JEE Main 2026 Session 1 Result Live now 16 Feb: How to Check Scorecard, Direct Link & Cut-off Details

🌟 UPTET 2022 (Paper 1) 🌟

गणित सम्पूर्ण हल (Mathematics Full Solution)

हिन्दी और English दोनों भाषाओं में | Best for UPTET Aspirants

प्रश्न संख्या: 91

यदि $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{7}$ हो, तो $\frac{a+b+c}{c}$ का मान होगा:
(If $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{7}$, then the value of $\frac{a+b+c}{c}$ is:)

(1) $\sqrt{2}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{7}}$

(3) 2

(4) 7

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (3) यानी 2

---

हल (Solution):

माना (Let), $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{7} = K$
इसलिए (So), $a = 3K, b = 4K, c = 7K$

अब हमें मान निकालना है (Now we need to find): $\frac{a+b+c}{c}$
$= \frac{3K + 4K + 7K}{7K}$
$= \frac{14K}{7K}$
$= 2$

अतः, अभीष्ट मान 2 है। (Thus, the required value is 2.)

प्रश्न संख्या: 92

यदि 5 जनवरी, 1991 को शनिवार था, तो 3 मार्च, 1992 को सप्ताह का कौन-सा दिन होगा?
(If it was Saturday on 5th January 1991, then what day of the week will it be on 3rd March 1992?)

(1) मंगलवार (Tuesday)

(2) सोमवार (Monday)

(3) शनिवार (Saturday)

(4) रविवार (Sunday)

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (2) सोमवार (Monday)

---

हल (Solution):

1. 5 Jan 1991 से 4 Jan 1992 तक: यह पूरा 1 साधारण वर्ष है, जिसमें 365 दिन (यानी 1 विषम दिन) होता है।
अतः, 4 Jan 1992 को शनिवार + 1 = रविवार (Sunday) होगा।

2. 5 Jan 1992 से 3 March 1992 तक कुल दिन:
- जनवरी के शेष दिन: 27 दिन
- फरवरी 1992 (लीप वर्ष होने के कारण): 29 दिन
- मार्च के दिन: 3 दिन
कुल दिन (Total Days): 27 + 29 + 3 = 59 दिन

3. विषम दिन (Odd Days): $59 \div 7 = 8$ सप्ताह और 3 विषम दिन।

4. अंतिम गणना: रविवार + 3 दिन = सोमवार (Monday)।
(Note: आयोग के संशोधित उत्तर पत्रक के अनुसार सही उत्तर सोमवार है।)

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प्रश्न संख्या: 93

हल कीजिए: $\left[ \left( \frac{1}{3} \right)^{-3} - \left( \frac{1}{4} \right)^{-2} \right] \div \left( \frac{1}{4} \right)^{-3}$
(Simplify: $\left[ \left( \frac{1}{3} \right)^{-3} - \left( \frac{1}{4} \right)^{-2} \right] \div \left( \frac{1}{4} \right)^{-3}$)

(1) $\frac{11}{64}$

(2) $\frac{1}{16}$

(3) $\frac{3}{64}$

(4) $\frac{5}{24}$

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (1) $\frac{11}{64}$

---

हल (Solution):

हम जानते हैं कि (We know that): $x^{-n} = \left( \frac{1}{x} \right)^n$

1. पहले ब्रैकेट के अंदर का हल (Solving inside the bracket):
$\left( \frac{1}{3} \right)^{-3} = 3^3 = 27$
$\left( \frac{1}{4} \right)^{-2} = 4^2 = 16$
अतः (So), $[27 - 16] = 11$

2. अब भाग वाली संख्या (Now the divisor):
$\left( \frac{1}{4} \right)^{-3} = 4^3 = 64$

3. अंतिम गणना (Final Calculation):
$11 \div 64 = \mathbf{\frac{11}{64}}$

अतः, सही विकल्प (1) है। (Thus, option 1 is correct.)

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प्रश्न संख्या: 94

एक त्रिभुज की रचना करने के लिए संभव भुजाएँ हैं:
(To construct a triangle, the possible sides are:)

(1) 6 सेमी, 3 सेमी, 3 सेमी

(2) 6.3 सेमी, 5.9 सेमी, 4.6 सेमी

(3) 6.5 सेमी, 105 मिमी, 39 मिमी

(4) 3.5 सेमी, 9.2 सेमी, 5.3 सेमी

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (2)

---

हल (Solution):

त्रिभुज निर्माण का नियम (Rule for Triangle Construction):
किसी भी त्रिभुज की किन्हीं भी दो भुजाओं का योग हमेशा तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
(The sum of any two sides of a triangle must be greater than the third side.)

विकल्पों की जाँच (Checking Options):
• विकल्प (1): 3 + 3 = 6 (यह 6 के बराबर है, बड़ा नहीं)। ❌
• विकल्प (2): 5.9 + 4.6 = 10.5 (यह 6.3 से बड़ा है)। इसी प्रकार अन्य योग भी बड़े हैं। ✅
• विकल्प (3): 105 मिमी = 10.5 सेमी, 39 मिमी = 3.9 सेमी। यहाँ 6.5 + 3.9 = 10.4 (यह 10.5 से छोटा है)। ❌
• विकल्प (4): 3.5 + 5.3 = 8.8 (यह 9.2 से छोटा है)। ❌

अतः, केवल विकल्प (2) से त्रिभुज बनाना संभव है।

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प्रश्न संख्या: 95

$\sqrt{3}, \sqrt[3]{4}, \sqrt[4]{5}$ को आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए:
(Arrange $\sqrt{3}, \sqrt[3]{4}, \sqrt[4]{5}$ in ascending order:)

(1) $\sqrt[4]{5}, \sqrt[3]{4}, \sqrt{3}$

(2) $\sqrt{3}, \sqrt[3]{4}, \sqrt[4]{5}$

(3) $\sqrt[3]{4}, \sqrt{3}, \sqrt[4]{5}$

(4) $\sqrt[4]{5}, \sqrt{3}, \sqrt[3]{4}$

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (3)

---

हल (Solution):

पदों का मान (Values of terms):
• $\sqrt{3} \approx 1.732$
• $\sqrt[3]{4} \approx 1.587$
• $\sqrt[4]{5} \approx 1.495$

तुलना करने पर (On comparing):
सबसे बड़ा मान $\sqrt{3}$ है, और उससे छोटा $\sqrt[3]{4}$ है।
आरोही क्रम (छोटे से बड़ा) के अनुसार विकल्प (3) का क्रम सही बैठता है।

अतः, सही विकल्प (3) है।

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प्रश्न संख्या: 96

यदि अवरोही क्रम में रखे गए आँकड़ों के दोनों छोरों से प्रेक्षण हटाए जाते हैं, तो केंद्रीय प्रवृत्ति के कौन-से मापक प्रभावित होते हैं?
(Which measures of central tendency get affected if the extreme observations on both the ends of a data arranged in descending order are removed?)

(1) माध्य और माध्यक (Mean and Median)

(2) बहुलक और माध्यक (Mode and Median)

(3) माध्य और बहुलक (Mean and Mode)

(4) माध्य, माध्यक और बहुलक (Mean, Median and Mode)

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (3)

---

हल (Solution):

जब हम किसी डेटा के दोनों छोरों (Extreme values) से आँकड़े हटाते हैं:

1. माध्य (Mean): यह सभी प्रेक्षणों के योग पर निर्भर करता है। यदि हम बड़े या छोटे मान हटाएंगे, तो कुल योग बदल जाएगा और माध्य निश्चित रूप से प्रभावित होगा।

2. बहुलक (Mode): यदि हटाए गए प्रेक्षणों में से कोई सबसे अधिक बार आने वाली संख्या है, तो बहुलक भी बदल सकता है।

3. माध्यक (Median): माध्यक डेटा का बिल्कुल बीच वाला मान होता है। यदि हम दोनों छोरों से समान संख्या में प्रेक्षण हटाते हैं, तो मध्य पद का स्थान वही रहता है। इसलिए माध्यक पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।

अतः, केवल माध्य और बहुलक (Mean and Mode) प्रभावित होते हैं। (विकल्प 3)

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प्रश्न संख्या: 97

5 सेमी बाजू वाले एक घन के सभी फलकों पर रंग लगाया जाता है। यदि इसे 1 सेमी³ वाले घनों में काटा जाता है, तो 1 सेमी³ वाले कितने घनों में केवल एक ही फलक पर रंग होगा?
(A cube of side 5 cm is painted on all its faces. If it is sliced into 1 cm³ cubes, how many cubes of 1 cm³ will have exactly one of their faces painted?)

(1) 142

(2) 54

(3) 42

(4) 27

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (2) 54

---

हल (Solution):

यहाँ बड़े घन की भुजा ($n$) = 5 सेमी है।
छोटे घनों की संख्या जिनकी केवल एक सतह रंगीन होती है, उसका सूत्र है:

Formula: $6(n - 2)^2$

यहाँ $n = 5$ रखने पर:
$= 6(5 - 2)^2$
$= 6(3)^2$
$= 6 \times 9$
$= \mathbf{54}$

अतः, ऐसे 54 घन होंगे जिनकी केवल एक ही सतह पर रंग होगा।

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प्रश्न संख्या: 98

पंचभुज के अंत:कोणों का योग ज्ञात कीजिए।
(Find the sum of all the interior angles of a pentagon.)

(1) 450°

(2) 540°

(3) 360°

(4) 180°

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (2) 540°

---

हल (Solution):

किसी भी $n$ भुजाओं वाले बहुभुज के अंत:कोणों का योग निकालने का सूत्र है:

Formula: $(n - 2) \times 180^{\circ}$

यहाँ, आकृति एक पंचभुज (Pentagon) है, इसलिए भुजाओं की संख्या ($n$) = 5 होगी।

मान रखने पर:
$= (5 - 2) \times 180^{\circ}$
$= 3 \times 180^{\circ}$
$= \mathbf{540^{\circ}}$

अतः, पंचभुज के सभी अंत:कोणों का योग 540° होता है।

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प्रश्न संख्या: 99

एक खम्भे का $\frac{4}{7}$ भाग कीचड़ में धँसा है। जब धँसे हुए का $\frac{1}{3}$ भाग बाहर खींचा जाता है, तो पाया गया कि 8 मीटर माप का खम्भा अभी भी कीचड़ में है। खम्भे की पूरी माप क्या होगी?
($\frac{4}{7}$ of a pole is in the mud. When $\frac{1}{3}$ of it is pulled out, an 8 meter long piece of the pole still remains in the mud. What is the total length of the pole?)

(1) 21 मीटर

(2) 12 मीटर

(3) 30 मीटर

(4) 25 मीटर

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (1) 21 मीटर

---

हल (Solution):

माना खम्भे की कुल लंबाई = $x$ मीटर है।

1. कीचड़ में धँसा हुआ भाग = $\frac{4}{7}x$
2. बाहर निकाला गया भाग = धँसे हुए भाग का $\frac{1}{3}$
$= \frac{1}{3} \times \frac{4}{7}x = \frac{4}{21}x$

3. कीचड़ में शेष बचा भाग:
$= \frac{4}{7}x - \frac{4}{21}x = \frac{12x - 4x}{21} = \frac{8}{21}x$

4. प्रश्न के अनुसार, शेष बचा भाग 8 मीटर है:
$\frac{8}{21}x = 8$
$x = \frac{8 \times 21}{8}$
$x = \mathbf{21}$ मीटर

अतः, खम्भे की कुल लंबाई 21 मीटर है।

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प्रश्न संख्या: 100

A और B किसी काम को 12 दिन में करते हैं, B और C उसी काम को 15 दिन में करते हैं तथा C और A उसी काम को 20 दिन में करते हैं। A अकेले उसी काम को कितने दिन में कर सकता है?
(A and B can do a piece of work in 12 days, B and C in 15 days, C and A in 20 days. How long would A take separately to do the same work?)

(1) 10 दिन

(2) 40 दिन

(3) 30 दिन

(4) 20 दिन

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (3) 30 दिन

---

हल (Solution):

1. सबसे पहले दिनों का ल.स.प. (LCM) निकालें जो "कुल कार्य" होगा:
LCM of (12, 15, 20) = 60 यूनिट (कुल कार्य)

2. अब कार्यक्षमता (Efficiency) निकालें:
• $(A + B)$ की क्षमता = $60 / 12 = 5$ यूनिट/दिन
• $(B + C)$ की क्षमता = $60 / 15 = 4$ यूनिट/दिन
• $(C + A)$ की क्षमता = $60 / 20 = 3$ यूनिट/दिन

3. तीनों को जोड़ने पर: $2(A + B + C) = 5 + 4 + 3 = 12$
अर्थात, $(A + B + C)$ की क्षमता = $12 / 2 = 6$ यूनिट/दिन

4. A की व्यक्तिगत क्षमता:
$A = (A + B + C) - (B + C)$
$A = 6 - 4 = 2$ यूनिट/दिन

5. A द्वारा लिया गया समय:
समय = कुल कार्य / क्षमता = $60 / 2 = \mathbf{30}$ दिन

अतः, A अकेले उस काम को 30 दिन में पूरा करेगा।

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प्रश्न संख्या: 101

$\frac{14}{33}, \frac{42}{55}, \frac{21}{22}$ का महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) है:
(H.C.F. of $\frac{14}{33}, \frac{42}{55}, \frac{21}{22}$ is:)

(1) $\frac{7}{330}$

(2) $\frac{330}{17}$

(3) $\frac{330}{7}$

(4) $\frac{17}{330}$

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (1) $\frac{7}{330}$

---

हल (Solution):

सूत्र (Formula):
भिन्नों का H.C.F. = $\frac{\text{अंशों का H.C.F.}}{\text{हरों का L.C.M.}}$
(H.C.F. of fractions = $\frac{\text{H.C.F. of Numerators}}{\text{L.C.M. of Denominators}}$)

1. अंशों (14, 42, 21) का H.C.F.:
14, 42 और 21 तीनों संख्याएँ 7 से पूरी तरह विभाजित होती हैं।
अतः, H.C.F. = 7

2. हरों (33, 55, 22) का L.C.M.:
$33 = 3 \times 11$
$55 = 5 \times 11$
$22 = 2 \times 11$
L.C.M. $= 11 \times 3 \times 5 \times 2 = \mathbf{330}$

3. अंतिम उत्तर:
H.C.F. $= \mathbf{\frac{7}{330}}$

अतः, सही विकल्प (1) है।

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प्रश्न संख्या: 102

$(7 + 2\sqrt{10})$ का वर्गमूल है:
(Square root of $(7 + 2\sqrt{10})$ is:)

(1) $(\sqrt{6} + 1)$

(2) $(2 + \sqrt{5})$

(3) $(\sqrt{2} + \sqrt{5})$

(4) $(\sqrt{3} + 2)$

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (3) $(\sqrt{2} + \sqrt{5})$

---

हल (Solution):

हमें $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ का मान ज्ञात करना है।

1. सबसे पहले $7$ को ऐसे दो भागों में तोड़ें जिनका गुणनफल $10$ हो:
$7 = 2 + 5$ और $10 = 2 \times 5$

2. अब व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$7 + 2\sqrt{10} = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{2})(\sqrt{5})$

3. यह $(a^2 + b^2 + 2ab)$ के रूप में है, जो $(a + b)^2$ के बराबर होता है:
$= (\sqrt{2} + \sqrt{5})^2$

4. वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2} = \mathbf{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}$

अतः, अभीष्ट वर्गमूल $(\sqrt{2} + \sqrt{5})$ है।

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प्रश्न संख्या: 103

एक वर्ग और एक समबाहु त्रिभुज की एक भुजा उभयनिष्ठ है। यदि त्रिभुज की एक भुजा $\frac{4}{3}$ सेमी लंबी है, तो इस आकृति का परिमाप क्या होगा?
(A square and an equilateral triangle have a side in common. If side of triangle is $\frac{4}{3}$ cm long, find the perimeter of the figure obtained.)

(1) $6\frac{2}{3}$ सेमी

(2) $5\frac{1}{3}$ सेमी

(3) $\frac{16}{9}$ सेमी

(4) $\frac{16}{9} (\frac{\sqrt{3}}{4} + 1)$ सेमी

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (1) $6\frac{2}{3}$ सेमी

---

हल (Solution):

1. वर्ग की 4 भुजाएँ होती हैं और समबाहु त्रिभुज की 3 भुजाएँ।
2. चूंकि एक भुजा उभयनिष्ठ (Common) है, इसलिए वह आकृति के अंदर चली जाएगी और परिमाप (बाहरी घेरा) में नहीं गिनी जाएगी।
3. बाहरी भुजाओं की कुल संख्या = (वर्ग की 3 भुजाएँ) + (त्रिभुज की 2 भुजाएँ) = 5 भुजाएँ।

4. प्रत्येक भुजा की लंबाई = $\frac{4}{3}$ सेमी
5. पूरी आकृति का परिमाप = $5 \times \text{भुजा}$
$= 5 \times \frac{4}{3} = \frac{20}{3}$ सेमी

6. मिश्रित भिन्न में बदलने पर:
$\frac{20}{3} = \mathbf{6\frac{2}{3}}$ सेमी

अतः, आकृति का परिमाप $6\frac{2}{3}$ सेमी होगा।

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प्रश्न संख्या: 104

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 99 से विभाजित होती है?
(Which of the following numbers is divisible by 99?)

(1) 114345

(2) 3572406

(3) 913462

(4) 135792

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (1) 114345

---

हल (Solution):

कोई संख्या 99 से तब विभाजित होती है जब वह 9 और 11 दोनों से विभाजित हो।

1. संख्या 114345 की जाँच:
• 9 से विभाज्यता: अंकों का योग $(1+1+4+3+4+5) = 18$। चूँकि 18, 9 से कटता है, इसलिए यह संख्या 9 से विभाजित है।
• 11 से विभाज्यता: विषम स्थानों का योग $(1+4+4) = 9$ और सम स्थानों का योग $(1+3+5) = 9$।
अंतर $= 9 - 9 = 0$। चूँकि अंतर 0 है, इसलिए यह संख्या 11 से भी विभाजित है।

अतः, संख्या 114345, 99 से पूरी तरह विभाजित होगी।

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प्रश्न संख्या: 105

$\pi$ क्या है?
(What is $\pi$?)

(1) परिमेय संख्या (Rational number)

(2) पूर्णांक (Integer)

(3) अभाज्य संख्या (Prime number)

(4) अपरिमेय संख्या (Irrational number)

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (4) अपरिमेय संख्या

---

हल (Solution):

$\pi$ एक अपरिमेय संख्या (Irrational number) है क्योंकि:

1. इसका दशमलव प्रसार अशांत (Non-terminating) और अनावर्ती (Non-repeating) होता है।
2. हालांकि हम गणना के लिए $\pi \approx \frac{22}{7}$ या $3.14$ का उपयोग करते हैं, लेकिन ये इसके केवल निकटतम मान हैं, सटीक मान नहीं।
3. $\frac{22}{7}$ एक परिमेय संख्या है, लेकिन $\pi$ स्वयं एक अपरिमेय संख्या है।

अतः, $\pi$ एक अपरिमेय संख्या है। (विकल्प 4)

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प्रश्न संख्या: 106

यदि $10^{3x} = 125$ हो, तो $10^{-2x}$ का मान होगा:
(If $10^{3x} = 125$, then the value of $10^{-2x}$ is:)

(1) $\frac{1}{5}$

(2) $\frac{1}{25}$

(3) $\frac{1}{125}$

(4) 25

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (2) $\frac{1}{25}$

---

हल (Solution):

दिया है (Given): $10^{3x} = 125$

1. हम जानते हैं कि $125 = 5^3$, इसलिए:
$(10^x)^3 = 5^3$

2. दोनों तरफ घनमूल (Cube root) लेने पर:
$10^x = 5$

3. अब हमें मान निकालना है $10^{-2x}$ का:
$10^{-2x} = (10^x)^{-2}$

4. $10^x$ का मान (5) रखने पर:
$= (5)^{-2}$
$= \frac{1}{5^2}$
$= \mathbf{\frac{1}{25}}$

अतः, सही विकल्प (2) है।

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प्रश्न संख्या: 107

16075 को किसी संख्या से भाग देने पर भागफल 167 तथा शेषफल 43 प्राप्त होता है, तो भाजक होगा:
(16075 is divided by a number to give quotient 167 and remainder 43, then divisor is:)

(1) 76

(2) 86

(3) 96

(4) 56

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (3) 96

---

हल (Solution):

विभाजन का सूत्र (Division Formula):
भाज्य (Dividend) = (भाजक × भागफल) + शेषफल
(Dividend = (Divisor × Quotient) + Remainder)


यहाँ (Given):
• भाज्य (Dividend) = 16075
• भागफल (Quotient) = 167
• शेषफल (Remainder) = 43

मानों को सूत्र में रखने पर:
$16075 = (\text{भाजक} \times 167) + 43$
$16075 - 43 = \text{भाजक} \times 167$
$16032 = \text{भाजक} \times 167$
$\text{भाजक} = \frac{16032}{167}$
$\mathbf{\text{भाजक} = 96}$

अतः, भाजक 96 होगा।

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प्रश्न संख्या: 108

50 से छोटे धन पूर्णांकों में अभाज्यों (Prime Numbers) की संख्या है:
(The number of positive prime integers less than 50 is:)

(1) 14

(2) 25

(3) 16

(4) 15

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (4) 15

---

हल (Solution):

50 से छोटी अभाज्य संख्याएँ (Prime numbers less than 50) निम्नलिखित हैं:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

इनकी कुल गिनती करने पर:
• 1 से 10 तक: 4 अभाज्य संख्याएँ
• 11 से 20 तक: 4 अभाज्य संख्याएँ
• 21 से 30 तक: 2 अभाज्य संख्याएँ
• 31 से 40 तक: 2 अभाज्य संख्याएँ
• 41 से 50 तक: 3 अभाज्य संख्याएँ

कुल योग (Total) = 4 + 4 + 2 + 2 + 3 = 15

अतः, 50 से छोटे धन पूर्णांकों में कुल 15 अभाज्य संख्याएँ होती हैं।

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प्रश्न संख्या: 109

दो संख्याओं में से बड़ी संख्या का दुगुना छोटी संख्या के पाँच गुने से 3 ज्यादा है तथा बड़ी संख्या के चार गुने और छोटी संख्या के तीन गुने का योग 71 है। वे संख्याएँ क्या हैं?
(Twice the larger of two numbers is three more than five times the smaller and the sum of four times the larger and three times the smaller is 71. What are the numbers?)

(1) 43, 8

(2) 17, 1

(3) 14, 5

(4) 11, 9

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (3) 14, 5

---

हल (Solution):

माना बड़ी संख्या $x$ और छोटी संख्या $y$ है।

शर्त 1 के अनुसार: बड़ी संख्या का दुगुना ($2x$) छोटी के 5 गुने ($5y$) से 3 अधिक है।
$2x = 5y + 3$ या $2x - 5y = 3$ ---(समीकरण i)

शर्त 2 के अनुसार: बड़ी का 4 गुना ($4x$) और छोटी का 3 गुना ($3y$) का योग 71 है।
$4x + 3y = 71$ ---(समीकरण ii)

समीकरणों को हल करने पर:
समीकरण (i) को 2 से गुणा करने पर: $4x - 10y = 6$
अब समीकरण (ii) से घटाने पर: $(4x + 3y) - (4x - 10y) = 71 - 6$
$13y = 65 \Rightarrow \mathbf{y = 5}$

$y$ का मान समीकरण (i) में रखने पर: $2x - 5(5) = 3 \Rightarrow 2x = 28 \Rightarrow \mathbf{x = 14}$

अतः, वे संख्याएँ 14 और 5 हैं।

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प्रश्न संख्या: 110

एक वर्ग का क्षेत्रफल जिसकी एक भुजा 8 सेमी है, उस आयत के क्षेत्रफल के बराबर है जिसकी लंबाई 16 सेमी है। आयत की चौड़ाई ज्ञात करें।
(A square with a side of 8 cm and a rectangle with length 16 cm have the same area. What is the breadth of the rectangle?)

(1) 4 सेमी

(2) 12 सेमी

(3) 6 सेमी

(4) 8 सेमी

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (1) 4 सेमी

---

हल (Solution):

1. वर्ग का क्षेत्रफल (Area of Square):
भुजा (Side) = 8 सेमी
क्षेत्रफल = $\text{भुजा} \times \text{भुजा} = 8 \times 8 = \mathbf{64}$ वर्ग सेमी

2. आयत का क्षेत्रफल (Area of Rectangle):
प्रश्न के अनुसार, आयत का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल = 64 वर्ग सेमी
आयत की लंबाई (Length) = 16 सेमी
माना चौड़ाई (Breadth) = $b$

3. गणना (Calculation):
$\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 64$
$16 \times b = 64$
$b = \frac{64}{16}$
$\mathbf{b = 4}$ सेमी

अतः, आयत की चौड़ाई 4 सेमी होगी।

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प्रश्न संख्या: 111

यदि किसी वस्तु का क्रय मूल्य उसके विक्रय मूल्य का $\frac{3}{2}$ है, तो लाभ या हानि प्रतिशत है:
(If cost price of an article is $\frac{3}{2}$ of its selling price, then profit or loss percent is:)

(1) $33\frac{1}{3}\%$ लाभ

(2) $33\frac{1}{8}\%$ लाभ

(3) $33\frac{1}{8}\%$ हानि

(4) $33\frac{1}{3}\%$ हानि

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (4) $33\frac{1}{3}\%$ हानि

---

हल (Solution):

प्रश्न के अनुसार (As per question):
क्रय मूल्य (CP) = $\frac{3}{2} \times$ विक्रय मूल्य (SP)

1. अनुपात निकालें (Find Ratio):
$\frac{CP}{SP} = \frac{3}{2}$
अर्थात, यदि क्रय मूल्य = 3 यूनिट है, तो विक्रय मूल्य = 2 यूनिट है।

2. हानि की गणना (Calculate Loss):
चूँकि CP > SP है, इसलिए यहाँ हानि (Loss) होगी।
हानि = CP - SP = 3 - 2 = 1 यूनिट

3. हानि प्रतिशत (Loss Percentage):
$\text{हानि } \% = \left( \frac{\text{हानि}}{CP} \right) \times 100$
$= \left( \frac{1}{3} \right) \times 100$
$= \mathbf{33\frac{1}{3}\%}$

अतः, $33\frac{1}{3}\%$ की हानि होगी।

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प्रश्न संख्या: 112

121012 को 12 से भाग देने पर शेषफल है:
(When 121012 is divided by 12, the remainder is:)

(1) 0

(2) 4

(3) 3

(4) 2

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (2) 4

---

हल (Solution):

121012 को 12 से विभाजित करने की प्रक्रिया:

• $12 \times 10000 = 120000$
• शेष बचा = $121012 - 120000 = 1012$
• $12 \times 80 = 960$
• शेष बचा = $1012 - 960 = 52$
• $12 \times 4 = 48$
• अंतिम शेषफल = $52 - 48 = \mathbf{4}$


अतः, 121012 को 12 से भाग देने पर शेषफल 4 प्राप्त होगा।

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प्रश्न संख्या: 113

$(378 \times 236 \times 459 \times 312)$ के गुणनफल में इकाई का अंक होगा:
(The digit of unit place in the product of $(378 \times 236 \times 459 \times 312)$ is:)

(1) 4

(2) 2

(3) 8

(4) 6

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (1) 4

---

हल (Solution):

गुणनफल में इकाई का अंक ज्ञात करने के लिए हमें केवल दी गई संख्याओं के इकाई अंकों को आपस में गुणा करना होता है।

इकाई के अंक हैं: 8, 6, 9, 2

स्टेप-बाय-स्टेप गुणा:
1. $8 \times 6 = 48$ (यहाँ इकाई का अंक 8 है)
2. $8 \times 9 = 72$ (यहाँ इकाई का अंक 2 है)
3. $2 \times 2 = \mathbf{4}$

अतः, पूरे गुणनफल में इकाई का अंक 4 होगा।

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प्रश्न संख्या: 114

दिए आँकड़ों का माध्य यदि 4.5 है, तो उसका माध्यक क्या होगा?
आँकड़े: 5, 7, 7, 8, x, 5, 4, 3, 1, 2
(What will be the median of the given data if the mean is 4.5? Data: 5, 7, 7, 8, x, 5, 4, 3, 1, 2)

(1) 4.5

(2) 5

(3) 6

(4) 5.5

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (4) 4.5

---

हल (Solution):

स्टेप 1: x का मान ज्ञात करना
माध्य (Mean) = $\frac{\text{कुल योग}}{\text{पदों की संख्या}}$
$4.5 = \frac{5+7+7+8+x+5+4+3+1+2}{10}$
$45 = 42 + x \Rightarrow \mathbf{x = 3}$

स्टेप 2: आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करना
1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8

स्टेप 3: माध्यक (Median) की गणना
यहाँ पदों की संख्या (n) = 10 (सम) है।
माध्यक = $\frac{(\frac{n}{2})\text{वां पद} + (\frac{n}{2} + 1)\text{वां पद}}{2}$
माध्यक = $\frac{5\text{वां पद} + 6\text{वां पद}}{2} = \frac{4 + 5}{2} = \mathbf{4.5}$

अतः, दिए गए आँकड़ों का माध्यक 4.5 होगा।

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प्रश्न संख्या: 115

सांख्यिकी में 'विचरण का विश्लेषण' (Analysis of Variance) नामक विधि का मुख्य श्रेय किसे है?
(Who is the most important person related with the method of 'Analysis of Variance' in Statistics?)

(1) न्यूटन (Newton)

(2) लाप्लास (Laplace)

(3) गाउस (Gauss)

(4) आर. ए. फिशर (R. A. Fisher)

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (4) आर. ए. फिशर (R. A. Fisher)

---

विवरण (Description):

• सांख्यिकी में 'विचरण का विश्लेषण' (Analysis of Variance - ANOVA) का विकास महान सांख्यिकीविद् सर रोनाल्ड ए. फिशर (R. A. Fisher) ने किया था.
• इस विधि का उपयोग दो या दो से अधिक समूहों के माध्य (Means) के बीच के अंतर की सांख्यिकीय सार्थकता जाँचने के लिए किया जाता है.
• फिशर को "आधुनिक सांख्यिकी का जनक" भी माना जाता है.

अतः, विकल्प (4) सही है।

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प्रश्न संख्या: 116

$\triangle ABC$ के मध्य बिन्दु क्रमशः D, E, F हैं। ज्ञात कीजिए निम्न में से कौन-सा कथन सत्य है?
(D, E, F are respectively the mid points of sides of $\triangle ABC$. Which of the following statement is correct?)

(1) $\triangle DEF$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \triangle ABC$ का क्षेत्रफल

(2) $\triangle DEF$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{4} \triangle ABC$ का क्षेत्रफल

(3) $\triangle DEF$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{3} \triangle ABC$ का क्षेत्रफल

(4) $\triangle DEF$ का क्षेत्रफल = $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (2)

---

हल (Solution):

ज्यामिति के नियम के अनुसार:

1. जब किसी त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाया जाता है, तो मूल त्रिभुज चार समान क्षेत्रफल वाले छोटे त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है।
2. ये चारों छोटे त्रिभुज ($\triangle AFE, \triangle FBD, \triangle EDC$ और $\triangle DEF$) आपस में सर्वांगसम (Congruent) होते हैं।
3. इसलिए, बीच वाले त्रिभुज ($\triangle DEF$) का क्षेत्रफल पूरे त्रिभुज ($\triangle ABC$) के क्षेत्रफल का एक-चौथाई होता है।

गणितीय रूप:

$\text{Area}(\triangle DEF) = \frac{1}{4} \times \text{Area}(\triangle ABC)$

अतः, विकल्प (2) पूर्णतः सत्य है।

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प्रश्न संख्या: 117

यदि किसी दिए गए आँकड़े का समांतर माध्य = A, ज्यामितीय माध्य = G तथा हरात्मक माध्य = H हो, तो उनके बीच सही संबंध है:
(If Arithmetic mean of a given data is A, Geometric mean = G and Harmonic mean = H, then the correct relation is:)

(1) $A \leq G \geq H$

(2) $A \geq H \geq G$

(3) $A \geq G \geq H$

(4) $A \leq G \leq H$

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (3) $A \geq G \geq H$

---

हल (Solution):

सांख्यिकी के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार, किन्हीं भी धनात्मक संख्याओं के लिए माध्यों के बीच एक निश्चित क्रम होता है:

1. समांतर माध्य (Arithmetic Mean - A) हमेशा सबसे बड़ा या ज्यामितीय माध्य के बराबर होता है।
2. ज्यामितीय माध्य (Geometric Mean - G) हमेशा हरात्मक माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है।
3. हरात्मक माध्य (Harmonic Mean - H) सबसे छोटा होता है।

गणितीय रूप (Mathematical Form):

$A \geq G \geq H$

अतः, सही विकल्प (3) है।

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प्रश्न संख्या: 118

यदि दो संख्याओं का अन्तर तथा गुणनफल क्रमश: 5 तथा 36 हो, तो उनके व्युत्क्रमों का अन्तर है:
(If the difference and the product of two numbers are 5 and 36 respectively, then the difference of their reciprocals is:)

(1) $\frac{5}{36}$

(2) $\frac{9}{5}$

(3) $\frac{5}{9}$

(4) $\frac{31}{36}$

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (1) $\frac{5}{36}$

---

हल (Solution):

माना दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
प्रश्न के अनुसार:
• अंतर $(a - b) = 5$
• गुणनफल $(ab) = 36$

व्युत्क्रमों का अंतर (Difference of Reciprocals):
$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab}$

मान रखने पर:
$\frac{5}{36}$

जादुई ट्रिक (Magic Trick):
व्युत्क्रमों का अंतर हमेशा (संख्याओं का अंतर / संख्याओं का गुणनफल) होता है।

अतः, सही विकल्प (1) है।

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प्रश्न संख्या: 119

बीसवीं सदी के स्वशिक्षित भारतीय गणितीय प्रतिभावान कौन थे?
(Who was the self-taught Indian mathematical genius in 20th century?)

(1) आर्यभट्ट (Aryabhatta)

(2) हरीश चन्द्र (Harish Chandra)

(3) श्रीनिवास रामानुजन (Srinivas Ramanujan)

(4) श्रीधराचार्य (Shridharacharya)

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (3) श्रीनिवास रामानुजन

---

विवरण (Description):

• श्रीनिवास रामानुजन (1887-1920) को 20वीं सदी का सबसे महान स्वशिक्षित गणितज्ञ माना जाता है।
• उन्होंने बिना किसी विशेष औपचारिक शिक्षा के गणितीय विश्लेषण, संख्या सिद्धांत और अनंत श्रृंखला (infinite series) में अभूतपूर्व योगदान दिया।
• उनके जन्मदिन (22 दिसंबर) को भारत में 'राष्ट्रीय गणित दिवस' के रूप में मनाया जाता है।

अतः, विकल्प (3) सही है।

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प्रश्न संख्या: 120

किसी कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल 660 m² है तथा लंबाई उसकी चौड़ाई की दुगुनी है। यदि कमरे की ऊँचाई 11 m है, तो उसकी छत का क्षेत्रफल है:
(The area of four walls of a room is 660 m² and the length is twice its width. If height of the room is 11 m, then area of its ceiling is:)

(1) 200 m²

(2) 75 m²

(3) 100 m²

(4) 150 m²

✅ सही उत्तर (Correct Answer): विकल्प (1) 200 m²

---

हल (Solution):

माना कमरे की चौड़ाई (Width) = $b$ मीटर
लंबाई (Length) = $2b$ मीटर (प्रश्न के अनुसार)
ऊँचाई (Height) = 11 मीटर

1. चारों दीवारों का क्षेत्रफल सूत्र:
$\text{Area} = 2(l + b) \times h$
$660 = 2(2b + b) \times 11$
$660 = 2(3b) \times 11$
$660 = 66b$
$\mathbf{b = 10}$ मीटर

2. लंबाई और चौड़ाई का मान:
• चौड़ाई (b) = 10 मीटर
• लंबाई (l) = $2 \times 10 = 20$ मीटर

3. छत का क्षेत्रफल (Area of Ceiling):
छत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
$= 20 \times 10 = \mathbf{200 \text{ m}^2}$

अतः, छत का क्षेत्रफल 200 m² होगा।

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