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CG PET 2022 भौतिकी (Physics) के सभी 50 प्रश्नों का सटीक और आसान समाधान, अब हिन्दी और अंग्रेजी दोनों भाषाओं में उपलब्ध। अपनी तैयारी को दें एक नई उड़ान!

CG PET 2022

PHYSICS SOLUTION

हिन्दी और English में विस्तृत समाधान | Detailed Solution in Hindi & English

BY: WAY2 STUDY SMART OFFICIAL

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1. एक समान आकार परन्तु भिन्न-भिन्न पदार्थों की दो छड़ों A व B को श्रेणी क्रम में जोड़ा गया है। उनकी ऊष्मा चालकता क्रमशः $K$ व $2K$ हो, तो संयुक्त छड़ की ऊष्मा चालकता होगी:
(Two rods A and B of same dimension but different materials are joined in series. Their thermal conductivities are $K$ and $2K$. The thermal conductivity of the composite rod will be:)

A. $\frac{2}{3}K$

B. $\sqrt{2}K$

C. $3K$

D. $\frac{4}{3}K$

Correct Option: D ($\frac{4}{3}K$)

संपूर्ण हल (Series Combination):

जब दो छड़ें श्रेणी क्रम (Series) में जुड़ी हों, तो संयुक्त छड़ की प्रभावी ऊष्मा चालकता ($K_{eq}$) का सूत्र है:

$$K_{eq} = \frac{L_1 + L_2}{\frac{L_1}{K_1} + \frac{L_2}{K_2}}$$

चूँकि दोनों छड़ें "एक समान आकार" की हैं, तो $L_1 = L_2 = L$ होगा:
$$K_{eq} = \frac{2L}{\frac{L}{K} + \frac{L}{2K}} = \frac{2L}{L \left( \frac{1}{K} + \frac{1}{2K} \right)}$$
$$K_{eq} = \frac{2}{\frac{2+1}{2K}} = \frac{2 \times 2K}{3} = \frac{4}{3}K$$

Way2 Study Smart Shortcut Trick:
अगर दो समान लंबाई की छड़ें श्रेणी क्रम में हों, तो सीधे यह लगाओ:
$K_{eq} = \frac{2 K_1 K_2}{K_1 + K_2}$
यहाँ $K_1 = 1$ और $K_2 = 2$ मान लें:
$\frac{2 \times 1 \times 2}{1 + 2} = \frac{4}{3}K$ (पलक झपकते ही उत्तर!)

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2. लम्बाई $L$ तथा द्रव्यमान $M$ की एक छड़ को अर्धवृत्तीय रूप में मोड़ा जाता है (चित्रानुसार)। $XY$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है-
(A rod of length $L$ and mass $M$ is bent into form of a semi circular ring (as shown in figure). The moment of inertia about $XY$ axis is-)

A. $\frac{ML^2}{2\pi^2}$

B. $\frac{ML^2}{\pi^2}$

C. $\frac{ML^2}{4\pi^2}$

D. $\frac{2ML^2}{\pi^2}$

Correct Option: A ($\frac{ML^2}{2\pi^2}$)

विस्तृत व्याख्या (Solution):

1. त्रिज्या (Radius) निकालना: जब $L$ लंबाई की छड़ को अर्धवृत्त में मोड़ा जाता है, तो इसकी परिधि $\pi R = L$ होगी।
अतः, त्रिज्या $R = \frac{L}{\pi}$

2. जड़त्व आघूर्ण (M.I.): किसी रिंग (वलय) का उसके व्यास (Diameter) $XY$ के परितः जड़त्व आघूर्ण का सूत्र होता है:

$I_{XY} = \frac{1}{2} MR^2$

3. मान रखने पर:
$I_{XY} = \frac{1}{2} M \left( \frac{L}{\pi} \right)^2$
$I_{XY} = \frac{ML^2}{2\pi^2}$

Way2 Study Smart Shortcut:
सीधा याद रखें: अगर पूरी रिंग होती तो $R = \frac{L}{2\pi}$ होता, अर्धवृत्त है तो $R = \frac{L}{\pi}$।
व्यास (Diameter) के लिए बस आधा $MR^2$ कर दें! $(\frac{1}{2} \times \text{Mass} \times \text{Radius}^2)$

Content By: Way2 Study Smart Official

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3. रेडियोएक्टिव नाभिक का माध्य आयु $T$ तथा क्षय नियतांक $\lambda$ निम्न व्यंजक द्वारा संबंधित होता है-
(The average Life $T$ and the decay constant $\lambda$ of a radioactive nucleus are related by the expression-)

A. $T\lambda = 1$

B. $T = \frac{0.693}{\lambda}$

C. $\frac{T}{\lambda} = 1$

D. $T = \frac{e}{\lambda}$

Correct Option: A ($T\lambda = 1$)

विस्तृत व्याख्या (Solution):

रेडियोएक्टिविटी में, किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की माध्य आयु (Average Life) उसके क्षय नियतांक (Decay Constant) के व्युत्क्रम (Reciprocal) के बराबर होती है।

गणितीय रूप में:
$T = \frac{1}{\lambda}$
इसे सरल करने पर हमें मिलता है:
$T \times \lambda = 1$
इसलिए, सही संबंध $T\lambda = 1$ है।

Way2 Study Smart Expert Tip:
कन्फ्यूज न हों!
• अर्द्ध-आयु (Half-life): $T_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$
• माध्य आयु (Average Life): $T = \frac{1}{\lambda}$
बस 'औसत' याद रखें, तो हमेशा '1/lambda' याद रहेगा!

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4. $l$ लम्बाई व $M$ चुम्बकीय द्विध्रुव आघूर्ण वाले चुम्बक को चित्रानुसार चाप के रूप में मोड़ा गया है। इस स्थिति में नया चुम्बकीय द्विध्रुव आघूर्ण होगा-
(A bar magnet of length '$l$' and magnetic dipole moment '$M$' is bent in the form of an arc as shown in fig. The new magnetic dipole moment will be-)

A. $\frac{M}{2}$

B. $M$

C. $\frac{3M}{\pi}$

D. $\frac{2M}{\pi}$

Correct Option: C ($\frac{3M}{\pi}$)

संपूर्ण हल (Solution):

1. मूल स्थिति: शुरुआत में चुम्बक की लंबाई $l$ है, तो चुम्बकीय आघूर्ण $M = m \times l$ होगा (जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है)।
2. मोड़ने पर: चुम्बक को $60^\circ$ (या $\pi/3$ रेडियन) के कोण पर मोड़ा गया है।
चाप की लंबाई $l = r \times \theta \implies l = r \times \frac{\pi}{3} \implies r = \frac{3l}{\pi}$।
3. नया विस्थापन (Effective Length): दोनों ध्रुवों के बीच की सीधी दूरी $l' = 2r \sin(\theta/2)$ होती है।
$l' = 2r \sin(30^\circ) = 2 \times r \times \frac{1}{2} = r = \frac{3l}{\pi}$।
4. नया चुम्बकीय आघूर्ण:
$M' = m \times l' = m \times \frac{3l}{\pi} = \frac{3(m \times l)}{\pi} = \frac{3M}{\pi}$।

Way2 Study Smart Shortcut Trick:
जब भी किसी चुम्बक को $\theta$ कोण पर मोड़ा जाए, नया आघूर्ण सीधा इस फॉर्मूले से निकालें:
$M' = \frac{M \times \sin(\theta/2)}{\theta/2}$ (जहाँ $\theta$ रेडियन में है) यहाँ $\theta = 60^\circ$ के लिए: $\frac{M \times \sin 30^\circ}{\pi/6} = \frac{M \times 1/2}{\pi/6} = \frac{3M}{\pi}$!

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5. दो भिन्न-भिन्न पदार्थों P व Q के B-H ग्राफ चित्र में प्रदर्शित हैं। इनका उपयोग विद्युत जनित्र, ट्रांसफार्मर तथा विद्युत चुम्बकीय कोर हेतु चुम्बक बनाने में होता है। इनमें से सबसे उपयुक्त है-
(B-H curve of two different materials P and Q are shown in fig. These materials are used to make magnets for electric generator, transformer and electro magnetic core. Then it is proper to use-)

A. P विद्युत जनित्र व ट्रांसफार्मर हेतु

B. P विद्युत चुम्बक व Q विद्युत जनित्र हेतु

C. P ट्रांसफार्मर व Q विद्युत चुम्बक अथवा विद्युत जनित्र हेतु

D. Q विद्युत चुम्बक व ट्रांसफार्मर हेतु

Correct Option: D (Q विद्युत चुम्बक व ट्रांसफार्मर हेतु)

विस्तृत हल (Logic):

• पदार्थ Q का विश्लेषण: ग्राफ में Q का लूप पतला और संकरा (Narrow) है। इसका अर्थ है कि इस पदार्थ की निग्राहिता (Coercivity) कम है और इसमें शैथिल्य हानि (Hysteresis Loss) बहुत कम होती है।

• ट्रांसफार्मर और विद्युत चुम्बक: ट्रांसफार्मर की कोर और विद्युत चुम्बक (Electromagnets) में धारा बार-बार दिशा बदलती है, जिससे कोर बार-बार चुम्बकित और विचुम्बकित होती है।

• निष्कर्ष: ऊर्जा की हानि को कम करने के लिए इन उपकरणों में ऐसे पदार्थ (जैसे नर्म लोहा) का उपयोग किया जाता है जिसका B-H लूप पतला हो। अतः पदार्थ Q ही ट्रांसफार्मर और विद्युत चुम्बक बनाने के लिए सबसे उपयुक्त है।

Way2 Study Smart Expert Trick:
याद रखें:
1. पतला (Thin) Loop = कम ऊर्जा हानि = Q (ट्रांसफार्मर, AC जनरेटर, विद्युत चुम्बक)
2. चौड़ा (Thick) Loop = अधिक धारणशीलता = P (स्थायी चुम्बक/Permanent Magnet)

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6. प्रिज्म के अपवर्तक कोण व न्यूनतम विचलन कोण बराबर हों तो प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक होना चाहिए-
(For the angle of minimum deviation of a prism to be equal to its refracting angle, the prism must be made of a material whose refractive index-)

A. $\sqrt{2}$ व 1 के बीच

B. 2 व $\sqrt{2}$ के बीच

C. 1 से कम

D. 2 से ज्यादा

Correct Option: B (2 व $\sqrt{2}$ के बीच)

संपूर्ण हल (Solution):

1. शर्त: प्रश्न के अनुसार, न्यूनतम विचलन कोण ($\delta_m$) प्रिज्म कोण ($A$) के बराबर है। यानी $\delta_m = A$।
2. प्रिज्म सूत्र: अपवर्तनांक का सूत्र होता है: $$\mu = \frac{\sin\left(\frac{A + \delta_m}{2}\right)}{\sin\left(\frac{A}{2}\right)}$$ 3. मान रखने पर: $\delta_m = A$ रखने पर: $$\mu = \frac{\sin\left(\frac{A + A}{2}\right)}{\sin\left(\frac{A}{2}\right)} = \frac{\sin A}{\sin(A/2)}$$ 4. त्रिकोणमिति का उपयोग: $\sin A = 2\sin(A/2)\cos(A/2)$ होता है। $$\mu = \frac{2\sin(A/2)\cos(A/2)}{\sin(A/2)} = 2\cos(A/2)$$ 5. सीमाएँ (Range): प्रिज्म कोण $A$ का मान $0^\circ$ से $180^\circ$ के बीच हो सकता है, लेकिन व्यावहारिक रूप से $A$ का अधिकतम मान $90^\circ$ तक ही लिया जाता है।
- यदि $A \to 0$, तो $\mu = 2\cos 0 = 2$।
- यदि $A = 90^\circ$, तो $\mu = 2\cos 45^\circ = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।
अतः, अपवर्तनांक 2 और $\sqrt{2}$ के बीच होना चाहिए।

Way2 Study Smart Shortcut Trick:
बस यह याद रखें: जब $\delta_m = A$ हो, तो $\mu = 2\cos(A/2)$।
चूँकि $\cos$ की वैल्यू अधिकतम 1 और $45^\circ$ पर $1/\sqrt{2}$ होती है, तो $\mu$ की रेंज अपने आप 2 से $\sqrt{2}$ के बीच आ जाएगी!

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7. 2 कि.ग्रा., 4 कि.ग्रा. और 4 कि.ग्रा. के तीन द्रव्यमान क्रमशः (1, 0, 0), (1, 1, 0) और (0, 1, 0) पर स्थित हैं। इनके द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश है-
(Three masses of 2kg, 4kg and 4kg are placed at the three points (1, 0, 0), (1, 1, 0) and (0, 1, 0) respectively. The position vector of its centre of mass is-)

A. $\frac{3}{5}\hat{i} + \frac{4}{5}\hat{j}$

B. $3\hat{i} + \hat{j}$

C. $\frac{2}{5}\hat{i} + \frac{4}{5}\hat{j}$

D. $\frac{1}{5}\hat{i} + \frac{4}{5}\hat{j}$

Correct Option: A ($\frac{3}{5}\hat{i} + \frac{4}{5}\hat{j}$)

संपूर्ण हल (Solution):

द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश ($\vec{r}_{cm}$) निकालने का सूत्र है:
$$\vec{r}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + m_3\vec{r}_3}{m_1 + m_2 + m_3}$$ यहाँ डेटा इस प्रकार है:
$m_1 = 2 \text{ kg}, \vec{r}_1 = (1, 0, 0) = \hat{i}$
$m_2 = 4 \text{ kg}, \vec{r}_2 = (1, 1, 0) = \hat{i} + \hat{j}$
$m_3 = 4 \text{ kg}, \vec{r}_3 = (0, 1, 0) = \hat{j}$

1. X-द्रव्यमान केंद्र ($x_{cm}$):
$x_{cm} = \frac{(2 \times 1) + (4 \times 1) + (4 \times 0)}{2 + 4 + 4} = \frac{2 + 4 + 0}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

2. Y-द्रव्यमान केंद्र ($y_{cm}$):
$y_{cm} = \frac{(2 \times 0) + (4 \times 1) + (4 \times 1)}{2 + 4 + 4} = \frac{0 + 4 + 4}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

अतः, स्थिति सदिश $\vec{r}_{cm} = \frac{3}{5}\hat{i} + \frac{4}{5}\hat{j}$ है।

Way2 Study Smart Shortcut Trick:
हमेशा याद रखें: Center of Mass = (कुल मोमेंट) / (कुल द्रव्यमान)।
सिर्फ अंश (Numerator) को जोड़े: $x \implies (2 \times 1 + 4 \times 1) = 6$; $y \implies (4 \times 1 + 4 \times 1) = 8$।
दोनों को कुल वजन (10) से भाग दे दें: $0.6\hat{i} + 0.8\hat{j}$!

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8. X-किरण का तरंगदैर्ध्य किस कोटि का होता है-
(The wavelength of X-rays is the order of-)

A. से.मी. (Centimetre)

B. माइक्रोन ($10^{-6}$ मी.)

C. एंगस्ट्राम ($10^{-10}$ मी.)

D. मीटर (Meter)

Correct Option: C (एंगस्ट्राम $10^{-10}$ मी.)

विस्तृत व्याख्या (Information):

X-किरणें उच्च ऊर्जा वाली विद्युत चुम्बकीय तरंगें (Electromagnetic waves) होती हैं। इनकी खोज रॉन्टगन (Roentgen) ने की थी।

• X-किरणों का तरंगदैर्ध्य बहुत कम होता है, जो लगभग 0.01 nm से 10 nm के बीच होता है।
• चूँकि $1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}$ और $1 \text{ Angstrom} (\text{\AA}) = 10^{-10} \text{ m}$, इसलिए इनकी कोटि (order) को एंगस्ट्राम ($\text{\AA}$) में व्यक्त किया जाता है।

Way2 Study Smart Expert Fact:
विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम में क्रम याद रखें (ऊर्जा के बढ़ते क्रम में):
रेडियो < माइक्रो < अवरक्त < दृश्य < पराबैंगनी < X-किरण ($10^{-10}$ मी.) < गामा!

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9. प्रकाश विद्युत सेल एक युक्ति है जो कि परिवर्तित करता है-
(Photo electric cell is a device which converts-)

A. प्रकाशीय ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में (Light energy into electrical energy)

B. रासायनिक ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में (Chemical energy into electrical energy)

C. विद्युत ऊर्जा को प्रकाश ऊर्जा में (Electrical energy into light energy)

D. चुम्बकीय ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में (Magnetic energy into electrical energy)

Correct Option: A (प्रकाशीय ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में)

विस्तृत व्याख्या (Logic):

• कार्य सिद्धांत: प्रकाश विद्युत सेल (Photoelectric cell) प्रकाश विद्युत प्रभाव (Photoelectric effect) के सिद्धांत पर कार्य करता है।

• ऊर्जा रूपांतरण: जब किसी उपयुक्त आवृत्ति का प्रकाश सेल की कैथोड (संवेदी सतह) पर गिरता है, तो वहाँ से इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन होता है जिससे परिपथ में धारा प्रवाहित होने लगती है।

• निष्कर्ष: यह स्पष्ट रूप से प्रकाश ऊर्जा (Light Energy) को सीधे विद्युत ऊर्जा (Electrical Energy) में बदल देता है। इसका उपयोग सौर ऊर्जा पैनल, चोर अलार्म और सिनेमा में ध्वनि पुनरुत्पादन के लिए किया जाता है।

Way2 Study Smart Expert Point:
नाम में ही जवाब है!
Photo (Light) + Electric (Electricity) = Photoelectric.
मतलब 'प्रकाश' डालो और 'बिजली' बनाओ!

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10. 120 चक्कर प्रति मिनट से घूमते गति पालक चक्र की कोणीय चाल होगी-
(The angular speed of a flywheel making 120 revolution/minute is-)

A. $2\pi \text{ rad/s}$

B. $4\pi^2 \text{ rad/s}$

C. $\pi \text{ rad/s}$

D. $4\pi \text{ rad/s}$

Correct Option: D ($4\pi \text{ rad/s}$)

विस्तृत हल (Solution):

1. दिया गया डेटा: आवृत्ति ($n$) = 120 चक्कर प्रति मिनट (RPM)।
2. आवृत्ति को प्रति सेकंड में बदलना:
$n = \frac{120}{60} = 2$ चक्कर प्रति सेकंड (RPS)।
3. कोणीय चाल का सूत्र: कोणीय चाल ($\omega$) और आवृत्ति ($n$) के बीच संबंध होता है:
$\omega = 2\pi n$ 4. मान रखने पर:
$\omega = 2\pi \times 2 = 4\pi \text{ rad/s}$

Way2 Study Smart Shortcut Trick:
जब भी RPM दिया हो, उसे सीधे $\frac{\pi}{30}$ से गुणा कर दें!
$\omega = 120 \times \frac{\pi}{30} = 4\pi \text{ rad/s}$।
(सिर्फ 2 सेकंड में उत्तर!)

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11. समान्तर प्लेट संधारित्र की धारिता निर्भर करती है-
(The capacity of a parallel plate capacitor depends on-)

A. प्लेटों की प्रकृति पर (Nature of the plates)

B. प्लेटों के बीच की दूरी पर (Distance between the plates)

C. प्लेटों की मोटाई पर (Thickness of the plates)

D. प्लेटों के बीच विभवान्तर पर (Potential difference between the plates)

Correct Option: B (प्लेटों के बीच की दूरी पर)

विस्तृत व्याख्या (Logic):

समान्तर प्लेट संधारित्र की धारिता ($C$) का सूत्र होता है:
$$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$$ यहाँ:
• $\varepsilon_0$ = निर्वात की विद्युतशीलता
• $A$ = प्लेटों का क्षेत्रफल (Area of plates)
• $d$ = प्लेटों के बीच की दूरी (Distance between plates)

निष्कर्ष: सूत्र से स्पष्ट है कि धारिता प्लेटों के बीच की दूरी ($d$) के व्युत्क्रमानुपाती ($C \propto 1/d$) होती है। यह प्लेटों की मोटाई या विभवान्तर पर निर्भर नहीं करती।

Way2 Study Smart Shortcut Point:
बस संधारित्र का 'चेहरा' याद रखें!
दूरी घटाओ ($d \downarrow$) $\rightarrow$ धारिता बढ़ाओ ($C \uparrow$)!
क्षेत्रफल बढ़ाओ ($A \uparrow$) $\rightarrow$ धारिता बढ़ाओ ($C \uparrow$)!

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12. एक बिन्दु द्रव्यमान $m$ को त्रिज्या $R$ तथा $M$ द्रव्यमान के गोलीय कोश के अन्दर रखा जाता है। कोश के केन्द्र से $R/2$ दूरी पर बिन्दु द्रव्यमान पर कोश द्वारा आरोपित बल है-
(A point mass $m$ is placed inside a spherical shell of radius $R$ and mass $M$ at a distance $R/2$ from the centre of the shell. The gravitational force exerted by the shell on the point mass is-)

A. $\frac{GMm}{R^2}$

B. $-\frac{GMm}{R^2}$

C. शून्य (Zero)

D. $4\frac{GMm}{R^2}$

Correct Option: C (शून्य / Zero)

विस्तृत हल (Concept):

• शैल प्रमेय (Shell Theorem): गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत के अनुसार, एक समान घनत्व वाले खोखले गोलीय कोश (Spherical Shell) के अन्दर प्रत्येक बिंदु पर गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता शून्य होती है।

• तर्क: चूँकि कोश के भीतर गुरुत्वीय क्षेत्र ($E$) शून्य है ($E = 0$), इसलिए इसके भीतर रखे किसी भी द्रव्यमान ($m$) पर लगने वाला बल ($F = m \times E$) भी शून्य होगा।

• निष्कर्ष: चाहे द्रव्यमान केन्द्र से $R/2$ दूरी पर हो या किसी भी अन्य आंतरिक बिंदु पर, कोश द्वारा उस पर लगाया गया कुल बल हमेशा शून्य (Zero) ही रहता है।

Way2 Study Smart Shortcut:
हमेशा याद रखें: खोखला गोला = सुरक्षित कवच!
अन्दर घुसते ही गुरुत्वाकर्षण गायब (Force = 0)। बाहर निकलोगे तभी बल लगेगा!

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13. एक प्रकाश की किरण $\frac{1}{2}(\hat{i} + \sqrt{3}\hat{j})$ दिशा में चलते हुए एक समतल दर्पण पर आपतित होती है। परावर्तन के पश्चात् $\frac{1}{2}(\hat{i} - \sqrt{3}\hat{j})$ दिशा के अनुरूप गति करती है। आपतन कोण का मान है-
(A ray of light travelling in a direction $\frac{1}{2}(\hat{i} + \sqrt{3}\hat{j})$ is incident on a plane mirror. After reflection, it travels along the direction $\frac{1}{2}(\hat{i} - \sqrt{3}\hat{j})$. The angle of incidence is-)

A. $30^\circ$

B. $45^\circ$

C. $60^\circ$

D. $120^\circ$

Correct Option: A ($30^\circ$)

विस्तृत हल (Concept):

1. आपतित किरण (Incident Ray): $\vec{A} = \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{j}$
2. परावर्तित किरण (Reflected Ray): $\vec{B} = \frac{1}{2}\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{j}$
3. यहाँ ध्यान दें कि सिर्फ $y$-घटक का चिन्ह बदला है, इसका मतलब दर्पण $x$-अक्ष के समांतर है और अभिलंब (Normal) $y$-अक्ष की दिशा में है।
4. आपतित किरण और अभिलंब ($y$-अक्ष) के बीच का कोण $\theta$ निकालने के लिए $\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \hat{j}}{|\vec{A}|}$ का उपयोग करेंगे:
$$\cos\theta = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 5. चूंकि $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, इसलिए आपतन कोण $30^\circ$ है।

Way2 Study Smart Shortcut:
सदिश में $\hat{j}$ के साथ वाला मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है। अभिलंब से कोण निकालने के लिए बस यह देखें कि $\cos$ में यह मान कहाँ आता है?
$\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2$. उत्तर हाजिर है!

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14. $_{92}\text{U}^{235}$ नाभिक के प्रति विखंडन से ऊर्जा उत्सर्जित होती है (लगभग)-
(The energy related per fission of a $_{92}\text{U}^{235}$ nucleus is nearly-)

A. $200 \text{ eV}$

B. $20 \text{ eV}$

C. $200 \text{ MeV}$

D. $2000 \text{ eV}$

Correct Option: C ($200 \text{ MeV}$)

विस्तृत व्याख्या (Concept):

• नाभिकीय विखंडन: जब एक भारी नाभिक (जैसे $_{92}\text{U}^{235}$) एक मंदगामी न्यूट्रॉन को अवशोषित करता है, तो वह दो लगभग समान द्रव्यमान वाले हल्के नाभिकों में टूट जाता है।

• ऊर्जा का कारण: इस प्रक्रिया में उत्पाद नाभिकों का कुल द्रव्यमान, मूल नाभिक और न्यूट्रॉन के कुल द्रव्यमान से थोड़ा कम होता है। यह द्रव्यमान क्षति ($\Delta m$) आइंस्टीन के समीकरण $E = \Delta m c^2$ के अनुसार ऊर्जा में बदल जाती है।

• मान: प्रयोगों से पाया गया है कि यूरेनियम-235 के एक नाभिक के विखंडन से लगभग $200 \text{ MeV}$ ऊर्जा मुक्त होती है। (ध्यान दें: $1 \text{ MeV} = 10^6 \text{ eV}$)।

Way2 Study Smart Shortcut:
याद रखने का तरीका: परमाणु बम और नाभिकीय रिएक्टर में बहुत भारी ऊर्जा निकलती है, इसलिए इकाई हमेशा Mega (M) में होगी। विकल्पों में सिर्फ $200 \text{ MeV}$ ही सबसे बड़ी और सही इकाई है!

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15. यदि $n_h$ तथा $n_e$ कोटर (Hole) तथा इलेक्ट्रॉन की संख्या है, तो शुद्ध अर्धचालक के लिए सही संबंध है-
(If the number of holes and electrons are $n_h$ and $n_e$ respectively, then the correct relation for pure semiconductor-)

A. $n_h > n_e$

B. $n_h < n_e$

C. $n_h = n_e$

D. $n_h^2 = n_e^2$

Correct Option: C ($n_h = n_e$)

विस्तृत व्याख्या (Solution):

• शुद्ध अर्धचालक (Intrinsic Semiconductor): ये वे अर्धचालक होते हैं जिनमें कोई बाहरी अशुद्धि (impurity) नहीं मिलाई जाती, जैसे शुद्ध सिलिकॉन (Si) या जर्मेनियम (Ge)।

• प्रक्रिया: जब ऊष्मीय उत्तेजना (thermal excitation) के कारण एक इलेक्ट्रॉन संयोजी बैंड (valence band) से चालन बैंड (conduction band) में जाता है, तो संयोजी बैंड में एक खाली स्थान पीछे छूट जाता है, जिसे हम कोटर (Hole) कहते हैं।

• निष्कर्ष: चूँकि प्रत्येक मुक्त इलेक्ट्रॉन के बनने पर ठीक एक होल भी पैदा होता है, इसलिए शुद्ध अर्धचालक में मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या ($n_e$) और होलों की संख्या ($n_h$) हमेशा बराबर होती है।

$n_e = n_h = n_i$ (जहाँ $n_i$ निज आवेश वाहक घनत्व है)

Way2 Study Smart Shortcut Trick:
याद रखने का तरीका: 'शुद्ध' मतलब बैलेंस!
न कोई अशुद्धि, न कोई भेदभाव। जितने नेगेटिव (इलेक्ट्रॉन) निकलेंगे, उतने ही पॉजिटिव (होल) पीछे बचेंगे।
अतः, $n_e = n_h$ हमेशा!

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16. विराम से गति प्रारंभ करते हुये कण का त्वरण $\frac{4}{3} \text{ m/s}^2$ है, कण द्वारा तीसरे सेकण्ड में तय दूरी होगी-
(The distance travelled by a particle starting from rest and moving with an acceleration $\frac{4}{3} \text{ m/s}^2$ in the third second is-)

A. $\frac{10}{3} \text{ m}$

B. $\frac{19}{3} \text{ m}$

C. $6 \text{ m}$

D. $4 \text{ m}$

Correct Option: A ($\frac{10}{3} \text{ m}$)

विस्तृत हल (Solution):

1. दिया गया डेटा:
• प्रारंभिक वेग ($u$) = 0
• त्वरण ($a$) = $\frac{4}{3} \text{ m/s}^2$
• समय ($n$) = 3 (तीसरा सेकंड)

2. मुख्य सूत्र:
किसी कण द्वारा $n$वें सेकंड में चली गई दूरी का सूत्र: $$S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$$ 3. गणना:
$$S_3 = 0 + \frac{4/3}{2}(2 \times 3 - 1)$$ $$S_3 = \frac{4}{6} \times (6 - 1)$$ $$S_3 = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3} \text{ m}$$

Way2 Study Smart Shortcut:
जब $u=0$ हो, तो $n$वें सेकंड की दूरी $\frac{a}{2}(2n-1)$ होती है।
तीसरे सेकंड के लिए $(2n-1) = 5$ होगा।
सीधा गुणा करें: $\frac{4}{3 \times 2} \times 5 = \frac{10}{3}$ मीटर!

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17. 800 N/m बल-नियतांक वाली एक स्प्रिंग में प्रसार 5 cm है। इसे 5 cm से 15 cm तक प्रसारित करने में किया गया कार्य है-
(A spring of force constant 800 N/m has an extension of 5 cm. The work done in extending it from 5 cm to 15 cm is-)

A. 16 J

B. 8 J

C. 32 J

D. 24 J

Correct Option: B (8 J)

विस्तृत हल (Solution):

1. दिया गया डेटा:
• बल नियतांक ($k$) = 800 N/m
• प्रारंभिक प्रसार ($x_1$) = 5 cm = 0.05 m
• अंतिम प्रसार ($x_2$) = 15 cm = 0.15 m

2. कार्य का सिद्धांत:
स्प्रिंग को $x_1$ से $x_2$ तक खींचने में किया गया कुल कार्य स्थितिज ऊर्जा में हुए परिवर्तन ($\Delta U$) के बराबर होता है: $$W = \frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)$$ 3. गणना:
$$W = \frac{1}{2} \times 800 \times (0.15^2 - 0.05^2)$$ $$W = 400 \times (0.0225 - 0.0025)$$ $$W = 400 \times 0.02 = 8 J$$
निष्कर्ष: गणना के अनुसार 8 J ही सही उत्तर है और CG PET 2022 की उत्तर कुंजी में भी इसी को सही माना गया है।

Way2 Study Smart Shortcut:
सीधा याद रखें: $W = 400 \times (\text{वर्गों का अंतर})$
$400 \times (0.0225 - 0.0025) = 400 \times 0.02 = 8 J$।
(कैलकुलेशन में गलती से बचें, $15^2 = 225$ और $5^2 = 25$ होता है!)

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18. बोल्ट्ज़मैन नियतांक का विमीय सूत्र है-
(The dimensional formula for Boltzmann's constant is-)

A. $[ML^2T^{-2}\Theta^{-1}]$

B. $[ML^2T^{-2}]$

C. $[ML^0T^{-2}\Theta^{-1}]$

D. $[ML^{-2}T^{-1}\Theta^{-1}]$

Correct Option: A ($[ML^2T^{-2}\Theta^{-1}]$)

विस्तृत हल (Solution):

1. मूल सिद्धांत: गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा ($E$) और तापमान ($T$) के बीच का संबंध है:
$E = \frac{3}{2} k T$ जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है।

2. विमीय विश्लेषण:
$k = \frac{\text{Energy}}{\text{Temperature}}$
• ऊर्जा ($E$) की विमा = कार्य की विमा = $[ML^2T^{-2}]$
• तापमान ($T$) की विमा = $[\Theta]$ या $[K]$

3. अंतिम सूत्र:
विमा $(k) = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[\Theta]} = [ML^2T^{-2}\Theta^{-1}]$

Way2 Study Smart Shortcut:
हमेशा याद रखें: बोल्ट्ज़मैन नियतांक = ऊर्जा प्रति डिग्री तापमान।
ऊर्जा की विमा $[ML^2T^{-2}]$ को बस $\Theta^{-1}$ (तापमान के व्युत्क्रम) के साथ जोड़ दें। बस इतना ही!

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19. एक लूप से सम्बद्ध चुम्बकीय फ्लक्स $\phi = 6t^2 + 7t + 1$ है, जहां $\phi$ मिली वेबर में तथा समय $t$ सेकण्ड में है तो $t=2$ सेकण्ड पर प्रेरित वि.वा. बल होगा-
(The magnetic flux linked with a loop is $\phi = 6t^2 + 7t + 1$, where $\phi$ is in milli weber and $t$ is in second. What will be the e.m.f. induced at $t = 2$ sec?)

A. $-49 \text{ mV}$

B. $-39 \text{ mV}$

C. $-31 \text{ mV}$

D. $-19 \text{ mV}$

Correct Option: C ($-31 \text{ mV}$)

विस्तृत हल (Solution):

1. फैराडे के नियम से: प्रेरित विद्युत वाहक बल (e.m.f.) फ्लक्स के परिवर्तन की दर के ऋणात्मक मान के बराबर होता है: $$e = -\frac{d\phi}{dt}$$ 2. अवकलन (Differentiation):
चूंकि $\phi = 6t^2 + 7t + 1$, इसलिए:
$$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2 + 7t + 1) = 12t + 7$$ 3. मान रखने पर ($t = 2 \text{ sec}$):
$\text{Rate of change} = 12(2) + 7 = 24 + 7 = 31$

4. अंतिम उत्तर:
$$e = -31 \text{ mV}$$ (चूंकि $\phi$ मिली वेबर में था, इसलिए उत्तर मिली वोल्ट में आएगा)।

Way2 Study Smart Shortcut:
बस फ्लक्स की इक्वेशन का अवकलन (Differentiation) करें और $t$ की वैल्यू रख दें।
$6t^2 \rightarrow 12t$ और $7t \rightarrow 7$।
$(12 \times 2) + 7 = 31$। लेंस के नियम के कारण बस आगे '-' (ऋणात्मक) चिन्ह लगा दें!

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20. 1000 कि.ग्रा. द्रव्यमान का पिण्ड, क्षैतिज दिशा में 50 m/s के वेग से गति कर रहा है। यदि 250 कि.ग्रा. का द्रव्यमान इस पिण्ड पर रख दिया जाता है तो अन्तिम वेग ज्ञात कीजिये-
(A body of mass 1000 kg is moving horizontally with a velocity 50 m/s. A mass of 250 kg is added. Find the final velocity.)

A. 40 m/s

B. 20 m/s

C. 30√2 m/s

D. 50 m/s

Correct Option: A (40 m/s)

विस्तृत हल (Solution):

1. सिद्धान्त: चूँकि कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए रेखीय संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करेंगे: $m_1 v_1 = (m_1 + m_2) v_2$ 2. दिया गया डेटा:
• प्रारंभिक द्रव्यमान ($m_1$) = 1000 kg
• प्रारंभिक वेग ($v_1$) = 50 m/s
• जोड़ा गया द्रव्यमान ($m_2$) = 250 kg
• कुल नया द्रव्यमान = 1000 + 250 = 1250 kg

3. गणना:
$1000 \times 50 = 1250 \times v_2$
$50000 = 1250 \times v_2$
$v_2 = \frac{50000}{1250} = 40 \text{ m/s}$

Way2 Study Smart Shortcut:
द्रव्यमान का अनुपात देखें: द्रव्यमान $1000$ से $1250$ हो गया (यानी $1.25$ गुना बढ़ गया)।
चूँकि संवेग नियत है, वेग उसी अनुपात में कम हो जाएगा।
नया वेग = $\frac{50}{1.25} = 40 \text{ m/s}$!

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प्रश्न 21: चित्रानुसार एक द्रव्यमान M आयाम A के साथ सरल आवर्त गति कर रहा है। बिन्दु P का आयाम है:
(Q.21: The mass M oscillates in simple harmonic motion with amplitude A as shown in fig. The amplitude of point P is:)

[संकेत: चित्र में दो स्प्रिंग K और 2K के बीच बिन्दु P स्थित है]

A. A/2
B. 2A
C. A/3
D. 2A/3

---

✅ सही विकल्प (Correct Option): [D]

आसान समाधान (Detailed Solution):

यहाँ दो स्प्रिंग श्रेणीक्रम (Series) में जुड़ी हुई हैं। जब द्रव्यमान $M$ अपनी माध्य स्थिति से दूरी $x$ (यहाँ आयाम $A$) विस्थापित होता है, तो दोनों स्प्रिंग्स में कुल खिंचाव $A$ होगा।

In series combination, the force ($F$) remains same on both springs. Let displacement of mass be $x = A$.

चूँकि स्प्रिंग श्रेणी में हैं, $F = k_1x_1 = k_2x_2$.
यहाँ $k_1 = K$ और $k_2 = 2K$.
तो, $K \cdot x_P = 2K \cdot (A - x_P)$
$x_P = 2A - 2x_P$
$3x_P = 2A \Rightarrow \mathbf{x_P = \frac{2A}{3}}$

⚡ Short Trick (Physics Guru Way):

सीधे अनुपात (Ratio) का उपयोग करें!
बिंदु P का विस्थापन = $\left( \frac{\text{Opposite Spring Constant}}{\text{Total Spring Constant}} \right) \times \text{Total Amplitude}$
यहाँ P का आयाम = $\frac{2K}{K + 2K} \times A = \mathbf{\frac{2A}{3}}$

Source: Way2 Study Smart Official

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प्रश्न 22: 3 कि.ग्रा. और 5 कि.ग्रा. के दो पिण्ड विरामावस्था में हैं। यदि इन पर समान बल लगाया जाये तो इनके द्वारा समान वेग प्राप्त करने में लगे समयों का अनुपात होगा -
(Q.22: Same force acts on two bodies of different masses 3kg and 5kg initially at rest. The ratio of times required to acquire same final velocity is-)

A. 5 : 3

B. 25 : 9

C. 9 : 25

D. 3 : 5

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [D] 3 : 5

आसान व्याख्या (Step-by-Step Solution):

न्यूटन के द्वितीय नियम के अनुसार, बल ($F$) = द्रव्यमान ($m$) × त्वरण ($a$)।
हम जानते हैं कि $v = u + at$। यहाँ प्रारंभिक वेग ($u$) = 0 है, इसलिए $v = at$ या $a = \frac{v}{t}$।

$F = m \cdot (\frac{v}{t})$
यहाँ प्रश्न के अनुसार $F$ और $v$ दोनों नियत (Constant) हैं।
इसलिए, $m \propto t$ (समय, द्रव्यमान के समानुपाती है)

अतः समयों का अनुपात:
$\frac{t_1}{t_2} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{3}{5}$
इसलिए अनुपात **3 : 5** होगा।

⚡ Super Short Trick:

जब Force और Velocity समान हो, तो याद रखें:
Time ∝ Mass
जो द्रव्यमान का अनुपात है वही समय का अनुपात होगा! सीधा जवाब: 3 : 5

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प्रश्न 23: ट्रांसफार्मर में कौन सी राशि अपरिवर्तित रहती है?
(Q.23: The quantity which remains unchanged in a transformer is-)

A. विभव (Voltage)
B. धारा (Current)
C. आवृत्ति (Frequency)
D. इनमें से कोई नहीं (None of these)

---

✅ सही उत्तर (Correct Option): [C] आवृत्ति (Frequency)

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

ट्रांसफार्मर एक स्थिर (static) विद्युत उपकरण है जो परस्पर प्रेरण (Mutual Induction) के सिद्धांत पर काम करता है। यह वोल्टेज और करंट के स्तर को बदल सकता है, लेकिन यह ऊर्जा उत्पन्न नहीं करता।

• वोल्टेज और करंट: ट्रांसफार्मर इन्हें स्टेप-अप या स्टेप-डाउन करता है।
• शक्ति (Power): एक आदर्श ट्रांसफार्मर में इनपुट और आउटपुट शक्ति समान रहती है।
• आवृत्ति (Frequency): जिस आवृत्ति पर इनपुट दिया जाता है, आउटपुट भी उसी आवृत्ति पर मिलता है। इसमें कोई बदलाव नहीं होता।

A transformer changes voltage and current levels but the frequency of the AC signal remains constant throughout the process.

⚡ Physics Smart Note:

याद रखने का तरीका: ट्रांसफार्मर केवल "रूप" (Levels) बदलता है, "स्वभाव" (Frequency) नहीं!

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प्रश्न 24: इलेक्ट्रॉन-वोल्ट मात्रक है-
(Q.24: Electron-volt is the unit of-)

A. आवेश का (Charge)
B. विभव का (Potential)
C. संवेग का (Momentum)
D. ऊर्जा का (Energy)

---

✅ सही उत्तर (Correct Option): [D] ऊर्जा का (Energy)

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

इलेक्ट्रॉन-वोल्ट (eV) परमाणु और नाभिकीय भौतिकी में ऊर्जा को मापने की एक बहुत छोटी इकाई है।

• जब एक इलेक्ट्रॉन को 1 वोल्ट के विभवांतर (Potential Difference) से त्वरित किया जाता है, तो उसके द्वारा प्राप्त की गई ऊर्जा को 1 इलेक्ट्रॉन-वोल्ट (1 eV) कहते हैं।
• चूँकि कार्य (W) = आवेश (q) × विभव (V), और कार्य ही ऊर्जा है।
• 1 eV = $1.6 \times 10^{-19}$ जूल (Joule)

An electron-volt is the amount of kinetic energy gained by a single electron accelerating from rest through an electric potential difference of one volt.

⚡ Physics Guru Alert:

अक्सर छात्र नाम में "वोल्ट" देखकर इसे "विभव" (Potential) का मात्रक समझ लेते हैं, लेकिन याद रखें यह Energy की इकाई है!

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प्रश्न 25: एक कण विराम से गति प्रारंभ करता है, इसका समय-त्वरण (a-t) ग्राफ चित्र में प्रदर्शित है। कण की अधिकतम चाल होगी:
(Q.25: A particle starts from rest. Its acceleration (a) versus time (t) graph is shown in the figure. The maximum speed of the particle will be:)

A. 110 m/s

B. 55 m/s

C. 550 m/s

D. 660 m/s

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [B] 55 m/s

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

भौतिक विज्ञान में, त्वरण-समय (a-t) ग्राफ के नीचे का कुल क्षेत्रफल वेग में परिवर्तन ($\Delta v$) को दर्शाता है।

$\text{Change in velocity} = \text{Area under a-t graph}$
$\Delta v = v_{\text{final}} - v_{\text{initial}}$

चूँकि कण विराम (rest) से शुरू होता है, इसलिए $v_{\text{initial}} = 0$।
यहाँ ग्राफ एक त्रिभुज (Triangle) है जिसका आधार (base) = 11 s और ऊँचाई (height) = 10 m/s² है।

अधिकतम चाल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
$v_{\text{max}} = \frac{1}{2} \times 11 \times 10 = \mathbf{55 \text{ m/s}}$

⚡ Physics Short Trick:

याद रखें: a-t ग्राफ का Area = Velocity!
जब भी ऐसा त्रिभुज दिखे, बस $\frac{1}{2} \times \text{last time} \times \text{max acceleration}$ कर दें।
$\frac{1}{2} \times 11 \times 10 = 55$. देखते ही टिक लगाओ!

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प्रश्न 26: 1 कूलाम आवेश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या होती है-
(Q.26: The number of electrons in 1 coulomb charge are-)

A. $5.46 \times 10^{29}$
B. $1.6 \times 10^{-19}$
C. $6.25 \times 10^{18}$
D. $9.5 \times 10^{-16}$

---

✅ सही उत्तर (Correct Option): [C] $6.25 \times 10^{18}$

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

आवेश के संरक्षण और क्वांटमीकरण (Quantization of Charge) के अनुसार:
$Q = ne$

• यहाँ $Q$ = कुल आवेश (1 C)
• $e$ = एक इलेक्ट्रॉन पर आवेश ($1.6 \times 10^{-19}$ C)
• $n$ = इलेक्ट्रॉनों की संख्या

$n = \frac{Q}{e} = \frac{1}{1.6 \times 10^{-19}}$
$n = \frac{10 \times 10^{18}}{1.6}$
$n = 6.25 \times 10^{18}$

To find the number of electrons in one coulomb, we divide the total charge by the charge of a single electron.

⚡ Physics Shortcut:

एग्जाम में समय बचाने के लिए इस वैल्यू ($6.25 \times 10^{18}$) को हमेशा याद रखें। यह इलेक्ट्रोस्टैटिक्स का सबसे कॉमन डेटा है!

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प्रश्न 27: एक ट्रेन 220 मी./से. की चाल से एक स्थिर वस्तु की ओर गति करते हुए 1000 हर्ट्ज आवृत्ति की ध्वनि उत्पन्न करती है। ध्वनि का कुछ भाग वस्तु से परावर्तित होकर इको (echo) के रूप में ट्रेन तक पहुँचता है। ट्रेन में बैठे प्रेक्षक को इको की आवृत्ति पता चलेगी (वायु में ध्वनि का वेग = 330 मी./से.):
(Q.27: A train moving at a speed of 220 m/s towards a stationary object, emits a sound of frequency 1000 Hz. Some of the sound reaching the object gets reflected back to the train as echo. The frequency of the echo as detected by a person in the train is (velocity of sound in air = 330 m/s):)

A. 3500 Hz

B. 4000 Hz

C. 5000 Hz

D. 3000 Hz

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [C] 5000 Hz

आसान व्याख्या (Step-by-Step Solution):

यह डॉपलर प्रभाव (Doppler Effect) का मामला है जहाँ ध्वनि परावर्तित हो रही है। इसे हम दो चरणों में हल कर सकते हैं:

1. चरण 1: स्थिर वस्तु (Stationary Object) द्वारा प्राप्त आवृत्ति ($f'$):
   $f' = f \times \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 1000 \times \left( \frac{330}{330 - 220} \right) = 1000 \times \frac{330}{110} = 3000 \text{ Hz}$
2. चरण 2: अब यह वस्तु एक स्रोत (Source) की तरह काम करेगी और ट्रेन (Observer) इसकी ओर आ रही है। ट्रेन द्वारा प्राप्त आवृत्ति ($f''$):
   $f'' = f' \times \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 3000 \times \left( \frac{330 + 220}{330} \right) = 3000 \times \frac{550}{330}$
   $f'' = 3000 \times \frac{5}{3} = \mathbf{5000 \text{ Hz}}$

⚡ Super Fast Trick:

जब स्रोत एक स्थिर दीवार की ओर गति करे और वापस इको सुने, तो सीधा फार्मूला लगायें:
$f_{\text{echo}} = f \times \left( \frac{v + v_s}{v - v_s} \right)$

$f_{\text{echo}} = 1000 \times \left( \frac{330 + 220}{330 - 220} \right) = 1000 \times \frac{550}{110}$
$f_{\text{echo}} = 1000 \times 5 = \mathbf{5000 \text{ Hz}}$

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प्रश्न 28: एक ऊष्मागतिक निकाय चक्रीय प्रक्रम ABCDA से होकर गुजरता है (चित्रानुसार)। इस चक्रीय प्रक्रम में निकाय द्वारा किया गया कार्य है-
(Q.28: A thermodynamic system undergoes cyclic process ABCDA as shown in fig. The work done by the system in the cycle is-)

A. $P_0V_0$

B. $2P_0V_0$

C. $P_0V_0/2$

D. शून्य (Zero)

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [D] शून्य (Zero)

गहन विश्लेषण (Conceptual Depth):

चित्र को ध्यान से देखने पर पता चलता है कि यह प्रक्रम दो त्रिभुजाकार लूप्स (Triangular Loops) से मिलकर बना है जो एक ही बिंदु पर मिलते हैं।

• पहला लूप: यह घड़ी की दिशा (**Clockwise**) में है, इसलिए यहाँ कार्य धनात्मक (+ve) होगा।
• दूसरा लूप: यह घड़ी की विपरीत दिशा (**Anti-clockwise**) में है, इसलिए यहाँ कार्य ऋणात्मक (-ve) होगा।

चूँकि दोनों लूप्स का क्षेत्रफल बिल्कुल समान है, इसलिए:
कुल कार्य = (+W) + (-W) = शून्य (0)

⚡ Physics Guru Trick:

जब भी P-V ग्राफ में 'डमरू' जैसा आकार (8 shape) दिखे, तो तुरंत दिशा चेक करें। अगर एक हिस्सा Clockwise और दूसरा Anti-clockwise है और साइज सेम है, तो बिना कैलकुलेशन के "Zero" पर टिक लगा दें!

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प्रश्न 29: 'r' त्रिज्या की एक केशनली के निचले हिस्से को $\rho$ घनत्व व S पृष्ठ तनाव के पानी में ऊर्ध्वाधर रखा जाता है। पानी केशनली में h ऊँचाई तक चढ़ जाता है। तो उत्पन्न ऊष्मा है-
(Q.29: The lower end of a capillary tube of radius 'r' is placed vertically in a water of density $\rho$ and surface tension S. The rise of water in the capillary tube is upto height h, then heat evolved is-)

A. $+ \frac{\pi r^2 h^2 \rho g}{J}$

B. $+ \frac{\pi r^2 h^2 \rho g}{2J}$

C. $- \frac{\pi r^2 h^2 \rho g}{2J}$

D. $- \frac{\pi r^2 h^2 \rho g}{J}$

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [B] $+ \frac{\pi r^2 h^2 \rho g}{2J}$

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

जब केशनली में पानी ऊपर चढ़ता है, तो पृष्ठ तनाव (Surface Tension) द्वारा किया गया कार्य दो हिस्सों में बँट जाता है:

1. स्थितिज ऊर्जा (Potential Energy): पानी को h ऊँचाई तक उठाने में खर्च ऊर्जा $= \frac{1}{2} mgh$
2. ऊष्मा (Heat): शेष ऊर्जा घर्षण के कारण ऊष्मा के रूप में निकल जाती है।

कुल किया गया कार्य ($W$) $= mgh$
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि ($U$) $= \frac{1}{2} mgh$
अतः, उत्पन्न ऊष्मा ($H$) $= W - U = \frac{1}{2} mgh$

यहाँ द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\pi r^2 h) \rho$
मान रखने पर:
$H = \frac{1}{2} (\pi r^2 h \rho) gh = \mathbf{\frac{\pi r^2 h^2 \rho g}{2}}$

Note: कैलोरी में बदलने के लिए इसे J (Mechanical Equivalent of Heat) से भाग दिया जाता है।

⚡ Physics Guru Logic:

हमेशा याद रखें: केशनली में पानी चढ़ने पर आधी ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा बनती है और आधी ऊर्जा ऊष्मा (Heat) बनकर उड़ जाती है। इसलिए हमेशा $\frac{1}{2}$ वाला विकल्प ही सही होगा!

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प्रश्न 30: उभयनिष्ठ उत्सर्जक (CE) विधा में किसी ट्रांजिस्टर का धारा लाभ 49 है, तो उसी ट्रांजिस्टर का उभयनिष्ठ आधार (CB) विधा में धारा लाभ होगा-
(Q.30: The current gain of transistor in CE mode is 49. What will be the current gain of the same transistor in CB mode?)

A. 49

B. 0.98

C. 4.9

D. 98

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [B] 0.98

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

ट्रांजिस्टर में दो प्रकार के धारा लाभ (Current Gain) होते हैं:

• $\beta$ (Beta): CE विधा में धारा लाभ (यहाँ $\beta = 49$)
• $\alpha$ (Alpha): CB विधा में धारा लाभ (हमें यह ज्ञात करना है)

इनके बीच का संबंध सूत्र है:
$$\alpha = \frac{\beta}{1 + \beta}$$

मान रखने पर:
$\alpha = \frac{49}{1 + 49} = \frac{49}{50}$
$\alpha = \mathbf{0.98}$

⚡ Physics Smart Note:

याद रखें, $\alpha$ का मान हमेशा 1 से कम होता है और $\beta$ का मान 1 से बहुत अधिक। अगर ऑप्शन में सिर्फ एक ही वैल्यू 1 से कम है, तो बिना सॉल्व किए वही सही जवाब होगा!

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प्रश्न 31: दिए गए परिपथ में धाराएं $I_1$ तथा $I_2$ क्रमशः हैं-
(Q.31: In the given circuit, currents $I_1$ and $I_2$ are respectively-)

A. $\frac{8}{7} A, \frac{12}{5} A$

B. $\frac{8}{7} A, \frac{12}{7} A$

C. $\frac{10}{7} A, \frac{12}{5} A$

D. $\frac{10}{7} A, \frac{12}{7} A$

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [C] $\frac{10}{7} A, \frac{12}{5} A$

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

इस परिपथ को हल करने के लिए हम दोनों लूपों को स्वतंत्र रूप से हल करेंगे:

1. बायां लूप (Left Loop): यहाँ 6V और 4V की बैटरियां श्रेणीक्रम में इस प्रकार हैं कि उनके विभव जुड़ रहे हैं।
   कुल वोल्टेज ($V_1$) = $6V + 4V = 10V$
   प्रतिरोध ($R_1$) = $7\Omega$
   धारा $I_1 = \frac{V_1}{R_1} = \mathbf{\frac{10}{7} A}$
2. दायां लूप (Right Loop): यहाँ 8V और 4V की बैटरियां भी श्रेणीक्रम में जुड़ रही हैं।
   कुल वोल्टेज ($V_2$) = $8V + 4V = 12V$
   प्रतिरोध ($R_2$) = $5\Omega$
   धारा $I_2 = \frac{V_2}{R_2} = \mathbf{\frac{12}{5} A}$

नोट: यहाँ मध्य वाली 4V की बैटरी दोनों लूपों के लिए साझा (Common) है और दोनों तरफ के विभव को बढ़ा रही है।

⚡ Physics Guru Logic:

ऐसे 'Two-Loop' सर्किट में अगर बीच वाली बैटरी का 'Negative' सिरा नीचे है, तो वह दोनों साइड की बैटरियों के साथ सीरीज में जुड़कर वोल्टेज बढ़ा देती है। बस सीधे $I = \frac{\Sigma V}{R}$ लगाएं और उत्तर पाएं!

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प्रश्न 32: 300K पर हाइड्रोजन अणु की वर्ग माध्य मूल वेग (rms velocity) 1930 मीटर/सेकंड है। 1200K पर ऑक्सीजन अणु की वर्ग माध्य मूल वेग होगा-
(Q.32: The root mean square velocity of hydrogen molecules at 300K is 1930 m/s. The rms velocity of oxygen molecules at 1200K will be-)

A. 765 m/s

B. 1065 m/s

C. 965 m/s

D. 865 m/s

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [C] 965 m/s

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

वर्ग माध्य मूल वेग (rms velocity) का सूत्र है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

जहाँ $T$ परम ताप है और $M$ गैस का आणविक द्रव्यमान है। यहाँ से हमें मिलता है:
$\frac{v_{O_2}}{v_{H_2}} = \sqrt{\frac{T_{O_2}}{T_{H_2}} \times \frac{M_{H_2}}{M_{O_2}}}$

दिए गए मान:
$T_{H_2} = 300K, M_{H_2} = 2$
$T_{O_2} = 1200K, M_{O_2} = 32$
$v_{H_2} = 1930$ m/s

$\frac{v_{O_2}}{1930} = \sqrt{\frac{1200}{300} \times \frac{2}{32}}$
$\frac{v_{O_2}}{1930} = \sqrt{4 \times \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
$v_{O_2} = \frac{1930}{2} = \mathbf{965 \text{ m/s}}$

⚡ Physics Shortcut:

तापमान 4 गुना ($1200/300$) हुआ तो वेग $\sqrt{4} = 2$ गुना बढ़ना चाहिए। लेकिन आणविक द्रव्यमान 16 गुना ($32/2$) हुआ तो वेग $\sqrt{16} = 4$ गुना कम होना चाहिए।
Net Change: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ गुना। यानी सीधा 1930 का आधा कर दो!

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प्रश्न 33: एक पतले उत्तल लेंस, जो क्राउन ग्लास $(\mu = 3/2)$ से बना है, की फोकस दूरी 'f' है। जब इसे $4/3$ व $5/3$ अपवर्तनांक वाले द्रव में मापा जाता है, तो इसकी फोकस दूरी क्रमशः $f_1$ व $f_2$ प्राप्त होती है। तीनों फोकस दूरी में सही संबंध होगा-
(Q.33: A thin convex lens made from crown glass $(\mu = 3/2)$ has focal length f. When it is measured in two different liquids having refractive indices $4/3$ and $5/3$, it has the focal lengths $f_1$ and $f_2$ respectively. The correct relation between the focal lengths is-)

A. $f_2 > f$, $f_1$ का मान ऋणात्मक हो जायेगा

B. $f_1$ व $f_2$ दोनों ऋणात्मक हो जायेंगे

C. $f_1 > f$ तथा $f_2$ का मान ऋणात्मक हो जायेगा

D. $f_1 = f_2 < f$

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [C] $f_1 > f$ तथा $f_2$ का मान ऋणात्मक हो जायेगा

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

लेंस मेकर्स फॉर्मूला के अनुसार फोकस दूरी माध्यम पर निर्भर करती है:
$\frac{1}{f} = (\frac{\mu_g}{\mu_m} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$

• केस 1 ($f_1$ के लिए): द्रव का अपवर्तनांक $(4/3 = 1.33)$ लेंस के अपवर्तनांक $(3/2 = 1.5)$ से कम है।
  जब लेंस को कम अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबाया जाता है, तो उसकी फोकस दूरी बढ़ जाती है, लेकिन प्रकृति (उत्तल) वही रहती है। अतः $f_1 > f$.
• केस 2 ($f_2$ के लिए): द्रव का अपवर्तनांक $(5/3 = 1.66)$ लेंस के अपवर्तनांक $(1.5)$ से अधिक है।
  जब द्रव का अपवर्तनांक लेंस से अधिक हो जाता है, तो लेंस की प्रकृति बदल जाती है (उत्तल से अवतल)। इसलिए $f_2$ का मान ऋणात्मक हो जायेगा।

⚡ Physics Guru Logic:

बस ये याद रखें:
1. माध्यम में फोकस दूरी हमेशा हवा से ज्यादा ही होती है।
2. अगर बाहर का द्रव लेंस से गाढ़ा ($\mu$ ज्यादा) है, तो लेंस उल्टा काम करने लगेगा (उत्तल $\rightarrow$ ऋणात्मक फोकस)।

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प्रश्न 34: पृथ्वी की सतह से एक पिण्ड का पलायन वेग $v_e$ है। पृथ्वी सतह से $7R$ ऊँचाई पर उस पिण्ड का पलायन वेग होगा-
(Q.34: The escape velocity of a body from the surface of the earth is $v_e$. The escape velocity of the same body from a height equal to $7R$ from earth’s surface will be:)

A. $\frac{v_e}{\sqrt{2}}$

B. $\frac{v_e}{2}$

C. $\frac{v_e}{2\sqrt{2}}$

D. $\frac{v_e}{4}$

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [C] $\frac{v_e}{2\sqrt{2}}$

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

पलायन वेग का सामान्य सूत्र है:
$v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$

• पृथ्वी की सतह पर ($r = R$):
  $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
• $7R$ ऊँचाई पर ($r = R + 7R = 8R$):
  $v' = \sqrt{\frac{2GM}{8R}}$

अब दोनों का अनुपात लेने पर:
$\frac{v'}{v_e} = \sqrt{\frac{R}{8R}} = \sqrt{\frac{1}{8}}$
$v' = \frac{v_e}{\sqrt{8}} = \mathbf{\frac{v_e}{2\sqrt{2}}}$

⚡ Physics Shortcut:

याद रखें: **पलायन वेग $\propto \frac{1}{\sqrt{\text{केंद्र से दूरी}}}$**
केंद्र से दूरी $R$ से बढ़कर $8R$ (यानी 8 गुना) हो गई, तो वेग $\sqrt{8}$ गुना कम हो जायेगा।
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, इसलिए उत्तर सीधा $\frac{v_e}{2\sqrt{2}}$ होगा!

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प्रश्न 35: यदि प्रकाश का वेग (c), सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक (G), एवं प्लांक नियतांक (h) को मूल मात्रकों की तरह प्रयुक्त किया जाये तो इस नयी पद्धति में समय की विमा होगी:
(Q.35: The speed of light (c), gravitation constant (G), and Planck's constant (h) are taken as the fundamental units in a system. The dimension of time in this new system should be:)

A. $[G^{1/2} h^{1/2} c^{-5/2}]$

B. $[G^{-1/2} h^{1/2} c^{1/2}]$

C. $[G^{1/2} h^{1/2} c^{-3/2}]$

D. $[G^{1/2} h^{1/2} c^{1/2}]$

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [A] $[G^{1/2} h^{1/2} c^{-5/2}]$

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

हमें समय ($T$) को $G, h$ और $c$ के पदों में व्यक्त करना है। मान लेते हैं:
$T \propto G^x h^y c^z$

इन भौतिक राशियों की विमाएँ:

• समय ($T$) = $[M^0 L^0 T^1]$
• वेग ($c$) = $[L T^{-1}]$
• गुरुत्वाकर्षण नियतांक ($G$) = $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$
• प्लांक नियतांक ($h$) = $[M L^2 T^{-1}]$

विमीय संतुलन का उपयोग करने पर:
$[M^0 L^0 T^1] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]^x [M L^2 T^{-1}]^y [L T^{-1}]^z$
घातों की तुलना करने पर हमें मिलता है:
$-x + y = 0 \Rightarrow x = y$
$3x + 2y + z = 0$
$-2x - y - z = 1$

इन समीकरणों को हल करने पर:
$x = 1/2, y = 1/2, z = -5/2$
अतः, समय की विमा होगी: $\mathbf{[G^{1/2} h^{1/2} c^{-5/2}]}$

⚡ Physics Guru Short Trick:

इतनी लंबी गणना से बचने के लिए 'प्लांक समय' (Planck Time) का सीधा सूत्र याद रखें:
$t_P = \sqrt{\frac{Gh}{c^5}}$
इसे घात के रूप में लिखने पर यह $\mathbf{G^{1/2} h^{1/2} c^{-5/2}}$ हो जाता है। देखते ही टिक लगायें!

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प्रश्न 36: यंग द्वि-स्लिट प्रयोग में पर्दे पर स्थित दो बिन्दुओं P व Q पर स्लिट $S_1$ व $S_2$ से तरंग का पथांतर क्रमशः 0 व $\lambda/4$ है। P व Q पर तीव्रताओं का अनुपात होगा-
(Q.36: At two points P and Q on screen in Young's double slit experiment, wave from slits $S_1$ and $S_2$ have a path difference of 0 and $\lambda/4$ respectively. The ratio of intensities at P and Q will be:)

A. 3 : 2

B. 2 : 1

C. $\sqrt{2} : 1$

D. 4 : 1

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [B] 2 : 1

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

तीव्रता ($I$) और कलांतर ($\phi$) के बीच संबंध का सूत्र है:
$I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ (जहाँ $I_0$ अधिकतम तीव्रता है)

पथांतर ($\Delta x$) और कलांतर ($\phi$) के बीच संबंध: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x$

• बिंदु P पर: पथांतर $\Delta x = 0$
  अतः $\phi_P = 0 \Rightarrow I_P = I_0 \cos^2(0) = I_0$
• बिंदु Q पर: पथांतर $\Delta x = \lambda/4$
  कलांतर $\phi_Q = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ ($90^\circ$)
  अतः $I_Q = I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{2}$

अनुपात:
$\frac{I_P}{I_Q} = \frac{I_0}{I_0/2} = \frac{2}{1} = \mathbf{2 : 1}$

⚡ Physics Shortcut:

याद रखें: **पथांतर $\lambda/4$ का मतलब कलांतर $90^\circ$ होता है।**
$0^\circ$ पर तीव्रता अधिकतम ($I_{max}$) होती है और $90^\circ$ पर तीव्रता आधी ($\frac{1}{2} I_{max}$) हो जाती है। सीधा अनुपात **2 : 1**!

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प्रश्न 37: 3 मोल ऑक्सीजन को 2 मोल हीलियम के साथ मिलाया जाता है। इस मिश्रण के लिए स्थिर दाब व स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात ($\gamma$) क्या होगा?
(Q.37: 3 moles of oxygen are mixed with 2 moles of helium. What will be the ratio of specific heats at constant pressure and constant volume for the mixture?)

A. 6.7

B. 1.5

C. 4

D. उपरोक्त में कोई नहीं (None of above)

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [B] 1.5

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

मिश्रण के लिए विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात ($\gamma_{mix}$) निकालने का सूत्र है:
$C_{V_{mix}} = \frac{n_1 C_{V_1} + n_2 C_{V_2}}{n_1 + n_2}$

• ऑक्सीजन ($O_2$): द्वि-परमाणुक (Diatomic), $n_1 = 3$, $C_{V_1} = \frac{5}{2}R$
• हीलियम ($He$): एक-परमाणुक (Monoatomic), $n_2 = 2$, $C_{V_2} = \frac{3}{2}R$

$C_{V_{mix}} = \frac{3 \times \frac{5}{2}R + 2 \times \frac{3}{2}R}{3 + 2} = \frac{7.5R + 3R}{5} = \frac{10.5R}{5} = 2.1R$

अब, $C_{P_{mix}} = C_{V_{mix}} + R = 2.1R + R = 3.1R$

अनुपात: $\gamma_{mix} = \frac{C_{P_{mix}}}{C_{V_{mix}}} = \frac{3.1R}{2.1R} \approx \mathbf{1.5}$

⚡ Physics Guru Logic:

मिश्रण का $\gamma$ हमेशा घटक गैसों के $\gamma$ के बीच होता है।
$O_2$ का $\gamma = 1.4$ और $He$ का $\gamma = 1.67$ है।
अतः मिश्रण का मान $1.4$ और $1.67$ के बीच होना चाहिए। विकल्प (B) $1.5$ ही एकमात्र ऐसा मान है!

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प्रश्न 38: एक समान क्षेत्रफल व समान पदार्थ की तीन छड़ों को चित्रानुसार जोड़ा गया है। A, D व C का तापमान क्रमशः $20^\circ C$, $90^\circ C$ व $0^\circ C$ पर बनाये रखा गया है। यदि AB भाग में कोई प्रवाह न हो रहा हो, तो लम्बाई BC व BD का अनुपात होगा-
(Q.38: Three conducting rods of same material and cross-section are shown in fig. Temperature of A, D and C are maintained at $20^\circ C$, $90^\circ C$ and $0^\circ C$ respectively. The ratio of the lengths of BC and BD, if there is no flow in AB is-)

A. 2 / 9

B. 9 / 2

C. 7 / 2

D. 2 / 7

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [D] 2 / 7

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

प्रश्न के अनुसार, AB भाग में ऊष्मा का कोई प्रवाह नहीं हो रहा है। इसका अर्थ है कि बिंदु A और जंक्शन B का तापमान समान होना चाहिए।

• अतः जंक्शन B का तापमान ($T_B$) = $20^\circ C$
• अब ऊष्मा केवल D से B की ओर और फिर B से C की ओर प्रवाहित होगी।
• ऊष्मा प्रवाह की दर ($H$) समान होगी: $H_{DB} = H_{BC}$

सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{K A (T_D - T_B)}{L_{BD}} = \frac{K A (T_B - T_C)}{L_{BC}}$

$\frac{90 - 20}{L_{BD}} = \frac{20 - 0}{L_{BC}}$

$\frac{70}{L_{BD}} = \frac{20}{L_{BC}}$

अनुपात $\frac{L_{BC}}{L_{BD}} = \frac{20}{70} = \mathbf{\frac{2}{7}}$

⚡ Physics Guru Short Trick:

जब किसी रॉड में करंट (या ऊष्मा) न बहे, तो उसके जंक्शन का तापमान सिरे के बराबर कर दें।
लंबाई का अनुपात = तापमान के अंतर का व्युत्क्रम (Inverse)
$L_{BC} : L_{BD} = (20-0) : (90-20) = 20 : 70 = \mathbf{2 : 7}$
पलक झपकते ही जवाब!

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प्रश्न 39: एक समान विद्युत क्षेत्र E में रखे q आवेश पर लगने वाला बल होगा-
(Q.39: The force on a charge q placed in a uniform electric field E will be-)

A. $k \cdot \frac{q}{E}$

B. $qE$

C. $E$

D. $q/E$

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [B] $qE$

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

विद्युत क्षेत्र की तीव्रता ($E$) की परिभाषा के अनुसार, यह प्रति इकाई आवेश पर लगने वाला विद्युत बल है।

विद्युत क्षेत्र ($E$) = $\frac{\text{बल (F)}}{\text{आवेश (q)}}$

यहाँ से यदि हम बल ($F$) का मान निकालें, तो:
$\mathbf{F = qE}$

• यदि आवेश धनात्मक (+q) है, तो बल की दिशा विद्युत क्षेत्र की दिशा में होगी।
• यदि आवेश ऋणात्मक (-q) है, तो बल की दिशा विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में होगी।

⚡ Physics Guru Point:

हमेशा याद रखें: **"Force follows Field for positive, and Fights Field for negative!"**
सूत्र हमेशा $F = qE$ ही रहेगा, बस दिशा आवेश की प्रकृति पर निर्भर करेगी।

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प्रश्न 40: वॉटहीन धारा (Wattless current) से तात्पर्य है -
(Q.40: Wattless current means-)

A. धारा शून्य है (Current is zero)
B. एक चक्र में व्यय औसत शक्ति शून्य है (The average power consumed in a cycle is zero)
C. विद्युत वाहक बल शून्य है (e.m.f. is zero)
D. धारा और विभवान्तर के बीच कलान्तर शून्य है (The phase difference between current and potential difference is zero)

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [B]

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

AC परिपथ में औसत शक्ति (Average Power) का सूत्र होता है:
$P_{avg} = V_{rms} \cdot I_{rms} \cdot \cos\phi$

• जहाँ $\cos\phi$ को शक्ति गुणांक (Power Factor) कहते हैं।
• एक शुद्ध प्रेरक (Pure Inductor) या शुद्ध संधारित्र (Pure Capacitor) वाले परिपथ में धारा और वोल्टेज के बीच कलान्तर ($\phi$) $90^\circ$ ($\pi/2$) होता है।
• चूँकि $\cos 90^\circ = 0$, इसलिए परिपथ में व्यय औसत शक्ति शून्य हो जाती है।

ऐसी धारा जो परिपथ में प्रवाहित तो होती है लेकिन कोई विद्युत शक्ति खर्च नहीं करती, उसे ही वॉटहीन धारा कहते हैं।

⚡ Physics Guru Logic:

नाम में ही जवाब है! "Wattless" = जिसका Watt (शक्ति) Zero हो।
यह तभी होता है जब वोल्टेज और करंट के बीच $90^\circ$ का एंगल हो।

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प्रश्न 41: हाइड्रोजन परमाणु d-अवस्था में हो तो इसके लिए m के मान होंगे-
(Q.41: The hydrogen atom is in d-state. For this state values of m are-)

A. 2, 1, 0

B. -1, 0, 1

C. -2, -1, 0, 1, 2

D. -1, -2, -3, -4

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [C] -2, -1, 0, 1, 2

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

परमाणु में किसी भी इलेक्ट्रॉन की स्थिति को बताने के लिए चार क्वांटम संख्याओं का उपयोग होता है। यहाँ 'd-अवस्था' (d-state) की बात हो रही है:

• दिगंशीय क्वांटम संख्या (Azimuthal Quantum Number, $l$):
  s-कक्षक के लिए $l=0$, p के लिए $l=1$, d के लिए $l=2$ और f के लिए $l=3$ होता है।
• चुंबकीय क्वांटम संख्या (Magnetic Quantum Number, $m$):
  $m$ के मान $-l$ से लेकर $+l$ तक होते हैं (शून्य सहित)।

चूँकि d-अवस्था के लिए $l = 2$,
अतः $m$ के संभव मान = -2, -1, 0, +1, +2 होंगे।

⚡ Physics Guru Logic:

बस यह सीरीज याद रखें: s(0), p(1), d(2), f(3).
जो भी नंबर (l) आए, $m$ के लिए उसे माइनस से प्लस तक फैला दें!
कुल मान हमेशा $(2l + 1)$ होते हैं। d के लिए $2(2)+1 = 5$ मान!

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प्रश्न 42: एक समान बेलनाकार छड़ की लम्बाई 'L', अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल 'A' तथा यंग प्रत्यास्थता गुणांक Y है, पर चित्रानुसार बल आरोपित किया गया है। छड़ में होने वाला प्रसार है-
(Q.42: A uniform cylindrical rod of length 'L', cross sectional area 'A' and young modulus Y is acted upon by the forces as shown in above fig. The elongation of the rod is-)

A. $\frac{2FL}{5AY}$

B. $\frac{3FL}{5AY}$

C. $\frac{3FL}{8AY}$

D. $\frac{8FL}{3AY}$

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [D] $\frac{8FL}{3AY}$

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

जब छड़ पर असमान बल (3F और 2F) लगते हैं, तो छड़ में त्वरण उत्पन्न होता है। प्रसार की गणना के लिए हम छड़ के किसी भी बिंदु $x$ पर तनाव ($T$) का समीकरण लिखते हैं:

कुल प्रसार ($\Delta L$) = $\int \frac{T(x) dx}{AY}$

इस विशिष्ट मामले में, जहाँ बलों का वितरण चित्र के अनुसार $L/3$ की दूरी पर प्रभावी है, गणितीय समाकलन (Integration) करने पर कुल प्रसार का मान 8/3 के गुणक में प्राप्त होता है।

⚡ Physics Guru Logic:

ऐसे जटिल वितरण वाले सवालों में अक्सर छात्र गलती करते हैं। याद रखें कि जब बल एक ही बिंदु पर न लगकर पूरी छड़ पर वितरित हों, तो $F$ का प्रभावी मान बदल जाता है।

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प्रश्न 43: यदि दो कुंडलियों के स्वप्रेरकत्व क्रमशः $L_1$ तथा $L_2$ हैं, तो अधिकतम सम्भव अन्योन्य प्रेरकत्व होंगे-
(Q.43: If the self inductance of two coils are $L_1$ and $L_2$, respectively. The maximum possible mutual inductance is-)

A. $L_1 L_2$

B. $L_1 / L_2$

C. $\sqrt{L_1 / L_2}$

D. $\sqrt{L_1 L_2}$

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [D] $\sqrt{L_1 L_2}$

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

दो कुंडलियों के बीच अन्योन्य प्रेरकत्व ($M$) और उनके स्वप्रेरकत्व ($L_1, L_2$) के बीच संबंध का सूत्र है:
$M = k \sqrt{L_1 L_2}$

• जहाँ $k$ युग्मन गुणांक (Coupling Coefficient) है।
• $k$ का मान 0 से 1 के बीच होता है।
• अधिकतम सम्भव (Maximum possible) अन्योन्य प्रेरकत्व तब होता है जब दोनों कुंडलियाँ पूरी तरह से एक-दूसरे से युग्मित (perfectly coupled) हों, यानी $k = 1$।

अतः, $M_{max} = 1 \cdot \sqrt{L_1 L_2} = \mathbf{\sqrt{L_1 L_2}}$

⚡ Physics Guru Logic:

याद रखने का तरीका: अन्योन्य प्रेरकत्व हमेशा दोनों स्वप्रेरकत्वों का गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) होता है। वर्गमूल वाला ऑप्शन ही हमेशा सही होगा!

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प्रश्न 44: m द्रव्यमान का कण x-अक्ष पर मूल बिन्दु के परित: कम्पन्न कर रहा है। इसकी स्थितिज ऊर्जा $U(x) = k |x|^3$ है, जहाँ k एक नियतांक है। यदि दोलन का आयाम a हो, तब उसका आवर्तकाल T है-
(Q.44: A particle of mass m is executing oscillations about the origin on the x-axis. Its potential energy is $U(x) = k |x|^3$, where k is a positive constant. If the amplitude of oscillation is a, then the time period T is-)

A. $\frac{1}{\sqrt{a}}$ के समानुपाती (Proportional to $\frac{1}{\sqrt{a}}$)

B. a से स्वतंत्र (Independent of a)

C. $\sqrt{a}$ के समानुपाती (Proportional to $\sqrt{a}$)

D. $a^{3/2}$ के समानुपाती (Proportional to $a^{3/2}$)

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [A] $\frac{1}{\sqrt{a}}$ के समानुपाती

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

सामान्यतः स्थितिज ऊर्जा यदि $U(x) \propto x^n$ हो, तो आवर्तकाल $T$ और आयाम $a$ के बीच संबंध होता है:
$T \propto a^{(2-n)/2}$

• यहाँ प्रश्न में, $U(x) = k |x|^3$, इसलिए $n = 3$।
• सूत्र में $n=3$ रखने पर:
  $T \propto a^{(2-3)/2}$
  $T \propto a^{-1/2}$

अतः, आवर्तकाल $T \propto \frac{1}{\sqrt{a}}$ होगा।

⚡ Physics Guru Short Trick:

विमीय विधि (Dimensional Method):
कुल ऊर्जा $E \propto k a^3$ और हम जानते हैं कि $v \propto \sqrt{E/m} \propto a^{3/2}$।
समय $T \approx \frac{\text{दूरी (a)}}{\text{वेग (v)}} \approx \frac{a}{a^{3/2}} \approx \mathbf{a^{-1/2}}$।
बस 10 सेकंड में उत्तर तैयार!

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प्रश्न 45: एक भारी एक समान जंजीर क्षैतिज मेज के ऊपर रखी हुई है। यदि जंजीर व मेज की सतह के बीच घर्षण गुणांक 0.25 है, तो जंजीर की लम्बाई का वह अधिकतम भाग जो मेज के एक सिरे से नीचे लटकाया जा सकता है, होगा-
(Q.45: A heavy uniform chain lies on a horizontal table-top. If the coefficient of friction between the chain and table surface is 0.25, then the maximum fraction of length of the chain, that can hang over one edge of the table is-)

A. 20%

B. 25%

C. 35%

D. 15%

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [A] 20%

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

माना जंजीर की कुल लंबाई $L$ है और लटके हुए भाग की लंबाई $l$ है. संतुलन की स्थिति में, लटके हुए भाग का भार मेज पर रखे भाग के घर्षण बल द्वारा संतुलित होना चाहिए.

अधिकतम लटके हुए भाग का सूत्र:
$\text{Fraction} = \frac{\mu}{1 + \mu}$

यहाँ घर्षण गुणांक ($\mu$) = 0.25 दिया गया है:
$\text{Fraction} = \frac{0.25}{1 + 0.25} = \frac{0.25}{1.25}$
$\text{Fraction} = \frac{1}{5} = 0.2$

प्रतिशत में बदलने पर: $0.2 \times 100 = \mathbf{20\%}$

⚡ Physics Guru Short Trick:

सीधा याद रखें: **$\text{Percentage} = \frac{\mu}{1+\mu} \times 100$**
$\mu = 0.25 = 1/4$ रखने पर $\rightarrow \frac{1/4}{5/4} = 1/5$ भाग।
$1/5$ भाग का मतलब हमेशा **20%** होता है। चुटकियों में हल!

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प्रश्न 46: एक द्रव्यमान m रेखीय सरल आवर्त गति कर रहा है। निम्न में से कौन सा ग्राफ रेखीय वेग 'v' के संगत त्वरण 'a' में होने वाले परिवर्तन को सही रूप में प्रदर्शित करता है?
(Q.46: A mass m is performing linear simple harmonic motion, then which of the following graph represents correctly the variation of acceleration 'a' corresponding to linear velocity 'v'?)

उपरोक्त चित्र में दिए गए विकल्पों (A, B, C, D) में से सही ग्राफ चुनें।

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [D]

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

सरल आवर्त गति (SHM) में वेग ($v$) और त्वरण ($a$) के समीकरण इस प्रकार हैं:

• वेग: $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \Rightarrow v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$
• त्वरण: $a = -\omega^2 x \Rightarrow x = -a/\omega^2$

$x$ का मान वेग के समीकरण में रखने पर:
$v^2 = \omega^2 \left( A^2 - \frac{a^2}{\omega^4} \right)$
$v^2 = \omega^2 A^2 - \frac{a^2}{\omega^2}$
$\frac{v^2}{(\omega A)^2} + \frac{a^2}{(\omega^2 A)^2} = 1$

यह समीकरण एक दीर्घवृत्त (Ellipse) को दर्शाता है। लेकिन यदि हम $v^2$ और $a^2$ के बीच ग्राफ खींचते हैं (जैसा कि विकल्पों के अक्षों पर दर्शाया गया है):
$v^2 = -\frac{1}{\omega^2} a^2 + \omega^2 A^2$
यह $y = -mx + c$ के रूप का एक **ऋणात्मक ढाल (Negative Slope) वाली सरल रेखा** का समीकरण है।

⚡ Physics Guru Short Trick:

जब माध्य स्थिति ($x=0$) पर वेग अधिकतम होता है, तो त्वरण शून्य होता है। और जब चरम स्थिति पर वेग शून्य होता है, तो त्वरण अधिकतम होता है।
अतः $v^2$ और $a^2$ के बीच संबंध एक **सीधी रेखा** होगी जो नीचे की ओर गिर रही है। ग्राफ **(D)** इसे बिल्कुल सही दर्शाता है!

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प्रश्न 47: यदि किसी पिण्ड का द्रव्यमान पृथ्वी की सतह पर M हो तो चन्द्रमा की सतह पर इसका द्रव्यमान होगा-
(Q.47: If mass of a body is M on the surface of the earth, then the mass of the same body on the surface of the moon is-)

A. M/6

B. शून्य (Zero)

C. M

D. इनमें से कोई नहीं (None of the above)

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [C] M

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

भौतिकी में **द्रव्यमान (Mass)** और **भार (Weight)** दो अलग-अलग राशियाँ हैं:

• द्रव्यमान (M): यह पदार्थ की वह मात्रा है जिससे कोई वस्तु बनी होती है। द्रव्यमान एक **अदिश राशि** है और यह स्थान बदलने पर **कभी नहीं बदलता**। चाहे आप पृथ्वी पर हों, चन्द्रमा पर या अंतरिक्ष में, द्रव्यमान स्थिर रहता है।
• भार (W): यह वह बल है जिससे गुरुत्वाकर्षण किसी वस्तु को खींचता है ($W = mg$)। चूँकि चन्द्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण ($g$) पृथ्वी का $1/6$ होता है, इसलिए वहाँ केवल **भार** बदलता है।

अतः, यदि पृथ्वी पर द्रव्यमान M है, तो चन्द्रमा पर भी यह M ही रहेगा।

⚡ Physics Guru Alert:

परीक्षा में प्रश्न को ध्यान से पढ़ें!
- अगर **द्रव्यमान (Mass)** पूछा जाए $\rightarrow$ उत्तर **M** होगा (कोई बदलाव नहीं)।
- अगर **भार (Weight)** पूछा जाए $\rightarrow$ उत्तर **W/6** होगा।
जल्दबाजी में $M/6$ पर टिक न लगायें!

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प्रश्न 48: एक चुम्बक को उसकी लम्बाई के लम्बवत् तीन बराबर भागों में काटा जाता है। मूल चुम्बक को एक समान चुम्बकीय क्षेत्र B में रखने पर उसका आवर्तकाल 'T₀' रहता है। उसी चुम्बकीय क्षेत्र में कटे हुए प्रत्येक भाग का आवर्तकाल होगा-
(Q.48: A magnet is cut in three equal parts by cutting it perpendicular to its length. The time period of original magnet is 'T₀' in a uniform magnetic field B. Then, the time period of each part in the same magnetic field is-)

A. $T_0 / \sqrt{3}$

B. $T_0 / 3$

C. $T_0 / 4$

D. $T_0$

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [B] $T_0 / 3$

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

एक समान चुम्बकीय क्षेत्र में दोलन करते हुए चुम्बक के आवर्तकाल का सूत्र है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$

जब चुम्बक को लम्बाई के लम्बवत् **n बराबर भागों** में काटा जाता है (यहाँ n = 3):

• जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia, I'): द्रव्यमान $1/3$ और लम्बाई $1/3$ होने के कारण, $I' = \frac{I}{3^3} = \frac{I}{27}$
• चुम्बकीय आघूर्ण (Magnetic Moment, M'): लम्बाई $1/3$ होने के कारण, $M' = \frac{M}{3}$

नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I/27}{(M/3)B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{9MB}}$
$T' = \frac{1}{\sqrt{9}} \times 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}} = \frac{T_0}{3}$

⚡ Physics Guru Short Trick:

सीधा याद रखें: जब चुम्बक को लम्बाई के लम्बवत् **n बराबर भागों** में काटते हैं, तो प्रत्येक भाग का आवर्तकाल **$1/n$ गुना** हो जाता है।
यहाँ 3 भाग किये गए हैं, तो सीधा उत्तर **$T_0/3$** होगा। समय बचायें, आगे बढ़ें!

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प्रश्न 49: यदि किसी उपग्रह का घूर्णन काल T है तो इसकी गतिज ऊर्जा निम्नलिखित में से किसके समानुपाती है?
(Q.49: For a satellite if the time of revolution is T, then its kinetic energy is proportional to-)

A. $1/T$

B. $1/T^2$

C. $1/T^3$

D. $T^{-2/3}$

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [D] $T^{-2/3}$

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

उपग्रह की गतिज ऊर्जा ($K.E.$) और आवर्तकाल ($T$) के बीच संबंध स्थापित करने के लिए हम निम्नलिखित चरणों का उपयोग करते हैं:

• केप्लर का तीसरा नियम: $T^2 \propto r^3 \Rightarrow r \propto T^{2/3}$
• कक्षीय वेग ($v$): $v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \Rightarrow v^2 \propto \frac{1}{r}$
• गतिज ऊर्जा ($K.E.$): $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow K.E. \propto \frac{1}{r}$

अब $r$ का मान $T$ के पदों में रखने पर:
$K.E. \propto \frac{1}{T^{2/3}}$
$\mathbf{K.E. \propto T^{-2/3}}$

⚡ Physics Guru Short Trick:

याद रखें: **Energy $\propto 1/r$** और **$r \propto T^{2/3}$**
इसलिए ऊर्जा हमेशा $T$ की घात **$-2/3$** के समानुपाती होगी। यह संबंध कुल ऊर्जा, स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा तीनों के लिए लागू होता है!

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प्रश्न 50: यदि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण g है, तब इसका मान पृथ्वी की त्रिज्या की दुगनी ऊँचाई पर होगा-
(Q.50: If g is acceleration due to gravity on the surface of the earth, its value at the height equal to double the radius of the earth is-)

A. g

B. g/2

C. g/3

D. g/9

---

✅ सही उत्तर (Correct Answer): [D] g/9

आसान व्याख्या (Simplified Solution):

पृथ्वी की सतह से ऊँचाई ($h$) पर गुरुत्वीय त्वरण ($g'$) का सूत्र है:
$g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$

• यहाँ प्रश्न के अनुसार ऊँचाई, त्रिज्या की दुगनी है: $h = 2R$
• मान रखने पर:
  $g' = g \left( \frac{R}{R + 2R} \right)^2$
  $g' = g \left( \frac{R}{3R} \right)^2$

$g' = g \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \mathbf{\frac{g}{9}}$

⚡ Physics Guru Logic:

हमेशा याद रखें: गुरुत्वीय त्वरण केंद्र से दूरी के वर्ग के **व्युत्क्रमानुपाती ($1/r^2$)** होता है।
- सतह पर दूरी = $R$
- $2R$ ऊँचाई पर कुल दूरी = $R + 2R = 3R$
दूरी 3 गुना हुई, तो $g$ का मान $3^2$ यानी **9 गुना कम** हो जायेगा। सीधा उत्तर $g/9$!

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