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अनुपात और समानुपात (Ratio and Proportion) - Full Concept
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गणित की दुनिया में अनुपात (Ratio) और समानुपात (Proportion) दो ऐसे स्तंभ हैं जिनके बिना गणना अधूरी है। चाहे आप किसी प्रतियोगी परीक्षा की तैयारी कर रहे हों या दैनिक जीवन में गणना कर रहे हों, इन नियमों को समझना बेहद ज़रूरी है। आज के इस आर्टिकल में हम अनुपात और समानुपात के हर एक पहलू को गहराई से समझेंगे।
1. अनुपात (Ratio) की विस्तृत परिभाषा
जब हम दो सजातीय (एक ही प्रकार की) राशियों के बीच तुलना करते हैं कि एक राशि दूसरी की तुलना में कितनी गुनी है, तो उस तुलनात्मक संबंध को अनुपात कहते हैं।
- प्रतीक: इसे दो बिन्दुओं
:द्वारा दर्शाया जाता है। - उदाहरण: यदि कक्षा में 20 लड़के और 30 लड़कियाँ हैं, तो उनका अनुपात 20:30 यानी 2:3 होगा।
- नियम: अनुपात में राशियों की इकाई समान होनी चाहिए (जैसे ग्राम की तुलना ग्राम से, न कि किलोग्राम से)।
2. समानुपात (Proportion) क्या है?
जब दो अनुपात आपस में बराबर हो जाते हैं, तो उस स्थिति को समानुपात कहा जाता है। इसे :: या = के चिह्न से दर्शाते हैं।
यदि a : b = c : d है, तो इसे a : b :: c : d लिखा जाएगा।
यहाँ: a × d = b × c (Extreme terms का गुणनफल = Mean terms का गुणनफल)
अनुपात के महत्वपूर्ण नियम (Properties of Ratios)
3. प्रतियोगिता परीक्षाओं के लिए मुख्य सूत्र
- मध्यानुपाती (Mean Proportional): a और b का मध्यानुपाती = √(ab)
- तृतीयानुपाती (Third Proportional): a और b का तृतीयानुपाती = b²/a
- चतुर्थानुपाती (Fourth Proportional): a, b, c का चतुर्थानुपाती = (b × c) / a
- मिश्रित अनुपात (Compound Ratio): a:b और c:d का मिश्रित अनुपात = (ac) : (bd)
4. महत्वपूर्ण उदाहरण (Solved Examples)
प्रश्न 1: यदि a:b = 2:3 और b:c = 4:5 है, तो a:b:c क्या होगा?
हल: b को समान करने के लिए (3 और 4 का LCM = 12):
a:b = (2×4):(3×4) = 8:12
b:c = (4×3):(5×3) = 12:15
उत्तर: 8 : 12 : 15
प्रश्न 2: 8 और 18 का मध्यानुपाती ज्ञात कीजिए।
हल: √(8 × 18) = √144 = 12
प्रश्न 3: (सिक्कों पर आधारित) एक बैग में ₹1, 50 पैसे के सिक्के 3:4 के अनुपात में हैं। यदि कुल ₹45 हों, तो 50 पैसे के कितने सिक्के हैं?
हल: माना सिक्के 3x और 4x हैं।
कुल मूल्य: 1(3x) + 0.50(4x) = 45
3x + 2x = 45 => 5x = 45 => x = 9
50 पैसे के सिक्के = 4 × 9 = 36 सिक्के
महत्वपूर्ण अभ्यास प्रश्न (Set - 2)
इन सवालों को हल करके अपनी तैयारी को और मजबूत करें
Type 5: आय और व्यय पर आधारित (Income & Expenditure)
प्रश्न 1: दो व्यक्तियों की आय का अनुपात 9:7 है और उनके खर्च का अनुपात 4:3 है। यदि उनमें से प्रत्येक ₹2000 प्रति माह बचाता है, तो उनकी मासिक आय ज्ञात कीजिए।
हल: माना आय 9x और 7x है।
बचत = आय - खर्च
समीकरण: (9x - 2000) / (7x - 2000) = 4 / 3
तिरछा गुणा करने पर: 3(9x - 2000) = 4(7x - 2000)
27x - 6000 = 28x - 8000
x = 2000
पहली आय: 9 × 2000 = ₹18,000
दूसरी आय: 7 × 2000 = ₹14,000
Type 6: मिश्रण में दूध और पानी (Milk & Water)
प्रश्न 2: 60 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 2:1 है। इसमें कितना पानी और मिलाया जाए कि अनुपात 1:2 हो जाए?
हल: कुल मात्रा = 60 लीटर
दूध = (2/3) × 60 = 40 लीटर, पानी = 20 लीटर
माना 'w' लीटर पानी मिलाया गया:
40 / (20 + w) = 1 / 2
80 = 20 + w
w = 60 लीटर
Type 7: समानुपात के पद (Proportional Terms)
प्रश्न 3: 0.12, 0.21 और 8 का चतुर्थानुपाती (Fourth Proportional) क्या होगा?
हल: सूत्र: चतुर्थानुपाती (x) = (b × c) / a
x = (0.21 × 8) / 0.12
x = 1.68 / 0.12 = 14
Type 8: वर्गानुपात और घनमूलानुपात
प्रश्न 4: यदि दो गोलों की त्रिज्याओं का अनुपात 2:3 है, तो उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?
हल: क्षेत्रफल हमेशा त्रिज्या के वर्ग (Square) के अनुपात में होता है।
अनुपात = 2² : 3² = 4 : 9
Type 9: संख्याओं में जोड़/घटाव
प्रश्न 5: 7:13 के प्रत्येक पद में क्या जोड़ा जाए कि अनुपात 2:3 हो जाए?
हल: माना 'x' जोड़ा जाए।
(7 + x) / (13 + x) = 2 / 3
21 + 3x = 26 + 2x
x = 26 - 21 = 5
परीक्षा के लिए विशेष टिप्स:
1. हमेशा अनुपात निकालते समय इकाइयों (Units) को एक समान कर लें।
2. 'योगांतर अनुपात' का नियम कठिन गणनाओं को बहुत आसान बना देता है, इसे अच्छे से याद कर लें।
3. मिश्रण और सिक्कों वाले सवालों में पहले 'अनुपाती नियतांक' (x) मानकर समीकरण बनाएं।
उम्मीद है यह विस्तृत लेख आपकी तैयारी में मदद करेगा! अधिक जानकारी के लिए जुड़े रहें।
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