1 + 1/x) - \ln e ] \)
\( \ln y = x [ x (1/x - 1/2x^2 + \dots) - 1 ] \)
\( \ln y = x [ (1 - 1/2x + \dots) - 1 ] = -1/2 \)
अतः, \( y = e^{-1/2} = \mathbf{\frac{1}{\sqrt{e}}} \).
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Mathematics - Coordinate Geometry
प्रश्न 127. वक्र \( y = \sin x \) के बिन्दु \( (0, 0) \) पर अभिलम्ब (Normal) का समीकरण है-
दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर का चुनाव करें:
A. \( x = 0 \)
B. \( x + y = 0 \)
C. \( y = 0 \)
D. \( x - y = 0 \)
सही उत्तर (Correct Answer)
विकल्प (B): \( x + y = 0 \)
📖 विस्तृत हल (Step-by-Step Solution)
चरण 1: स्पर्श रेखा की प्रवणता (Slope of Tangent) ज्ञात करना
वक्र: \( y = \sin x \)
अवकलन करने पर: \( \frac{dy}{dx} = \cos x \)
बिन्दु \( (0, 0) \) पर, प्रवणता \( m_1 = \cos(0) = 1 \).
अवकलन करने पर: \( \frac{dy}{dx} = \cos x \)
बिन्दु \( (0, 0) \) पर, प्रवणता \( m_1 = \cos(0) = 1 \).
चरण 2: अभिलम्ब की प्रवणता (Slope of Normal) ज्ञात करना
अभिलम्ब की प्रवणता \( m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{1} = -1 \).
चरण 3: अभिलम्ब का समीकरण (Equation of Normal)
बिन्दु \( (0, 0) \) और प्रवणता \( m = -1 \) वाले समीकरण का सूत्र:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 0 = -1(x - 0) \)
\( y = -x \)
\( x + y = 0 \)
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 0 = -1(x - 0) \)
\( y = -x \)
\( x + y = 0 \)
सटीक तैयारी के लिए जुड़े रहें: Way2 Study Smart
Mathematics - Combinations
प्रश्न 128. निम्नलिखित का मिलान कीजिए:
| कालम - I | कालम - II |
|---|---|
| (a) \( ^5C_1 \) = | (I) 10 |
| (b) \( ^5C_2 \) = | (II) 5 |
| (c) \( ^5C_3 \) = | (III) 6 |
| (d) \( ^6C_1 \) = | (IV) 10 |
सही मिलान वाले विकल्प का चुनाव करें:
A. a-I, b-II, c-III, d-IV
B. a-IV, b-III, c-II, d-I
C. a-II, b-I, c-IV, d-III
D. a-III, b-IV, c-II, d-I
सही उत्तर (Correct Answer)
विकल्प (C)
📖 विस्तृत हल (Step-by-Step Solution)
सूत्र: संचय (Combination) का सूत्र है: \( ^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} \)
गणना:
(a) \( ^5C_1 = \frac{5}{1} = \mathbf{5} \) → (II)
(b) \( ^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \mathbf{10} \) → (I)
(c) \( ^5C_3 = ^5C_{5-3} = ^5C_2 = \mathbf{10} \) → (IV)
(d) \( ^6C_1 = \frac{6}{1} = \mathbf{6} \) → (III)
(a) \( ^5C_1 = \frac{5}{1} = \mathbf{5} \) → (II)
(b) \( ^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \mathbf{10} \) → (I)
(c) \( ^5C_3 = ^5C_{5-3} = ^5C_2 = \mathbf{10} \) → (IV)
(d) \( ^6C_1 = \frac{6}{1} = \mathbf{6} \) → (III)
अतः सही मिलान क्रम a-II, b-I, c-IV, d-III है।
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Mathematics - Matrices
प्रश्न 129. यदि \( A' \), आव्यूह \( A \) का परिवर्त आव्यूह (Transpose) है, तो निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
(J) \( (A')' = A \)
(K) \( (AB)' = B'A' \)
(L) \( (A+B)' = A' + B' \)
(M) \( (A-B)' = B' - A' \)
(K) \( (AB)' = B'A' \)
(L) \( (A+B)' = A' + B' \)
(M) \( (A-B)' = B' - A' \)
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर का चुनाव करें:
A. केवल J और K
B. केवल K और L
C. J, K और L
D. K, L और M
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (C)
📖 विस्तृत व्याख्या (Full Explanation)
आव्यूह के परिवर्त (Transpose) के गुणधर्म निम्नलिखित हैं:
- (J) \( (A')' = A \): किसी आव्यूह के परिवर्त का पुनः परिवर्त करने पर मूल आव्यूह प्राप्त होता है। यह कथन सत्य है।
- (K) \( (AB)' = B'A' \): इसे व्युत्क्रमण नियम (Reversal Law) कहते हैं। यह कथन सत्य है।
- (L) \( (A+B)' = A' + B' \): दो आव्यूहों के योग का परिवर्त उनके अलग-अलग परिवर्त के योग के बराबर होता है। यह कथन सत्य है।
- (M) \( (A-B)' = A' - B' \): यह कथन असत्य है क्योंकि विकल्प में क्रम बदल कर \( B' - A' \) दिया गया है।
तैयारी को बनाएँ स्मार्ट: Way2 Study Smart
Mathematics - Trigonometry
प्रश्न 130. किसी त्रिभुज \(\triangle ABC\) के लिए कोज्या सूत्र (Cosine formula) है-
दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर का चुनाव करें:
A. \( a^2 = 2bc \cos A - (b^2 + c^2) \)
B. \( a = b + c - 2bc \cos A \)
C. \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \)
D. \( a = 2bc \cos A - (b + c) \)
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (C)
📖 विस्तृत व्याख्या (Detailed Explanation)
त्रिकोणमिति में, कोज्या नियम (Law of Cosines) एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को उसके कोणों में से एक की कोज्या (Cosine) से जोड़ता है।
मानक सूत्र:
किसी त्रिभुज \(\triangle ABC\) के लिए जिसकी भुजाएँ \(a, b, c\) हैं और कोण \(A, B, C\) हैं, सूत्र इस प्रकार है:
\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \)
किसी त्रिभुज \(\triangle ABC\) के लिए जिसकी भुजाएँ \(a, b, c\) हैं और कोण \(A, B, C\) हैं, सूत्र इस प्रकार है:
\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \)
इसी प्रकार अन्य भुजाओं के लिए भी सूत्र लिखे जा सकते हैं:
● \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \)
● \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \)
महत्व: यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का एक सामान्य रूप है, जो किसी भी प्रकार के त्रिभुज (न कि केवल समकोण) पर लागू होता है।
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Computer Science - Systems Architecture
प्रश्न 131. मान लें कि एक कंप्यूटर सिस्टम में क्वाड-कोर प्रोसेसर है। निम्नलिखित में से कौन-सा विकल्प सबसे अधिक सिस्टम की समग्र दक्षता (Efficiency) बढ़ाएगा?
(I) प्रत्येक कोर की क्लॉक स्पीड बढ़ाना।
(II) कैश मेमोरी का आकार सुधारना।
(III) इनपुट/आउटपुट (I/O) पोर्ट्स की संख्या बढ़ाना।
(IV) HDD से SSD में स्विच करना।
(II) कैश मेमोरी का आकार सुधारना।
(III) इनपुट/आउटपुट (I/O) पोर्ट्स की संख्या बढ़ाना।
(IV) HDD से SSD में स्विच करना।
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर का चुनाव करें:
A. केवल I और III
B. केवल I, II और IV
C. केवल II और III
D. I, II, III और IV
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (B)
📖 विस्तृत व्याख्या (Full Explanation)
सिस्टम की समग्र दक्षता (Overall Efficiency) बढ़ाने के लिए प्रोसेसर की गति के साथ-साथ डेटा एक्सेस की गति का बढ़ना भी अनिवार्य है:
- (I) क्लॉक स्पीड बढ़ाना: यह प्रति सेकंड निष्पादित होने वाले चक्रों की संख्या बढ़ाकर प्रोसेसर को तेज बनाता है।
- (II) कैश मेमोरी सुधारना: बड़ा और तेज कैश प्रोसेसर को डेटा प्राप्त करने के लिए मुख्य मेमोरी पर निर्भरता कम करता है, जिससे 'लेटेंसी' कम होती है।
- (IV) SSD में स्विच करना: HDD की तुलना में SSD में डेटा पढ़ने/लिखने की गति बहुत अधिक होती है, जो बूट समय और एप्लिकेशन लोड समय को कम करके दक्षता बढ़ाती है।
- (III) I/O पोर्ट्स: केवल पोर्ट्स की संख्या बढ़ाने से सिस्टम की प्रोसेसिंग दक्षता पर कोई बड़ा प्रभाव नहीं पड़ता है।
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Mathematics - Complex Numbers
प्रश्न 132. यदि \( Z_1 = a_1 + ib_1 \) तथा \( Z_2 = a_2 + ib_2 \) तब \( Z_1 Z_2 = \) ?
सही विकल्प का चयन करें:
A. \( (a_1 a_2 + b_1 b_2) - i(a_1 b_2 + a_2 b_1) \)
B. \( (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 + a_2 b_1) \)
C. \( (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 - a_2 b_1) \)
D. \( (a_1 a_2 + b_1 b_2) + i(a_1 b_2 - a_2 b_1) \)
निर्धारित उत्तर (As per Paper)
सही विकल्प: (C)
📖 विस्तृत हल (Full Explanation)
सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल के नियम के अनुसार:
\( Z_1 Z_2 = (a_1 + ib_1)(a_2 + ib_2) \)
\( Z_1 Z_2 = a_1 a_2 + i a_1 b_2 + i a_2 b_1 + i^2 b_1 b_2 \)
चूंकि \( i^2 = -1 \), इसलिए:
\( Z_1 Z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 + a_2 b_1) \)
\( Z_1 Z_2 = a_1 a_2 + i a_1 b_2 + i a_2 b_1 + i^2 b_1 b_2 \)
चूंकि \( i^2 = -1 \), इसलिए:
\( Z_1 Z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 + a_2 b_1) \)
नोट: पेपर में दिए गए विकल्पों के अनुसार सबसे करीबी और सही उत्तर 'C' को माना गया है।
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Mathematics - Differential Equations
प्रश्न 133. अवकलन समीकरण \( (x + y)(dx - dy) = dx + dy \) का हल है-
दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर का चुनाव करें:
A. \( x - y + c = \log(x + y) \)
B. \( x + y + c = \log(x + y) \)
C. \( x - y + c = \log(x - y) \)
D. \( x + y + c = \log(x - y) \)
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (A)
📖 विस्तृत हल (Step-by-Step Solution)
दिया गया समीकरण: \( (x + y)(dx - dy) = dx + dy \)
चरण 1: समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करना
समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( dx - dy = \frac{dx + dy}{x + y} \)
चरण 2: दोनों पक्षों का समाकलन (Integration) करना
\( \int (dx - dy) = \int \frac{dx + dy}{x + y} \)
चरण 3: समाकलन के सूत्रों का उपयोग
बाएँ पक्ष का समाकलन: \( \int dx - \int dy = x - y \)
दाएँ पक्ष के लिए, माना \( x + y = t \), तो \( dx + dy = dt \)।
अतः, \( \int \frac{dt}{t} = \log|t| = \log(x + y) \)
चरण 4: अंतिम उत्तर
समाकलन स्थिरांक \( c \) जोड़ने पर:
\( x - y + c = \log(x + y) \)
समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( dx - dy = \frac{dx + dy}{x + y} \)
चरण 2: दोनों पक्षों का समाकलन (Integration) करना
\( \int (dx - dy) = \int \frac{dx + dy}{x + y} \)
चरण 3: समाकलन के सूत्रों का उपयोग
बाएँ पक्ष का समाकलन: \( \int dx - \int dy = x - y \)
दाएँ पक्ष के लिए, माना \( x + y = t \), तो \( dx + dy = dt \)।
अतः, \( \int \frac{dt}{t} = \log|t| = \log(x + y) \)
चरण 4: अंतिम उत्तर
समाकलन स्थिरांक \( c \) जोड़ने पर:
\( x - y + c = \log(x + y) \)
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Mathematics - Pair of Straight Lines
प्रश्न 134. निम्न कथन [As] और कारण [R] पर विचार कीजिए-
अभिकथन [As]: रेखापुग्म \(x^2(\cos^2 \theta - 1) - xy \sin^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta = 0\) के बीच का कोण \(\frac{\pi}{2}\) है।
कारण [R]: चूँकि \(x^2\) का गुणांक + \(y^2\) का गुणांक = 0 है।
कारण [R]: चूँकि \(x^2\) का गुणांक + \(y^2\) का गुणांक = 0 है।
सही विकल्प का चयन करें:
A. दोनों [As] और [R] सत्य हैं, और [R], [As] की सही व्याख्या है।
B. दोनों [As] और [R] सत्य हैं, किन्तु [R], [As] की सही व्याख्या नहीं है।
C. [As] सत्य है, किन्तु [R] असत्य है।
D. [As] असत्य है, किन्तु [R] सत्य है।
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (A)
📖 विस्तृत व्याख्या (Full Explanation)
सिद्धांत: सरल रेखाओं के युग्म \(ax^2 + 2hxy + by^2 = 0\) के बीच का कोण \(\pi/2\) (लंबवत) होता है यदि और केवल यदि \(a + b = 0\) हो।
दिए गए समीकरण का विश्लेषण:
यहाँ, \(x^2\) का गुणांक (\(a\)) = \(\cos^2 \theta - 1 = -\sin^2 \theta\)
और \(y^2\) का गुणांक (\(b\)) = \(\sin^2 \theta\)
योगफल की गणना:
\(a + b = (-\sin^2 \theta) + (\sin^2 \theta) = 0\)
यहाँ, \(x^2\) का गुणांक (\(a\)) = \(\cos^2 \theta - 1 = -\sin^2 \theta\)
और \(y^2\) का गुणांक (\(b\)) = \(\sin^2 \theta\)
योगफल की गणना:
\(a + b = (-\sin^2 \theta) + (\sin^2 \theta) = 0\)
चूंकि गुणांकों का योग शून्य है, इसलिए रेखाओं के बीच का कोण निश्चित रूप से \(\pi/2\) है। अतः अभिकथन [As] सत्य है और कारण [R] उसकी सही गणितीय व्याख्या करता है।
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Mathematics - Probability
प्रश्न 135. निम्नलिखित का मिलान कीजिए:
| कालम - I | कालम - II |
|---|---|
| (a) \( P(A) = \) | (I) 1 |
| (b) \( P(\phi) = \) | (II) \( 1 - P(A) \) |
| (c) \( P(\overline{A}) = \) | (III) 0 |
| (d) \( P(A \cup \overline{A}) = \) | (IV) \( \frac{n(A)}{n(S)} \) |
सही मिलान वाले विकल्प का चुनाव करें:
A. a-IV, b-III, c-II, d-I
B. a-I, b-II, c-III, d-IV
C. a-IV, b-III, c-II, d-I
D. a-III, b-II, c-I, d-IV
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (A)
📖 विस्तृत व्याख्या (Full Explanation)
प्रायिकता के मूलभूत नियमों के अनुसार मिलान नीचे दिया गया है:
- (a) \( P(A) \): किसी घटना की प्रायिकता उस घटना के अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात होती है। अतः (a) → (IV) \( \frac{n(A)}{n(S)} \)
- (b) \( P(\phi) \): असंभव घटना (Null Event) की प्रायिकता हमेशा 0 होती है। अतः (b) → (III) 0
- (c) \( P(\overline{A}) \): पूरक घटना की प्रायिकता \( 1 - P(A) \) होती है। अतः (c) → (II) \( 1 - P(A) \)
- (d) \( P(A \cup \overline{A}) \): चूंकि घटना और उसकी पूरक घटना का संघ निश्चित घटना (Sure Event) बनाता है, इसकी प्रायिकता 1 होती है। अतः (d) → (I) 1
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Mathematics - Conic Sections
प्रश्न 136. दीर्घवृत्त \( 4x^2 + 9y^2 = 144 \) की उत्केन्द्रता (Eccentricity) ज्ञात करने के लिए हल का सही क्रम होगा-
(a) \( c \) ज्ञात कीजिए
(b) \( a \) तथा \( b \) ज्ञात कीजिए
(c) जाँच कीजिए की \( a^2 > b^2 \)
(d) \( e = \frac{c}{a} \) ज्ञात कीजिए
(e) दीर्घवृत्त के समीकरण को मानक रूप में परिवर्तित कीजिए
(b) \( a \) तथा \( b \) ज्ञात कीजिए
(c) जाँच कीजिए की \( a^2 > b^2 \)
(d) \( e = \frac{c}{a} \) ज्ञात कीजिए
(e) दीर्घवृत्त के समीकरण को मानक रूप में परिवर्तित कीजिए
सही क्रम वाले विकल्प का चुनाव करें:
A. b → c → d → a → e
B. c → b → a → d → e
C. e → b → c → a → d
D. a → b → c → e → d
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (C)
📖 विस्तृत हल (Full Solution Sequence)
दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता निकालने का सही तार्किक क्रम निम्नलिखित है:
1. (e) मानक रूप: सबसे पहले समीकरण को \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) के रूप में बदलें।
2. (b) \( a \) और \( b \) का मान: मानक रूप से तुलना करके \( a^2 \) और \( b^2 \) ज्ञात करें।
3. (c) तुलना: जाँच करें कि क्या \( a^2 > b^2 \) है (यह मुख्य अक्ष निर्धारित करने के लिए है)।
4. (a) \( c \) की गणना: सूत्र \( c^2 = a^2 - b^2 \) का उपयोग करके \( c \) निकालें।
5. (d) उत्केन्द्रता: अंत में \( e = \frac{c}{a} \) का उपयोग करके मान प्राप्त करें।
2. (b) \( a \) और \( b \) का मान: मानक रूप से तुलना करके \( a^2 \) और \( b^2 \) ज्ञात करें।
3. (c) तुलना: जाँच करें कि क्या \( a^2 > b^2 \) है (यह मुख्य अक्ष निर्धारित करने के लिए है)।
4. (a) \( c \) की गणना: सूत्र \( c^2 = a^2 - b^2 \) का उपयोग करके \( c \) निकालें।
5. (d) उत्केन्द्रता: अंत में \( e = \frac{c}{a} \) का उपयोग करके मान प्राप्त करें।
अतः सही अनुक्रम e → b → c → a → d है।
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Mathematics - 3D Geometry
प्रश्न 137. यदि सरल रेखा \( \frac{x - x_1}{l} = \frac{y - y_1}{m} = \frac{z - z_1}{n} \), समतल \( ax + by + cz = d \) के समांतर है, तो-
सही विकल्प का चयन करें:
A. \( \frac{a}{l} + \frac{b}{m} + \frac{c}{n} = 0 \)
B. \( al + bm = -cn \)
C. \( al + bm = cn \)
D. इनमें से कोई नहीं
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (B) [चूंकि \( al + bm + cn = 0 \)]
📖 विस्तृत हल (Step-by-Step Solution)
सिद्धांत: जब कोई रेखा किसी समतल के समांतर होती है, तो समतल का अभिलम्ब (Normal) उस रेखा पर लंबवत (Perpendicular) होता है।
1. रेखा की दिशा: रेखा के दिक्-अनुपात (Direction Ratios) \( (l, m, n) \) हैं।
2. समतल का अभिलम्ब: समतल के अभिलम्ब के दिक्-अनुपात \( (a, b, c) \) हैं।
3. लंबवत होने की स्थिति: चूँकि अभिलम्ब रेखा पर लंबवत है, इसलिए:
\( al + bm + cn = 0 \)
4. पक्षांतरण करने पर:
\( al + bm = -cn \)
2. समतल का अभिलम्ब: समतल के अभिलम्ब के दिक्-अनुपात \( (a, b, c) \) हैं।
3. लंबवत होने की स्थिति: चूँकि अभिलम्ब रेखा पर लंबवत है, इसलिए:
अतः, दिए गए विकल्पों के अनुसार विकल्प (B) गणितीय रूप से सही स्थिति को दर्शाता है।
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Mathematics - Algebra
प्रश्न 138. निम्नलिखित को सुमेलित कीजिए:
| कालम - I | कालम - II |
|---|---|
| (a) \( \frac{n!}{(n-r)!} \) = | (I) \( n(n-1)(n-2).....(r+1) \) |
| (b) \( \frac{n!}{r!} \) = | (II) \( \frac{^np_r}{r!} \) |
| (c) \( ^nC_r \) = | (III) \( n(n-1)(n-2).....(n-r+1) \) |
| (d) \( \frac{^nC_r}{^{n-1}C_{r-1}} \) = | (IV) \( \frac{n}{r} \) |
सही मिलान वाले विकल्प का चुनाव करें:
A. a-I, b-II, c-IV, d-III
B. a-II, b-I, c-III, d-IV
C. a-I, b-III, c-IV, d-II
D. a-III, b-I, c-II, d-IV
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (D)
📖 विस्तृत व्याख्या (Step-by-Step Solution)
(a) \( \frac{n!}{(n-r)!} \): यह \( ^np_r \) का सूत्र है, जिसे विस्तार में \( n(n-1)(n-2).....(n-r+1) \) लिखा जाता है। अतः (a) → (III)
(b) \( \frac{n!}{r!} \): इसे हल करने पर हमें \( n(n-1)(n-2).....(r+1) \) प्राप्त होता है। अतः (b) → (I)
(c) \( ^nC_r \): हम जानते हैं कि \( ^nC_r = \frac{^np_r}{r!} \)। अतः (c) → (II)
(d) \( \frac{^nC_r}{^{n-1}C_{r-1}} \): गुणधर्म के अनुसार यह अनुपात \( \frac{n}{r} \) के बराबर होता है। अतः (d) → (IV)
अतः सही अनुक्रम a-III, b-I, c-II, d-IV है।
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Mathematics - Composite Functions
प्रश्न 139. यदि \( f(x) = x + \frac{1}{x} \) तथा \( g(x) = \frac{x+1}{x+2} \), तो निम्नांकित कथनों पर विचार कीजिए-
(a) फलन \( g \circ f \) का डोमेन \( R - \{-1, 0, 1\} \) है।
(b) फलन \( f \circ g \) का डोमेन \( R - \{-2, -1\} \) है।
(c) फलन \( f \circ f \) का डोमेन \( R - \{0\} \) है।
(d) फलन \( g \circ g \) का डोमेन \( R - \{-2, 0\} \) है।
(b) फलन \( f \circ g \) का डोमेन \( R - \{-2, -1\} \) है।
(c) फलन \( f \circ f \) का डोमेन \( R - \{0\} \) है।
(d) फलन \( g \circ g \) का डोमेन \( R - \{-2, 0\} \) है।
सही विकल्प का चयन करें:
A. केवल a सत्य है
B. केवल b असत्य है
C. केवल d सत्य है
D. सभी असत्य हैं
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (D)
📖 विश्लेषण और हल (Detailed Analysis)
जब हम संयुक्त फलनों (Composite Functions) के डोमेन की जांच करते हैं, तो कोई भी कथन सही नहीं पाया गया:
- ● कथन (a): \( g(f(x)) \) के लिए \( f(x) \neq -2 \) होना चाहिए, जिससे जटिल मान प्राप्त होते हैं। अतः यह सटीक नहीं है।
- ● कथन (b): \( f(g(x)) \) के लिए \( g(x) \neq 0 \) होना चाहिए, जिससे \( x \neq -1 \) प्राप्त होता है, लेकिन \( x = -2 \) पर भी \( g(x) \) अपरिभाषित है।
- ● कथन (c): \( f(f(x)) \) में \( x \neq 0 \) के साथ-साथ \( f(x) \neq 0 \) भी होना चाहिए।
- ● कथन (d): \( g(g(x)) \) के डोमेन में \( x \neq -2 \) और \( x \neq -5/3 \) होना चाहिए।
निष्कर्ष: चूंकि कोई भी कथन अपनी डोमेन शर्तों को पूर्णतः सही रूप में प्रस्तुत नहीं करता, इसलिए विकल्प 'D' (सभी असत्य हैं) सही उत्तर है।
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Mathematics - Differential Equations
प्रश्न 140. वक्र \( y = c(x - c)^2 \) (जहाँ \( c \) एक मनमाना स्थिरांक है) के संगत अवकलन समीकरण है-
दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर का चुनाव करें:
A. \( \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 = 4y \left(x \cdot \frac{dy}{dx} - 2y\right) \)
B. \( \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 4y \left(x \cdot \frac{dy}{dx} - 2y\right) \)
C. \( \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 = 4y \left(x \cdot \frac{dy}{dx} + 2y\right) \)
D. \( \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 4y \frac{dy}{dx} + 2y \)
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (A)
📖 विस्तृत हल (Step-by-Step Solution)
1. दिया गया समीकरण: \( y = c(x - c)^2 \) ... (i)
2. \( x \) के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\( y' = 2c(x - c) \) ... (ii)
3. \( c \) का मान विलुप्त करना:
समीकरण (i) को (ii) से भाग देने पर:
\( \frac{y}{y'} = \frac{c(x - c)^2}{2c(x - c)} = \frac{x - c}{2} \)
\( \implies x - c = \frac{2y}{y'} \implies c = x - \frac{2y}{y'} = \frac{xy' - 2y}{y'} \)
\( \implies x - c = \frac{2y}{y'} \implies c = x - \frac{2y}{y'} = \frac{xy' - 2y}{y'} \)
4. अंतिम समीकरण प्राप्त करना:
\( c \) और \( (x-c) \) के मानों को समीकरण (ii) में रखने पर:
\( y' = 2 \left( \frac{xy' - 2y}{y'} \right) \left( \frac{2y}{y'} \right) \)
\( y' = \frac{4y(xy' - 2y)}{(y')^2} \)
\( (y')^3 = 4y(xy' - 2y) \)
\( y' = \frac{4y(xy' - 2y)}{(y')^2} \)
\( (y')^3 = 4y(xy' - 2y) \)
अतः, \( \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 = 4y \left(x \cdot \frac{dy}{dx} - 2y\right) \) सही उत्तर है।
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Mathematics - Coordinate Geometry
प्रश्न 141. यदि रेखा \(\frac{x}{c} + \frac{y}{d} = 1\), दो अन्य रेखाओं \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) तथा \(\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1\) के प्रतिच्छेद बिंदु से गुजरती है, तो निम्न में से कौन-सा निश्चित रूप से सत्य है? (जहाँ \(a \neq b\))
दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
A. \(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{1}{c^2} - \frac{1}{d^2}\)
B. \(\frac{1}{a} + \frac{b}{a} = \frac{c}{a} + \frac{d}{c}\)
C. \(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{c} - \frac{1}{d}\)
D. \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{d}\)
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (D)
📖 विस्तृत हल (Full Solution)
चरण 1: प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करना
दी गई रेखाएँ हैं:(1) \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)
(2) \(\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1\)
चूँकि समीकरण सममित (Symmetric) हैं, यदि हम समीकरण (1) में से (2) को घटाते हैं, तो हमें \(x = y\) प्राप्त होता है।
समीकरण (1) में \(y = x\) रखने पर:
\(x(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 1 \implies x = y = \frac{ab}{a+b}\)
चरण 2: तीसरी रेखा में बिंदु का मान रखना
तीसरी रेखा है: \(\frac{x}{c} + \frac{y}{d} = 1\)। चूँकि यह उसी प्रतिच्छेद बिंदु से गुजरती है:\(\frac{x}{c} + \frac{x}{d} = 1 \implies x(\frac{1}{c} + \frac{1}{d}) = 1\)
\(x\) का मान रखने पर:
\(\frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \cdot (\frac{1}{c} + \frac{1}{d}) = 1\)
\(\implies \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{d}\)
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Mathematics - Complex Numbers
प्रश्न 142. निम्नलिखित को सुमेलित (Match) कीजिए:
| कालम - I | कालम - II |
|---|---|
| (a) \( 1+i^2+i^4+i^6+ \dots +i^{20} \) है | (I) प्रथम चतुर्थांश |
| (b) \( \frac{1-i}{1+i} \) का संयुग्मी है | (II) शुद्धतः एक वास्तविक सम्मिश्र संख्या |
| (c) \( \frac{\sqrt{3}+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}+i} \) स्थित है | (III) \( i \) |
| (d) \( \frac{1+2i}{1-i} \) स्थित है | (IV) द्वितीय चतुर्थांश |
दिए गए विकल्पों में से सही मिलान चुनें:
A. a-II, b-III, c-I, d-IV
B. a-II, b-III, c-IV, d-I
C. a-III, b-II, c-IV, d-I
D. a-III, b-II, c-I, d-IV
निर्धारित उत्तर (As per Key)
सही विकल्प: (B)
📖 विश्लेषण (Analysis)
पेपर में दिए गए उत्तर और विकल्पों के मिलान के अनुसार, सही अनुक्रम a-II, b-III, c-IV, d-I निर्धारित किया गया है।
छात्रों के लिए निर्देश: सम्मिश्र संख्याओं के चतुर्थांश का निर्धारण करते समय कोणीय मान (Argument) और वास्तविक/काल्पनिक भागों के चिन्हों (+/-) का विशेष ध्यान रखें।
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Computer Science - Operating Systems
प्रश्न 143. निम्नलिखित चरणों को सही क्रम में व्यवस्थित करें कि ऑपरेटिंग सिस्टम I/O अनुरोध को कैसे संसाधित करता है?
(I) OS अनुरोध को डिवाइस कतार (Device Queue) में रखता है।
(II) एप्लिकेशन प्रोग्राम एक सिस्टम कॉल (System Call) करता है।
(III) OS संबंधित डिवाइस ड्राइवर (Device Driver) को कॉल करता है।
(IV) I/O डिवाइस अनुरोध को पूरा करता है और एक इंटरप्ट (Interrupt) भेजता है।
(V) OS इंटरप्ट को प्रोसेस करता है और डेटा एप्लिकेशन तक पहुँचाता है।
(II) एप्लिकेशन प्रोग्राम एक सिस्टम कॉल (System Call) करता है।
(III) OS संबंधित डिवाइस ड्राइवर (Device Driver) को कॉल करता है।
(IV) I/O डिवाइस अनुरोध को पूरा करता है और एक इंटरप्ट (Interrupt) भेजता है।
(V) OS इंटरप्ट को प्रोसेस करता है और डेटा एप्लिकेशन तक पहुँचाता है।
सही अनुक्रम वाले विकल्प का चुनाव करें:
A. II → I → III → IV → V
B. II → III → I → IV → V
C. III → II → I → V → IV
D. I → II → III → V → IV
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (A)
📖 कार्यप्रणाली का सही क्रम (Logical Sequence)
ऑपरेटिंग सिस्टम में I/O ऑपरेशंस एक निश्चित क्रम में पूरे होते हैं:
1. (II) सिस्टम कॉल: प्रक्रिया की शुरुआत तब होती है जब कोई ऐप डेटा के लिए 'सिस्टम कॉल' करता है।
2. (I) डिवाइस कतार: OS इस अनुरोध को स्वीकार कर उसे संबंधित डिवाइस की 'वेटिंग लिस्ट' या कतार में रख देता है।
3. (III) डिवाइस ड्राइवर: जब डिवाइस खाली होता है, OS उस विशिष्ट हार्डवेयर के 'ड्राइवर' को कार्य सौंपता है।
4. (IV) इंटरप्ट: हार्डवेयर अपना काम पूरा करने के बाद CPU को एक 'इंटरप्ट सिग्नल' भेजता है।
5. (V) डेटा डिलीवरी: अंत में OS उस इंटरप्ट को हैंडल करता है और डेटा वापस एप्लिकेशन को दे देता है।
2. (I) डिवाइस कतार: OS इस अनुरोध को स्वीकार कर उसे संबंधित डिवाइस की 'वेटिंग लिस्ट' या कतार में रख देता है।
3. (III) डिवाइस ड्राइवर: जब डिवाइस खाली होता है, OS उस विशिष्ट हार्डवेयर के 'ड्राइवर' को कार्य सौंपता है।
4. (IV) इंटरप्ट: हार्डवेयर अपना काम पूरा करने के बाद CPU को एक 'इंटरप्ट सिग्नल' भेजता है।
5. (V) डेटा डिलीवरी: अंत में OS उस इंटरप्ट को हैंडल करता है और डेटा वापस एप्लिकेशन को दे देता है।
अतः सही तार्किक क्रम II → I → III → IV → V है।
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Mathematics - Numerical Analysis
प्रश्न 144. निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए-
(I) न्यूटन-रेप्सन विधि (Newton-Raphson Method) है:
\( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \)
(II) ट्रेपोज़ॉइडल नियम (Trapezoidal Rule) है:
\( \int_{a}^{b} f(x) dx = \frac{b+a}{2} [f(b) - f(a)] \)
\( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \)
(II) ट्रेपोज़ॉइडल नियम (Trapezoidal Rule) है:
\( \int_{a}^{b} f(x) dx = \frac{b+a}{2} [f(b) - f(a)] \)
दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
A. I और II दोनों सत्य हैं।
B. I सत्य है किन्तु II असत्य है।
C. I असत्य है किन्तु II सत्य है।
D. I और II दोनों असत्य हैं।
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (B)
📖 विस्तृत व्याख्या (Full Explanation)
कथन (I): यह न्यूटन-रेप्सन विधि का बिल्कुल सही और मानक सूत्र है।
कथन (II): ट्रेपोज़ॉइडल नियम का सही सूत्र \(\frac{b-a}{2} [f(a) + f(b)]\) होता है। यहाँ सूत्र में मानों का अन्तर (\(-\)) दिया गया है और बाहर (\(b+a\)) लिखा है, जो कि गणितीय रूप से गलत है।
अतः, केवल कथन (I) सत्य है, जिससे विकल्प 'B' सही उत्तर बनता है।
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Mathematics - Coordinate Geometry
प्रश्न 145. निम्न अभिकथन [As] और कारण [R] पर विचार कीजिए-
अभिकथन [As]: बिंदु \( A(0, \sec^2 \theta), B(\csc^2 \theta, 0) \) तथा \( C(1, 1) \) संरेखीय (collinear) हैं यदि \( \theta = \frac{n\pi}{2} \) हो।
कारण [R]: यदि बिंदु संरेखीय हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।
कारण [R]: यदि बिंदु संरेखीय हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।
सही विकल्प का चयन करें:
A. दोनों [As] तथा [R] सत्य हैं, और [R], [As] की सही व्याख्या है।
B. दोनों [As] तथा [R] सत्य हैं, किन्तु [R], [As] की सही व्याख्या नहीं है।
C. [As] सत्य है, किन्तु [R] असत्य है।
D. [As] असत्य है, किन्तु [R] सत्य है।
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (D)
📖 विश्लेषण और हल (Full Analysis)
कारण [R] का विश्लेषण: यह एक स्थापित गणितीय सिद्धांत है कि यदि तीन बिंदु एक ही रेखा पर (संरेखीय) हैं, तो उनसे कोई त्रिभुज नहीं बन सकता, अर्थात उसका क्षेत्रफल 0 होगा। अतः कारण [R] पूर्णतः सत्य है।
अभिकथन [As] का विश्लेषण: संरेखता की जाँच करने के लिए रेखा का समीकरण (Intercept form) का उपयोग करें:
\( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \)
जहाँ \( a = \csc^2 \theta \) और \( b = \sec^2 \theta \)।
समीकरण होगा: \( \frac{x}{\csc^2 \theta} + \frac{y}{\sec^2 \theta} = 1 \implies x \sin^2 \theta + y \cos^2 \theta = 1 \)।
बिंदु \( C(1, 1) \) रखने पर: \( 1 \sin^2 \theta + 1 \cos^2 \theta = 1 \), जो कि \( \theta \) के सभी मानों के लिए सत्य है।
जहाँ \( a = \csc^2 \theta \) और \( b = \sec^2 \theta \)।
समीकरण होगा: \( \frac{x}{\csc^2 \theta} + \frac{y}{\sec^2 \theta} = 1 \implies x \sin^2 \theta + y \cos^2 \theta = 1 \)।
बिंदु \( C(1, 1) \) रखने पर: \( 1 \sin^2 \theta + 1 \cos^2 \theta = 1 \), जो कि \( \theta \) के सभी मानों के लिए सत्य है।
परंतु, यदि \( \theta = \frac{n\pi}{2} \), तो \( \sec \theta \) या \( \csc \theta \) अपरिभाषित (Undefined) हो जाते हैं। संरेखता के लिए बिंदु परिभाषित होने चाहिए। अतः अभिकथन [As] तकनीकी रूप से असत्य है।
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Mathematics - Coordinate Geometry
प्रश्न 146. किन्हीं दो बिन्दुओं \( A(x_1, y_1) \) तथा \( B(x_2, y_2) \) के लिए निम्न कथनों पर विचार कीजिए-
अभिकथन [As]: बिन्दुओं \( A \) तथा \( B \) के बीच की दूरी \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) है।
कारण [R]: बिन्दुओं \( A \) तथा \( B \) का मध्य बिंदु \( (x, y) \) है जहाँ \( x = \frac{x_1 + x_2}{2}, y = \frac{y_1 + y_2}{2} \) है।
कारण [R]: बिन्दुओं \( A \) तथा \( B \) का मध्य बिंदु \( (x, y) \) है जहाँ \( x = \frac{x_1 + x_2}{2}, y = \frac{y_1 + y_2}{2} \) है।
दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर का चुनाव करें:
A. दोनों [As] तथा [R] सत्य हैं, और [R], [As] की सही व्याख्या है।
B. दोनों [As] तथा [R] सत्य हैं, किन्तु [R], [As] की सही व्याख्या नहीं है।
C. [As] सत्य है, किन्तु [R] असत्य है।
D. [As] असत्य है, किन्तु [R] सत्य है।
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (B)
📖 विश्लेषण (Analysis)
अभिकथन [As] का विश्लेषण: दो बिन्दुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने का मानक सूत्र \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) होता है। अतः अभिकथन [As] पूर्णतः सत्य है.
कारण [R] का विश्लेषण: दो बिन्दुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांकों का सूत्र \( (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) \) होता है। अतः कारण [R] भी पूर्णतः सत्य है.
निष्कर्ष: चूँकि दोनों कथन सत्य हैं, लेकिन मध्य बिंदु सूत्र दूरी सूत्र की व्याख्या (Explanation) नहीं करता है, इसलिए विकल्प 'B' सही उत्तर है.
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Mathematics - Algebra (P&C)
प्रश्न 147. यदि \( 1 \leq r \leq n \) तब \( ^nC_r + ^nC_{r-1} = \) ?
दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर का चुनाव करें:
A. \( ^{n+1}C_r \)
B. \( ^nC_{r-1} \)
C. \( ^{n+1}C_{r-1} \)
D. \( ^nC_{r+1} \)
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (A)
📖 विस्तृत हल (Full Solution)
यह एक मानक संचय गुणधर्म (Combination Property) है, जिसे पास्कल का नियम (Pascal's Rule) कहा जाता है:
सिद्धान्त:
जब \( n \) वस्तुओं में से \( r \) वस्तुओं को चुनने के तरीकों को उन तरीकों में जोड़ा जाता है जहाँ \( n \) वस्तुओं में से \( r-1 \) वस्तुएँ चुनी गई हों, तो यह \( n+1 \) वस्तुओं में से \( r \) वस्तुएँ चुनने के बराबर होता है।
सूत्र:
\( ^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r \)
जब \( n \) वस्तुओं में से \( r \) वस्तुओं को चुनने के तरीकों को उन तरीकों में जोड़ा जाता है जहाँ \( n \) वस्तुओं में से \( r-1 \) वस्तुएँ चुनी गई हों, तो यह \( n+1 \) वस्तुओं में से \( r \) वस्तुएँ चुनने के बराबर होता है।
सूत्र:
अतः, दिए गए विकल्पों के अनुसार विकल्प (A) बिल्कुल सही है।
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Computer Science - Software Engineering
प्रश्न 148. निम्नलिखित सॉफ्टवेयर प्रकारों को उनके प्राथमिक उद्देश्य के साथ मिलाइए:
| कालम - I (Software) | कालम - II (Purpose) |
|---|---|
| (a) मध्यवेयर (Middleware) | (I) उच्च स्तरीय कोड को मशीन कोड में अनुवाद करता है। |
| (b) फर्मवेयर (Firmware) | (II) अनुप्रयोगों और ऑपरेटिंग सिस्टम के बीच संचार प्रबंधित करता है। |
| (c) कंपाइलर (Compiler) | (III) हार्डवेयर उपकरणों के लिए निम्न-स्तरीय नियंत्रण प्रदान करता है। |
| (d) डेटाबेस सिस्टम (Database) | (IV) संरचित डेटा को व्यवस्थित और प्रबंधित करता है। |
सही मिलान वाले विकल्प का चुनाव करें:
A. a-II, b-III, c-I, d-IV
B. a-III, b-II, c-I, d-IV
C. a-I, b-II, c-III, d-IV
D. a-II, b-I, c-IV, d-III
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (A)
📖 विस्तृत व्याख्या (Detailed Explanation)
सॉफ्टवेयर के प्रकारों और उनके कार्यों का सही मिलान इस प्रकार है:
- (a) Middleware → (II): यह सॉफ्टवेयर की एक ऐसी लेयर है जो विभिन्न एप्लिकेशनों और OS के बीच संचार और डेटा प्रबंधन का काम करती है।
- (b) Firmware → (III): यह हार्डवेयर में स्थाई रूप से एम्बेडेड सॉफ्टवेयर होता है जो डिवाइस को चलाने के लिए निम्न-स्तरीय नियंत्रण देता है।
- (c) Compiler → (I): यह प्रोग्रामिंग भाषा के कोड को कंप्यूटर द्वारा समझने योग्य मशीन भाषा में बदलता है।
- (d) Database System → (IV): इसका उपयोग डेटा को संरचित (Structured) तरीके से संग्रहीत और प्रबंधित करने के लिए किया जाता है।
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Mathematics - Probability
प्रश्न 149. दो निष्पक्ष पासे फेंके जाते हैं। दिए गए विकल्पों में से प्रायिकता के मानों का सही क्रम चुनें:
(a) पहले पासे पर 6 आने की प्रायिकता \( P_1 \) है।
(b) पासे पर संख्याओं का योग 8 होने की प्रायिकता \( P_2 \) है।
(c) पासे पर कुल योग 8 से अधिक होने की प्रायिकता \( P_3 \) है।
(d) पासे पर संख्याओं का योग 13 होने की प्रायिकता \( P_4 \) है।
(e) पासे पर संख्याओं का योग 2 से 12 तक होने की प्रायिकता \( P_5 \) है।
(b) पासे पर संख्याओं का योग 8 होने की प्रायिकता \( P_2 \) है।
(c) पासे पर कुल योग 8 से अधिक होने की प्रायिकता \( P_3 \) है।
(d) पासे पर संख्याओं का योग 13 होने की प्रायिकता \( P_4 \) है।
(e) पासे पर संख्याओं का योग 2 से 12 तक होने की प्रायिकता \( P_5 \) है।
सही क्रम वाले विकल्प का चुनाव करें:
A. d < c < b < a < e
B. d < b < a < c < e
C. d < e < b < c < a
D. d < c < a < b < e
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (B)
📖 विस्तृत गणना (Detailed Calculation)
दो पासों को फेंकने पर कुल परिणाम \( n(S) = 36 \) होते हैं।
- ● \( P_4 \) (योग 13): असंभव घटना, क्योंकि अधिकतम योग 12 हो सकता है। \( P_4 = 0 \).
- ● \( P_2 \) (योग 8): अनुकूल परिणाम {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} = 5. \( P_2 = 5/36 \approx 0.138 \).
- ● \( P_1 \) (पहले पासे पर 6): अनुकूल परिणाम {(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} = 6. \( P_1 = 6/36 \approx 0.166 \).
- ● \( P_3 \) (योग > 8): योग 9, 10, 11, 12 के कुल अनुकूल परिणाम = 10. \( P_3 = 10/36 \approx 0.277 \).
- ● \( P_5 \) (योग 2 से 12 तक): निश्चित घटना, क्योंकि योग हमेशा इसी बीच होगा। \( P_5 = 1 \).
सही आरोही क्रम (Ascending Order): \( P_4 < P_2 < P_1 < P_3 < P_5 \) अर्थात d < b < a < c < e.
तैयारी को बनाएँ स्मार्ट: Way2 Study Smart
Mathematics - Arithmetic Progression
प्रश्न 150. 1 से 1000 तक सभी विषम पूर्णांकों का योग ज्ञात करने के लिए हल का सही क्रम होगा-
(a) \( n \) ज्ञात कीजिए
(b) सार्वान्तर \( d \) ज्ञात कीजिए
(c) प्रथम पद \( a \) तथा अंतिम पद \( l \) ज्ञात कीजिए
(d) सूत्र \( T_n = a + (n-1)d \) लागू कीजिए
(e) सूत्र \( S_n = \frac{n}{2}(a+l) \) लागू कीजिए
(b) सार्वान्तर \( d \) ज्ञात कीजिए
(c) प्रथम पद \( a \) तथा अंतिम पद \( l \) ज्ञात कीजिए
(d) सूत्र \( T_n = a + (n-1)d \) लागू कीजिए
(e) सूत्र \( S_n = \frac{n}{2}(a+l) \) लागू कीजिए
सही अनुक्रम वाले विकल्प का चुनाव करें:
A. c → b → d → a → e
B. a → d → c → e → b
C. a → e → c → b → d
D. d → e → c → b → a
निर्धारित उत्तर
सही विकल्प: (A)
📖 कार्यप्रणाली का सही क्रम (Logical Sequence)
समांतर श्रेणी (A.P.) का उपयोग करके योग निकालने का सही क्रम निम्नलिखित है:
1. (c) पहचान: सबसे पहले प्रथम पद \( a = 1 \) और अंतिम विषम पद \( l = 999 \) को पहचानें।
2. (b) सार्वान्तर: विषम संख्याओं के बीच का अंतर \( d = 2 \) ज्ञात करें।
3. (d) सूत्र प्रयोग: कुल पदों की संख्या निकालने के लिए \( T_n = a + (n-1)d \) का उपयोग करें।
4. (a) पदों की संख्या: गणना करके \( n \) का मान (500) प्राप्त करें।
5. (e) योग: अंत में \( S_n = \frac{n}{2}(a+l) \) सूत्र लगाकर कुल योग ज्ञात करें।
2. (b) सार्वान्तर: विषम संख्याओं के बीच का अंतर \( d = 2 \) ज्ञात करें।
3. (d) सूत्र प्रयोग: कुल पदों की संख्या निकालने के लिए \( T_n = a + (n-1)d \) का उपयोग करें।
4. (a) पदों की संख्या: गणना करके \( n \) का मान (500) प्राप्त करें।
5. (e) योग: अंत में \( S_n = \frac{n}{2}(a+l) \) सूत्र लगाकर कुल योग ज्ञात करें।
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