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Mathematics | Q. 76
यदि sin(x - 20°) = cos(3x - 10°) तब x का मान होगा-
(If sin(x - 20°) = cos(3x - 10°) then the value of x is-)
(If sin(x - 20°) = cos(3x - 10°) then the value of x is-)
✅ Correct Answer: A. 30°
हिंदी में समाधान:
त्रिकोणमिति के अनुसार, यदि sin A = cos B हो, तो A + B = 90° होता है।
यहाँ A = (x - 20°) और B = (3x - 10°) है।
अतः: (x - 20°) + (3x - 10°) = 90°
4x - 30° = 90°
4x = 120°
x = 30°
यहाँ A = (x - 20°) और B = (3x - 10°) है।
अतः: (x - 20°) + (3x - 10°) = 90°
4x - 30° = 90°
4x = 120°
x = 30°
Explanation in English:
Using the identity: if sin A = cos B, then A + B = 90°.
Here, A = (x - 20°) and B = (3x - 10°).
So: (x - 20°) + (3x - 10°) = 90°
4x - 30° = 90°
4x = 120°
x = 30°
Here, A = (x - 20°) and B = (3x - 10°).
So: (x - 20°) + (3x - 10°) = 90°
4x - 30° = 90°
4x = 120°
x = 30°
🚀 way2 study smart Short Trick:
जब भी sin और cos बराबर दिए हों, तो उनके कोणों (angles) को जोड़कर 90 के बराबर रख दो।
x + 3x = 90 + 30
4x = 120 ⇒ x = 30. बिना पेन उठाए हल!
जब भी sin और cos बराबर दिए हों, तो उनके कोणों (angles) को जोड़कर 90 के बराबर रख दो।
x + 3x = 90 + 30
4x = 120 ⇒ x = 30. बिना पेन उठाए हल!
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Mathematics | Q. 77
यदि x/2 = y/3 = z/3 हो, तो (x + y - z) / (x - y + z) का मान क्या होगा?
(If x/2 = y/3 = z/3 then, what is the value of (x + y - z) / (x - y + z)?)
(If x/2 = y/3 = z/3 then, what is the value of (x + y - z) / (x - y + z)?)
✅ सही उत्तर: A. 1
हिंदी में समाधान:
माना x/2 = y/3 = z/3 = k
अतः: x = 2k, y = 3k, z = 3k
अब समीकरण में मान रखने पर:
(2k + 3k - 3k) / (2k - 3k + 3k)
= (2k) / (2k)
= 1
अतः: x = 2k, y = 3k, z = 3k
अब समीकरण में मान रखने पर:
(2k + 3k - 3k) / (2k - 3k + 3k)
= (2k) / (2k)
= 1
Explanation in English:
Let x/2 = y/3 = z/3 = k
So: x = 2k, y = 3k, z = 3k
Substituting values in the expression:
(2k + 3k - 3k) / (2k - 3k + 3k)
= (2k) / (2k)
= 1
So: x = 2k, y = 3k, z = 3k
Substituting values in the expression:
(2k + 3k - 3k) / (2k - 3k + 3k)
= (2k) / (2k)
= 1
🚀 way2 study smart Short Trick:
जब भी अनुपात (Ratio) दिया हो, तो नीचे वाली संख्या को ही सीधा x, y, z का मान मान लें।
x = 2, y = 3, z = 3
(2 + 3 - 3) / (2 - 3 + 3) = 2/2 = 1.
बिना किसी कठिन कैलकुलेशन के 2 सेकंड में जवाब!
जब भी अनुपात (Ratio) दिया हो, तो नीचे वाली संख्या को ही सीधा x, y, z का मान मान लें।
x = 2, y = 3, z = 3
(2 + 3 - 3) / (2 - 3 + 3) = 2/2 = 1.
बिना किसी कठिन कैलकुलेशन के 2 सेकंड में जवाब!
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Mathematics | Q. 78
यदि पुत्र की आयु का दोगुना पिता की आयु में जोड़ा जाए, तो योग 70 होता है, लेकिन यदि पिता की आयु का दोगुना पुत्र की आयु में जोड़ा जाता है, तो योग 95 होता है। पिता और पुत्र की आयु होगी-
(If twice the son’s age in years is added to the father’s age, the sum is 70. But if twice the father’s age is added to the son’s age, the sum is 95. Find the ages of father and son-)
(If twice the son’s age in years is added to the father’s age, the sum is 70. But if twice the father’s age is added to the son’s age, the sum is 95. Find the ages of father and son-)
✅ सही उत्तर: C. 40, 15 (Father: 40, Son: 15)
हिंदी में समाधान:
माना पिता की आयु = F और पुत्र की आयु = S
शर्त 1: F + 2S = 70 ----(i)
शर्त 2: 2F + S = 95 ----(ii)
समीकरण (i) को 2 से गुणा करने पर: 2F + 4S = 140
अब (ii) को घटाने पर: (2F + 4S) - (2F + S) = 140 - 95
3S = 45 ⇒ S = 15 वर्ष (पुत्र)
F + 2(15) = 70 ⇒ F + 30 = 70 ⇒ F = 40 वर्ष (पिता)
शर्त 1: F + 2S = 70 ----(i)
शर्त 2: 2F + S = 95 ----(ii)
समीकरण (i) को 2 से गुणा करने पर: 2F + 4S = 140
अब (ii) को घटाने पर: (2F + 4S) - (2F + S) = 140 - 95
3S = 45 ⇒ S = 15 वर्ष (पुत्र)
F + 2(15) = 70 ⇒ F + 30 = 70 ⇒ F = 40 वर्ष (पिता)
Explanation in English:
Let Father's age = F and Son's age = S
Case 1: F + 2S = 70
Case 2: 2F + S = 95
Multiply eq (i) by 2: 2F + 4S = 140
Subtract eq (ii) from this: 3S = 45 ⇒ S = 15
Substitute S in eq (i): F + 30 = 70 ⇒ F = 40
Case 1: F + 2S = 70
Case 2: 2F + S = 95
Multiply eq (i) by 2: 2F + 4S = 140
Subtract eq (ii) from this: 3S = 45 ⇒ S = 15
Substitute S in eq (i): F + 30 = 70 ⇒ F = 40
🚀 way2 study smart Short Trick:
ऐसे सवालों को "Option Verification" से करें!
Option C (40, 15) को चेक करें:
पिता (40) + पुत्र का दोगुना (15×2=30) = 70. (Match!)
पुत्र (15) + पिता का दोगुना (40×2=80) = 95. (Match!)
बिना समीकरण बनाए 5 सेकंड में आंसर!
ऐसे सवालों को "Option Verification" से करें!
Option C (40, 15) को चेक करें:
पिता (40) + पुत्र का दोगुना (15×2=30) = 70. (Match!)
पुत्र (15) + पिता का दोगुना (40×2=80) = 95. (Match!)
बिना समीकरण बनाए 5 सेकंड में आंसर!
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Mathematics | Q. 79
व्यंजक (Expression) का मान क्या होगा?
$\frac{(\frac{x}{y} - \frac{y}{x})(\frac{y}{z} - \frac{z}{y})(\frac{z}{x} - \frac{x}{z})}{(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2})(\frac{1}{y^2} - \frac{1}{z^2})(\frac{1}{z^2} - \frac{1}{x^2})}$
$\frac{(\frac{x}{y} - \frac{y}{x})(\frac{y}{z} - \frac{z}{y})(\frac{z}{x} - \frac{x}{z})}{(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2})(\frac{1}{y^2} - \frac{1}{z^2})(\frac{1}{z^2} - \frac{1}{x^2})}$
✅ सही उत्तर: D. -x²y²z²
हिंदी में समाधान:
अंश (Numerator) को हल करने पर:
$(\frac{x^2-y^2}{xy})(\frac{y^2-z^2}{yz})(\frac{z^2-x^2}{zx}) = \frac{(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)}{x^2y^2z^2}$
हर (Denominator) को हल करने पर:
$(\frac{y^2-x^2}{x^2y^2})(\frac{z^2-y^2}{y^2z^2})(\frac{x^2-z^2}{z^2x^2}) = \frac{-(x^2-y^2) \cdot -(y^2-z^2) \cdot -(z^2-x^2)}{x^4y^4z^4}$
दोनों को भाग देने पर हमें **-x²y²z²** प्राप्त होता है।
$(\frac{x^2-y^2}{xy})(\frac{y^2-z^2}{yz})(\frac{z^2-x^2}{zx}) = \frac{(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)}{x^2y^2z^2}$
हर (Denominator) को हल करने पर:
$(\frac{y^2-x^2}{x^2y^2})(\frac{z^2-y^2}{y^2z^2})(\frac{x^2-z^2}{z^2x^2}) = \frac{-(x^2-y^2) \cdot -(y^2-z^2) \cdot -(z^2-x^2)}{x^4y^4z^4}$
दोनों को भाग देने पर हमें **-x²y²z²** प्राप्त होता है।
Explanation in English:
On simplifying the Numerator, we get:
$\frac{(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)}{x^2y^2z^2}$
On simplifying the Denominator, we get:
$\frac{-(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)}{x^4y^4z^4}$
Dividing Numerator by Denominator results in **-x²y²z²**.
$\frac{(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)}{x^2y^2z^2}$
On simplifying the Denominator, we get:
$\frac{-(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)}{x^4y^4z^4}$
Dividing Numerator by Denominator results in **-x²y²z²**.
🚀 way2 study smart Short Trick:
ऐसे बड़े सवालों में $x=1, y=2, z=3$ जैसी छोटी वैल्यूज पुट करें।
लेकिन यहाँ और भी आसान है: ऊपर और नीचे के पद (terms) लगभग समान हैं, बस नीचे $x^2y^2z^2$ का एक्स्ट्रा भाग है और दिशा (sign) विपरीत है। इसलिए उत्तर हमेशा $x, y, z$ की घात वाला ही होगा!
ऐसे बड़े सवालों में $x=1, y=2, z=3$ जैसी छोटी वैल्यूज पुट करें।
लेकिन यहाँ और भी आसान है: ऊपर और नीचे के पद (terms) लगभग समान हैं, बस नीचे $x^2y^2z^2$ का एक्स्ट्रा भाग है और दिशा (sign) विपरीत है। इसलिए उत्तर हमेशा $x, y, z$ की घात वाला ही होगा!
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Mathematics | Q. 80
एक त्रिभुज जिसके शीर्ष (0, 6), (8, 12) और (8, 0) हैं, उसके केंद्रक का निर्देशांक होगा-
(The co-ordinate of the centroid of a triangle whose vertices are (0, 6), (8, 12) and (8, 0) is-)
(The co-ordinate of the centroid of a triangle whose vertices are (0, 6), (8, 12) and (8, 0) is-)
✅ सही उत्तर: C. (16/3, 6)
हिंदी में समाधान:
केंद्रक (Centroid) का सूत्र: $G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$
यहाँ, $x_1=0, x_2=8, x_3=8$ और $y_1=6, y_2=12, y_3=0$
x-निर्देशांक = $\frac{0 + 8 + 8}{3} = \frac{16}{3}$
y-निर्देशांक = $\frac{6 + 12 + 0}{3} = \frac{18}{3} = 6$
अतः केंद्रक = (16/3, 6)
यहाँ, $x_1=0, x_2=8, x_3=8$ और $y_1=6, y_2=12, y_3=0$
x-निर्देशांक = $\frac{0 + 8 + 8}{3} = \frac{16}{3}$
y-निर्देशांक = $\frac{6 + 12 + 0}{3} = \frac{18}{3} = 6$
अतः केंद्रक = (16/3, 6)
Explanation in English:
Formula for Centroid: $G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$
Given vertices: $(0, 6), (8, 12), (8, 0)$
x-coordinate = $(0 + 8 + 8) / 3 = 16/3$
y-coordinate = $(6 + 12 + 0) / 3 = 18/3 = 6$
Therefore, Centroid = (16/3, 6)
Given vertices: $(0, 6), (8, 12), (8, 0)$
x-coordinate = $(0 + 8 + 8) / 3 = 16/3$
y-coordinate = $(6 + 12 + 0) / 3 = 18/3 = 6$
Therefore, Centroid = (16/3, 6)
🚀 way2 study smart Pro Tip:
केंद्रक मतलब "तीनों का औसत (Average)"!
बस तीनों $x$ को जोड़कर 3 से भाग दें और तीनों $y$ को जोड़कर 3 से भाग दें।
याद रखें: केंद्रक त्रिभुज का "Balance Point" होता है।
केंद्रक मतलब "तीनों का औसत (Average)"!
बस तीनों $x$ को जोड़कर 3 से भाग दें और तीनों $y$ को जोड़कर 3 से भाग दें।
याद रखें: केंद्रक त्रिभुज का "Balance Point" होता है।
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Mathematics | Q. 81
निम्नलिखित को सुमेलित कीजिए- (Match the following-)
List - I
(a) If A + B = 90° cot B = 3/4 then tan A is equal to
(b) $3\sin^2 30^\circ + 2\tan^2 60^\circ - 5\cos^2 45^\circ$
(c) If $\cot \theta = 1/\sqrt{3}$ then the value of $\frac{1-\cos^2 \theta}{2-\sin^2 \theta}$ is
(d) $\sin 120^\circ$
(b) $3\sin^2 30^\circ + 2\tan^2 60^\circ - 5\cos^2 45^\circ$
(c) If $\cot \theta = 1/\sqrt{3}$ then the value of $\frac{1-\cos^2 \theta}{2-\sin^2 \theta}$ is
(d) $\sin 120^\circ$
List - II
(I) 3/5
(II) 3/4
(III) $\sqrt{3}/2$
(IV) 17/4
(II) 3/4
(III) $\sqrt{3}/2$
(IV) 17/4
✅ सही उत्तर (Correct Answer): B
हिंदी में समाधान:
(a) $\tan A = \cot B$ (क्योंकि A+B=90°), तो $\tan A = 3/4$ → (II)
(b) $3(1/4) + 2(3) - 5(1/2) = 17/4$ → (IV)
(c) $\theta=60^\circ$ रखने पर: $(3/4) / (2 - 3/4) = 3/5$ → (I)
(d) $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \sqrt{3}/2$ → (III)
(b) $3(1/4) + 2(3) - 5(1/2) = 17/4$ → (IV)
(c) $\theta=60^\circ$ रखने पर: $(3/4) / (2 - 3/4) = 3/5$ → (I)
(d) $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \sqrt{3}/2$ → (III)
Explanation in English:
(a) tan A = cot B = 3/4. Matches (II).
(b) Calculation gives 17/4. Matches (IV).
(c) Put $\theta = 60^\circ$, result is 3/5. Matches (I).
(d) $\sin 120^\circ = \sqrt{3}/2$. Matches (III).
(b) Calculation gives 17/4. Matches (IV).
(c) Put $\theta = 60^\circ$, result is 3/5. Matches (I).
(d) $\sin 120^\circ = \sqrt{3}/2$. Matches (III).
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Computer | Q. 82
निम्नलिखित में से कौन सा कंप्यूटर की प्रोसेसिंग स्पीड को मापने का सबसे सटीक तरीका है?
(Which of the following is the most accurate measure of a computer's processing speed?)
(Which of the following is the most accurate measure of a computer's processing speed?)
✅ सही उत्तर: C. प्रति सेकंड निर्देश (IPS)
हिंदी में समाधान:
कंप्यूटर की प्रोसेसिंग क्षमता को मापने का सबसे सटीक तरीका IPS (Instructions Per Second) है।
- Clock Speed: यह केवल प्रोसेसर के चक्र (cycles) की गति बताता है।
- IPS: यह बताता है कि एक सेकंड में प्रोसेसर वास्तव में कितने "निर्देशों" को पूरा कर रहा है। बड़े कंप्यूटरों के लिए इसे MIPS (Millions of Instructions Per Second) में मापा जाता है।
- Clock Speed: यह केवल प्रोसेसर के चक्र (cycles) की गति बताता है।
- IPS: यह बताता है कि एक सेकंड में प्रोसेसर वास्तव में कितने "निर्देशों" को पूरा कर रहा है। बड़े कंप्यूटरों के लिए इसे MIPS (Millions of Instructions Per Second) में मापा जाता है।
Explanation in English:
The most accurate measure of processing speed is IPS (Instructions Per Second).
- Clock Speed (GHz) refers to the frequency of cycles per second, but different CPUs do different amounts of work per cycle.
- IPS directly measures the actual throughput—how many operations or instructions are being executed every second.
- Clock Speed (GHz) refers to the frequency of cycles per second, but different CPUs do different amounts of work per cycle.
- IPS directly measures the actual throughput—how many operations or instructions are being executed every second.
🚀 way2 study smart Fact:
याद रखने का तरीका: 'Clock' सिर्फ टिक-टिक की स्पीड है, लेकिन 'IPS' असली काम की स्पीड है! सुपर कंप्यूटर के लिए हम **FLOPS** (Floating Point Operations Per Second) का उपयोग करते हैं।
याद रखने का तरीका: 'Clock' सिर्फ टिक-टिक की स्पीड है, लेकिन 'IPS' असली काम की स्पीड है! सुपर कंप्यूटर के लिए हम **FLOPS** (Floating Point Operations Per Second) का उपयोग करते हैं।
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Mathematics | Q. 83
एक माचिस की डिब्बी जिसकी लंबाई 2 सेमी, चौड़ाई 3 सेमी और ऊंचाई 1 सेमी है, तो इसका कुल सतह पृष्ठ क्षेत्रफल होगा-
(For a Matchbox, length is 2 cm, width is 3 cm and height is 1 cm the total surface area of this Matchbox will be-)
(For a Matchbox, length is 2 cm, width is 3 cm and height is 1 cm the total surface area of this Matchbox will be-)
✅ सही उत्तर: D. 22 sq.cm
हिंदी में समाधान:
माचिस की डिब्बी एक घनाभ (Cuboid) के आकार की होती है।
यहाँ: लंबाई (l) = 2 cm, चौड़ाई (w) = 3 cm, ऊँचाई (h) = 1 cm
कुल सतह क्षेत्रफल का सूत्र: $2(lw + wh + hl)$
$= 2(2 \times 3 + 3 \times 1 + 1 \times 2)$
$= 2(6 + 3 + 2) = 2(11) = 22$ वर्ग सेमी।
यहाँ: लंबाई (l) = 2 cm, चौड़ाई (w) = 3 cm, ऊँचाई (h) = 1 cm
कुल सतह क्षेत्रफल का सूत्र: $2(lw + wh + hl)$
$= 2(2 \times 3 + 3 \times 1 + 1 \times 2)$
$= 2(6 + 3 + 2) = 2(11) = 22$ वर्ग सेमी।
Explanation in English:
A matchbox is a Cuboid.
Given: length (l) = 2 cm, width (w) = 3 cm, height (h) = 1 cm
Total Surface Area Formula: $2(lw + wh + hl)$
$= 2(2 \times 3 + 3 \times 1 + 1 \times 2)$
$= 2(6 + 3 + 2) = 2(11) = 22$ sq.cm.
Given: length (l) = 2 cm, width (w) = 3 cm, height (h) = 1 cm
Total Surface Area Formula: $2(lw + wh + hl)$
$= 2(2 \times 3 + 3 \times 1 + 1 \times 2)$
$= 2(6 + 3 + 2) = 2(11) = 22$ sq.cm.
🚀 way2 study smart Shortcut:
याद रखें: घनाभ में 6 सतह होती हैं। बस तीनों भुजाओं को बारी-बारी से गुणा करें ($2 \times 3, 3 \times 1, 1 \times 2$), उन्हें जोड़ें और दोगुना (double) कर दें!
याद रखें: घनाभ में 6 सतह होती हैं। बस तीनों भुजाओं को बारी-बारी से गुणा करें ($2 \times 3, 3 \times 1, 1 \times 2$), उन्हें जोड़ें और दोगुना (double) कर दें!
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Mathematics | Q. 84
निम्नलिखित को सुमेलित कीजिए- (Match the following-)
List - I
(a) If $2\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$ then $\theta = ?$
(b) If $\sec 2\theta = \text{cosec}(\theta - 27^\circ)$ where $2\theta$ is an acute angle then the measure of $\theta$ is
(c) The value of $(\sec A + \tan A) \cdot (1 - \sin A)$ is
(d) $\sec(90^\circ - A)$
(b) If $\sec 2\theta = \text{cosec}(\theta - 27^\circ)$ where $2\theta$ is an acute angle then the measure of $\theta$ is
(c) The value of $(\sec A + \tan A) \cdot (1 - \sin A)$ is
(d) $\sec(90^\circ - A)$
List - II
(I) $\theta = 39^\circ$
(II) $\text{cosec } A$
(III) $\theta = 30^\circ$
(IV) $\cos A$
(II) $\text{cosec } A$
(III) $\theta = 30^\circ$
(IV) $\cos A$
✅ सही उत्तर (Correct Answer): D
हिंदी में समाधान:
(a) $2\sin^2 \theta = 1/2 \Rightarrow \sin^2 \theta = 1/4 \Rightarrow \sin \theta = 1/2 \Rightarrow \theta = 30^\circ$ → (III)
(b) $\sec 2\theta = \text{cosec}(\theta - 27^\circ) \Rightarrow 2\theta + (\theta - 27^\circ) = 90^\circ \Rightarrow 3\theta = 117^\circ \Rightarrow \theta = 39^\circ$ → (I)
(c) $(\frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A})(1 - \sin A) = \frac{1 - \sin^2 A}{\cos A} = \frac{\cos^2 A}{\cos A} = \cos A$ → (IV)
(d) $\sec(90^\circ - A) = \text{cosec } A$ (Complementary angle formula) → (II)
(b) $\sec 2\theta = \text{cosec}(\theta - 27^\circ) \Rightarrow 2\theta + (\theta - 27^\circ) = 90^\circ \Rightarrow 3\theta = 117^\circ \Rightarrow \theta = 39^\circ$ → (I)
(c) $(\frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A})(1 - \sin A) = \frac{1 - \sin^2 A}{\cos A} = \frac{\cos^2 A}{\cos A} = \cos A$ → (IV)
(d) $\sec(90^\circ - A) = \text{cosec } A$ (Complementary angle formula) → (II)
Explanation in English:
(a) $2\sin^2 \theta = 1/2$ gives $\sin \theta = 1/2$, so $\theta = 30^\circ$. Matches (III).
(b) Since $\sec$ and $\text{cosec}$ are equal, the sum of angles $= 90^\circ$. $2\theta + \theta - 27 = 90 \Rightarrow \theta = 39^\circ$. Matches (I).
(c) Simplifying the expression gives $\frac{(1+\sin A)(1-\sin A)}{\cos A} = \frac{\cos^2 A}{\cos A} = \cos A$. Matches (IV).
(d) Formula: $\sec(90 - A) = \text{cosec } A$. Matches (II).
(b) Since $\sec$ and $\text{cosec}$ are equal, the sum of angles $= 90^\circ$. $2\theta + \theta - 27 = 90 \Rightarrow \theta = 39^\circ$. Matches (I).
(c) Simplifying the expression gives $\frac{(1+\sin A)(1-\sin A)}{\cos A} = \frac{\cos^2 A}{\cos A} = \cos A$. Matches (IV).
(d) Formula: $\sec(90 - A) = \text{cosec } A$. Matches (II).
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Mathematics | Q. 85
नीचे दिए गए कथनों पर विचार करें और सही विकल्प चुनें:
(Consider the statements and select the correct option:)
(Consider the statements and select the correct option:)
कथन I: किसी भवन के पाद (foot) से दूर जाने पर उसके शिखर का उन्नयन कोण (Angle of Elevation) घटता है।
कथन II: अवनमन कोण (Angle of Depression) दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बनता है जब वस्तु क्षैतिज रेखा से नीचे हो।
कथन III: वृत्तीय पद्धति (Circular system) में कोण मापने की इकाई डिग्री है।
कथन IV: $\sin \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{3}/2$ होता है।
कथन II: अवनमन कोण (Angle of Depression) दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बनता है जब वस्तु क्षैतिज रेखा से नीचे हो।
कथन III: वृत्तीय पद्धति (Circular system) में कोण मापने की इकाई डिग्री है।
कथन IV: $\sin \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{3}/2$ होता है।
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A
हिंदी में समाधान:
1. कथन I सत्य है: जैसे-जैसे आप आधार से दूर जाते हैं, कोण छोटा होता जाता है।
2. कथन II सत्य है: अवनमन कोण ऊपर से नीचे देखने पर बनता है।
3. कथन III असत्य है: वृत्तीय पद्धति में इकाई रेडियन (Radian) होती है, डिग्री नहीं।
4. कथन IV असत्य है: $\sin \theta$ का अधिकतम मान 1 होता है।
अतः केवल I और II सही हैं।
2. कथन II सत्य है: अवनमन कोण ऊपर से नीचे देखने पर बनता है।
3. कथन III असत्य है: वृत्तीय पद्धति में इकाई रेडियन (Radian) होती है, डिग्री नहीं।
4. कथन IV असत्य है: $\sin \theta$ का अधिकतम मान 1 होता है।
अतः केवल I और II सही हैं।
Explanation in English:
1. Statement I is True: Angle of elevation decreases as distance from the foot increases.
2. Statement II is True: Angle of depression is formed when the object is below the horizontal line.
3. Statement III is False: In the circular system, the unit is Radian (not Degree).
4. Statement IV is False: The maximum value of $\sin \theta$ is 1 (at $90^\circ$).
Thus, only I and II are correct.
2. Statement II is True: Angle of depression is formed when the object is below the horizontal line.
3. Statement III is False: In the circular system, the unit is Radian (not Degree).
4. Statement IV is False: The maximum value of $\sin \theta$ is 1 (at $90^\circ$).
Thus, only I and II are correct.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
हमेशा याद रखें: $\sin$ और $\cos$ की वैल्यू कभी भी 1 से बड़ी नहीं हो सकती! और सर्कुलर सिस्टम का मतलब 'रेडियन' होता है।
हमेशा याद रखें: $\sin$ और $\cos$ की वैल्यू कभी भी 1 से बड़ी नहीं हो सकती! और सर्कुलर सिस्टम का मतलब 'रेडियन' होता है।
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Mathematics | Q. 86
$k$ के किस मान के लिए द्विघातीय समीकरण $2x^2 - kx + k = 0$ के मूलों का मान समान होगा?
(The value of $k$ for which the quadratic equation $2x^2 - kx + k = 0$ have equal roots is-)
(The value of $k$ for which the quadratic equation $2x^2 - kx + k = 0$ have equal roots is-)
(J) 2
(K) 0
(L) 8
(M) 4
(K) 0
(L) 8
(M) 4
✅ सही उत्तर (Correct Answer): B. केवल K और L
हिंदी में समाधान:
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल समान होने के लिए विविक्तकर (Discriminant) $D = 0$ होना चाहिए।
यहाँ, $a=2, b=-k, c=k$
$D = b^2 - 4ac = 0$
$(-k)^2 - 4(2)(k) = 0$
$k^2 - 8k = 0 \Rightarrow k(k - 8) = 0$
अतः $k = 0$ या $k = 8$
सूची के अनुसार: 0 (K) और 8 (L) सही हैं।
यहाँ, $a=2, b=-k, c=k$
$D = b^2 - 4ac = 0$
$(-k)^2 - 4(2)(k) = 0$
$k^2 - 8k = 0 \Rightarrow k(k - 8) = 0$
अतः $k = 0$ या $k = 8$
सूची के अनुसार: 0 (K) और 8 (L) सही हैं।
Explanation in English:
For equal roots, the Discriminant ($D$) must be zero.
Standard form: $ax^2 + bx + c = 0$. Here $a=2, b=-k, c=k$.
$D = b^2 - 4ac = 0$
$(-k)^2 - 4(2)(k) = 0$
$k^2 - 8k = 0 \Rightarrow k(k - 8) = 0$
So, $k = 0$ or $k = 8$.
From the list: 0 (K) and 8 (L) are the values.
Standard form: $ax^2 + bx + c = 0$. Here $a=2, b=-k, c=k$.
$D = b^2 - 4ac = 0$
$(-k)^2 - 4(2)(k) = 0$
$k^2 - 8k = 0 \Rightarrow k(k - 8) = 0$
So, $k = 0$ or $k = 8$.
From the list: 0 (K) and 8 (L) are the values.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
हमेशा याद रखें: समान मूल (Equal Roots) → $D = 0$.
जल्दबाजी में $k=8$ पर टिक न करें, $k=0$ भी एक संभव उत्तर है!
हमेशा याद रखें: समान मूल (Equal Roots) → $D = 0$.
जल्दबाजी में $k=8$ पर टिक न करें, $k=0$ भी एक संभव उत्तर है!
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Mathematics | Q. 87
नीचे दिए गए कथनों पर विचार करें और सही विकल्प चुनें:
(Consider the statements and select the correct option:)
(Consider the statements and select the correct option:)
कथन (I): यदि $\sin A = \cos B$ तब $A + B = 90^\circ$
कथन (II): $\cos 2\theta = 2\cos \theta \sin \theta$
कथन (III): $\theta = 45^\circ$ के लिए $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$ का मान सत्य है।
कथन (IV): $36^\circ$ का रेडियन मान $\pi/5$ होगा।
कथन (II): $\cos 2\theta = 2\cos \theta \sin \theta$
कथन (III): $\theta = 45^\circ$ के लिए $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$ का मान सत्य है।
कथन (IV): $36^\circ$ का रेडियन मान $\pi/5$ होगा।
✅ सही उत्तर (Correct Answer): C
हिंदी में समाधान:
1. कथन (I) सत्य है: यह पूरक कोण (Complementary angle) का नियम है।
2. कथन (II) असत्य है: क्योंकि $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ होता है, $\cos 2\theta$ नहीं।
3. कथन (III) सत्य है: $\sin 45^\circ + \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
4. कथन (IV) सत्य है: $36^\circ = 36 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{5}$ रेडियन।
अतः कथन I, III और IV सत्य हैं।
2. कथन (II) असत्य है: क्योंकि $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ होता है, $\cos 2\theta$ नहीं।
3. कथन (III) सत्य है: $\sin 45^\circ + \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
4. कथन (IV) सत्य है: $36^\circ = 36 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{5}$ रेडियन।
अतः कथन I, III और IV सत्य हैं।
Explanation in English:
1. Statement (I) is True: Identity of complementary angles.
2. Statement (II) is False: The correct formula is $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$.
3. Statement (III) is True: Substituting $45^\circ$ gives $1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}$.
4. Statement (IV) is True: Converting degree to radian: $36 \times (\pi/180) = \pi/5$.
Thus, statements I, III, and IV are true.
2. Statement (II) is False: The correct formula is $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$.
3. Statement (III) is True: Substituting $45^\circ$ gives $1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}$.
4. Statement (IV) is True: Converting degree to radian: $36 \times (\pi/180) = \pi/5$.
Thus, statements I, III, and IV are true.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
त्रिकोणमिति के सूत्रों (Formulas) में $\sin$ और $\cos$ का अंतर ध्यान से देखें। $\cos 2\theta$ के असली सूत्र $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ या $2\cos^2 \theta - 1$ होते हैं।
त्रिकोणमिति के सूत्रों (Formulas) में $\sin$ और $\cos$ का अंतर ध्यान से देखें। $\cos 2\theta$ के असली सूत्र $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ या $2\cos^2 \theta - 1$ होते हैं।
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Mathematics | Q. 88
यदि किसी व्यक्ति की छाया की ऊँचाई और लंबाई समान है, तो सूर्य का उन्नयन कोण है-
(If the height and length of the shadow of a man are the same then the angle of elevation of the sun is-)
(If the height and length of the shadow of a man are the same then the angle of elevation of the sun is-)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): B. 45°
हिंदी में समाधान:
मान लीजिए व्यक्ति की ऊँचाई = $h$ और छाया की लंबाई = $x$.
दिया है: $h = x$
समकोण त्रिभुज में, $\tan \theta = \frac{\text{ऊँचाई (h)}}{\text{आधार (x)}}$
$\tan \theta = \frac{h}{h} = 1$
हम जानते हैं कि $\tan 45^\circ = 1$.
अतः, सूर्य का उन्नयन कोण 45° है।
दिया है: $h = x$
समकोण त्रिभुज में, $\tan \theta = \frac{\text{ऊँचाई (h)}}{\text{आधार (x)}}$
$\tan \theta = \frac{h}{h} = 1$
हम जानते हैं कि $\tan 45^\circ = 1$.
अतः, सूर्य का उन्नयन कोण 45° है।
Explanation in English:
Let the height of the man be $h$ and the length of the shadow be $x$.
Given: $h = x$
In a right-angled triangle, $\tan \theta = \frac{\text{Height (h)}}{\text{Base (x)}}$
$\tan \theta = \frac{h}{h} = 1$
Since $\tan 45^\circ = 1$, the angle of elevation is 45°.
Given: $h = x$
In a right-angled triangle, $\tan \theta = \frac{\text{Height (h)}}{\text{Base (x)}}$
$\tan \theta = \frac{h}{h} = 1$
Since $\tan 45^\circ = 1$, the angle of elevation is 45°.
🚀 way2 study smart Shortcut:
याद रखें: जब भी लंब (Height) और आधार (Base/Shadow) बराबर हों, तो आँख बंद करके 45° पर टिक कर दें! क्योंकि केवल $\tan 45^\circ$ की वैल्यू ही 1 होती है।
याद रखें: जब भी लंब (Height) और आधार (Base/Shadow) बराबर हों, तो आँख बंद करके 45° पर टिक कर दें! क्योंकि केवल $\tan 45^\circ$ की वैल्यू ही 1 होती है।
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Mathematics | Q. 89
7 छात्रों के समूह में प्रति छात्र औसत वजन 55 किलोग्राम है और उनमें से 6 छात्रों का वजन 52, 54, 55, 53, 56 और 54 किलोग्राम है, तो सातवें छात्र का वजन कितना किलोग्राम होगा?
(The mean weight per student in a group of 7 students is 55 kg. The individual weights of 6 of them (in kg) are 52, 54, 55, 53, 56 and 54. Find the weight of the seventh student.)
(The mean weight per student in a group of 7 students is 55 kg. The individual weights of 6 of them (in kg) are 52, 54, 55, 53, 56 and 54. Find the weight of the seventh student.)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): C. 61 किलोग्राम
हिंदी में समाधान:
7 छात्रों का कुल वजन = $7 \times 55 = 385$ किलोग्राम।
6 छात्रों के वजन का योग = $52 + 54 + 55 + 53 + 56 + 54 = 324$ किलोग्राम।
7वें छात्र का वजन = (कुल वजन) - (6 छात्रों का योग)
$= 385 - 324 = 61$ किलोग्राम।
6 छात्रों के वजन का योग = $52 + 54 + 55 + 53 + 56 + 54 = 324$ किलोग्राम।
7वें छात्र का वजन = (कुल वजन) - (6 छात्रों का योग)
$= 385 - 324 = 61$ किलोग्राम।
Explanation in English:
Total weight of 7 students = $7 \times 55 = 385$ kg.
Sum of weights of 6 students = $52 + 54 + 55 + 53 + 56 + 54 = 324$ kg.
Weight of 7th student = (Total weight) - (Sum of 6 students)
$= 385 - 324 = 61$ kg.
Sum of weights of 6 students = $52 + 54 + 55 + 53 + 56 + 54 = 324$ kg.
Weight of 7th student = (Total weight) - (Sum of 6 students)
$= 385 - 324 = 61$ kg.
🚀 way2 study smart Shortcut:
बिना बड़ी गुणा-भाग के: औसत 55 है। देखें कि बाकी छात्र 55 से कितने कम या ज्यादा हैं:
-3, -1, 0, -2, +1, -1
इनका कुल अंतर = -6.
औसत को संतुलित करने के लिए सातवें छात्र को औसत से 6 ज्यादा होना होगा: $55 + 6 = 61$. दिमाग में हल!
बिना बड़ी गुणा-भाग के: औसत 55 है। देखें कि बाकी छात्र 55 से कितने कम या ज्यादा हैं:
-3, -1, 0, -2, +1, -1
इनका कुल अंतर = -6.
औसत को संतुलित करने के लिए सातवें छात्र को औसत से 6 ज्यादा होना होगा: $55 + 6 = 61$. दिमाग में हल!
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Mathematics | Q. 90
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यह प्रश्न दो कथनों, जिन्हें कथन [As] और कारण [R] नाम दिया गया है, से मिलकर बना है:
कथन [As]: एक बेलनाकार टंकी, जिसकी आधार की त्रिज्या 1 मी. और ऊँचाई 7 मी. है, 22 घन मी. पानी रख सकती है।
(Assertion [As]: A cylindrical tank with base radius 1 mtr. and height 7 mtr. can contain 22 cubic mtr. water.)
कारण [R]: बेलन का आयतन जिसके आधार की त्रिज्या 'r' और ऊँचाई 'h' हो, $\pi r^2 h$ होता है।
(Reason [R]: Volume of a cylinder with base Radius 'r' and height 'h' is $\pi r^2 h$.)
(Assertion [As]: A cylindrical tank with base radius 1 mtr. and height 7 mtr. can contain 22 cubic mtr. water.)
कारण [R]: बेलन का आयतन जिसके आधार की त्रिज्या 'r' और ऊँचाई 'h' हो, $\pi r^2 h$ होता है।
(Reason [R]: Volume of a cylinder with base Radius 'r' and height 'h' is $\pi r^2 h$.)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A
हिंदी में समाधान:
1. कारण [R] की जाँच: बेलन के आयतन का सूत्र वास्तव में $V = \pi r^2 h$ ही होता है। अतः कारण [R] सत्य है।
2. कथन [As] की जाँच:
आयतन = $\frac{22}{7} \times (1)^2 \times 7 = 22$ घन मीटर।
चूँकि गणना 22 आ रही है, इसलिए कथन [As] भी सत्य है।
चूँकि कथन को सिद्ध करने के लिए हमने उसी सूत्र का उपयोग किया जो कारण में दिया है, इसलिए [R], [As] की सही व्याख्या है।
2. कथन [As] की जाँच:
आयतन = $\frac{22}{7} \times (1)^2 \times 7 = 22$ घन मीटर।
चूँकि गणना 22 आ रही है, इसलिए कथन [As] भी सत्य है।
चूँकि कथन को सिद्ध करने के लिए हमने उसी सूत्र का उपयोग किया जो कारण में दिया है, इसलिए [R], [As] की सही व्याख्या है।
Explanation in English:
1. Checking Reason [R]: The formula for the volume of a cylinder is $V = \pi r^2 h$. So, [R] is true.
2. Checking Assertion [As]:
Volume = $(22/7) \times (1)^2 \times 7 = 22$ cubic meters.
Since the calculated value matches the assertion, [As] is true.
As the assertion is proved using the reason's formula, [R] is the correct explanation of [As].
2. Checking Assertion [As]:
Volume = $(22/7) \times (1)^2 \times 7 = 22$ cubic meters.
Since the calculated value matches the assertion, [As] is true.
As the assertion is proved using the reason's formula, [R] is the correct explanation of [As].
🚀 way2 study smart Smart Tip:
Assertion-Reason सवालों में पहले दोनों को अलग-अलग चेक करें कि वे सही हैं या नहीं। फिर 'क्योंकि' (because) लगाकर देखें कि क्या कारण कथन को स्पष्ट कर रहा है।
Assertion-Reason सवालों में पहले दोनों को अलग-अलग चेक करें कि वे सही हैं या नहीं। फिर 'क्योंकि' (because) लगाकर देखें कि क्या कारण कथन को स्पष्ट कर रहा है।
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MATHS SOLUTION
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Mathematics | Q. 91
ΔABC जिसके शीर्ष A(7, -3), B(5, 3) और C(3, -1) हैं, तब माध्यिकाएं (Medians) होंगी-
(The medians of a ΔABC whose vertices are A(7, -3), B(5, 3) and C(3, -1) are-)
(The medians of a ΔABC whose vertices are A(7, -3), B(5, 3) and C(3, -1) are-)
(I) 5, √10, √10
(II) 5, 5, √10
(II) 5, 5, √10
✅ सही उत्तर (Correct Answer): B. केवल II
हिंदी में समाधान:
1. मध्य-बिंदु निकालें:
BC का मध्य बिंदु D = ((5+3)/2, (3-1)/2) = (4, 1)
AC का मध्य बिंदु E = ((7+3)/2, (-3-1)/2) = (5, -2)
AB का मध्य बिंदु F = ((7+5)/2, (-3+3)/2) = (6, 0)
2. माध्यिकाओं की लंबाई (दूरी सूत्र से):
माध्यिका AD = √[(7-4)² + (-3-1)²] = √[3² + (-4)²] = √[9 + 16] = 5
माध्यिका BE = √[(5-5)² + (3 - (-2))²] = √[0² + 5²] = 5
माध्यिका CF = √[(3-6)² + (-1-0)²] = √[(-3)² + (-1)²] = √[9 + 1] = √10
अतः माध्यिकाएं 5, 5, √10 हैं, जो लिस्ट (II) में दी गई हैं।
BC का मध्य बिंदु D = ((5+3)/2, (3-1)/2) = (4, 1)
AC का मध्य बिंदु E = ((7+3)/2, (-3-1)/2) = (5, -2)
AB का मध्य बिंदु F = ((7+5)/2, (-3+3)/2) = (6, 0)
2. माध्यिकाओं की लंबाई (दूरी सूत्र से):
माध्यिका AD = √[(7-4)² + (-3-1)²] = √[3² + (-4)²] = √[9 + 16] = 5
माध्यिका BE = √[(5-5)² + (3 - (-2))²] = √[0² + 5²] = 5
माध्यिका CF = √[(3-6)² + (-1-0)²] = √[(-3)² + (-1)²] = √[9 + 1] = √10
अतः माध्यिकाएं 5, 5, √10 हैं, जो लिस्ट (II) में दी गई हैं।
Explanation in English:
1. Find Mid-points:
Mid-point of BC (D) = (4, 1)
Mid-point of AC (E) = (5, -2)
Mid-point of AB (F) = (6, 0)
2. Length of Medians (Distance Formula):
Median AD = √[(7-4)² + (-3-1)²] = √25 = 5
Median BE = √[(5-5)² + (3+2)²] = √25 = 5
Median CF = √[(3-6)² + (-1-0)²] = √10 = √10
The lengths are 5, 5, √10, matching List (II).
Mid-point of BC (D) = (4, 1)
Mid-point of AC (E) = (5, -2)
Mid-point of AB (F) = (6, 0)
2. Length of Medians (Distance Formula):
Median AD = √[(7-4)² + (-3-1)²] = √25 = 5
Median BE = √[(5-5)² + (3+2)²] = √25 = 5
Median CF = √[(3-6)² + (-1-0)²] = √10 = √10
The lengths are 5, 5, √10, matching List (II).
🚀 way2 study smart Short Trick:
माध्यिका मतलब शीर्ष से सामने वाली भुजा के मध्य-बिंदु की दूरी। अगर दो शीर्षों से दूरियां (AD और BE) बराबर आ जाएं, तो समझ जाइए कि विकल्प (II) की ओर बढ़ना है!
माध्यिका मतलब शीर्ष से सामने वाली भुजा के मध्य-बिंदु की दूरी। अगर दो शीर्षों से दूरियां (AD और BE) बराबर आ जाएं, तो समझ जाइए कि विकल्प (II) की ओर बढ़ना है!
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Mathematics | Q. 92
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निम्नलिखित को सुमेलित कीजिए- (वृत्त में)
Match the following- (In circle)
Match the following- (In circle)
List - I
(a) O है
(b) AB है
(c) OB है
(d) AC है
(b) AB है
(c) OB है
(d) AC है
List - II
(I) त्रिज्या (Radius)
(II) केन्द्र (Centre)
(III) जीवा (Chord)
(IV) व्यास (Diameter)
(II) केन्द्र (Centre)
(III) जीवा (Chord)
(IV) व्यास (Diameter)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A
हिंदी में समाधान:
चित्र के अनुसार:
1. O वृत्त का मध्य बिंदु है, जिसे केन्द्र कहते हैं। (a-II)
2. AB परिधि के दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा है, जो केन्द्र से नहीं गुजर रही, इसे जीवा कहते हैं। (b-III)
3. OB केन्द्र से परिधि तक की दूरी है, इसे त्रिज्या कहते हैं। (c-I)
4. AC केन्द्र से होकर गुजरने वाली सबसे बड़ी जीवा है, इसे व्यास कहते हैं। (d-IV)
1. O वृत्त का मध्य बिंदु है, जिसे केन्द्र कहते हैं। (a-II)
2. AB परिधि के दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा है, जो केन्द्र से नहीं गुजर रही, इसे जीवा कहते हैं। (b-III)
3. OB केन्द्र से परिधि तक की दूरी है, इसे त्रिज्या कहते हैं। (c-I)
4. AC केन्द्र से होकर गुजरने वाली सबसे बड़ी जीवा है, इसे व्यास कहते हैं। (d-IV)
Explanation in English:
Based on the circle diagram:
1. O is the Centre. (a-II)
2. AB is a line segment joining two points on the circle, known as a Chord. (b-III)
3. OB is the distance from centre to the boundary, called the Radius. (c-I)
4. AC passes through the centre, making it the Diameter. (d-IV)
1. O is the Centre. (a-II)
2. AB is a line segment joining two points on the circle, known as a Chord. (b-III)
3. OB is the distance from centre to the boundary, called the Radius. (c-I)
4. AC passes through the centre, making it the Diameter. (d-IV)
🚀 way2 study smart Fact:
याद रखें: व्यास (Diameter) हमेशा त्रिज्या (Radius) का दोगुना होता है और यह वृत्त की सबसे लंबी जीवा (Chord) होती है!
याद रखें: व्यास (Diameter) हमेशा त्रिज्या (Radius) का दोगुना होता है और यह वृत्त की सबसे लंबी जीवा (Chord) होती है!
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MATHS SOLUTION
way2 study smart
Computer Science | Q. 93
निम्नलिखित में से कौन सा डेटा स्ट्रक्चर LIFO (Last In, First Out) सिद्धांत का पालन करता है?
(Which of the following data structures follows the LIFO (Last In, First Out) principle?)
(Which of the following data structures follows the LIFO (Last In, First Out) principle?)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): B. स्टैक (Stack)
हिंदी में समाधान:
LIFO (Last In, First Out) का मतलब है कि जो डेटा सबसे अंत में डाला गया है, वह सबसे पहले बाहर निकलेगा।
- स्टैक (Stack): इसका सबसे अच्छा उदाहरण 'प्लेटों का ढेर' है। आप सबसे ऊपर वाली प्लेट (जो आखिरी में रखी गई थी) को ही सबसे पहले उठाते हैं।
- क्यू (Queue): यह FIFO (First In, First Out) पर काम करता है, जैसे टिकट की लाइन।
- स्टैक (Stack): इसका सबसे अच्छा उदाहरण 'प्लेटों का ढेर' है। आप सबसे ऊपर वाली प्लेट (जो आखिरी में रखी गई थी) को ही सबसे पहले उठाते हैं।
- क्यू (Queue): यह FIFO (First In, First Out) पर काम करता है, जैसे टिकट की लाइन।
Explanation in English:
The LIFO principle means the last element added to the structure is the first one to be removed.
- Stack: It works like a pile of books. The book you put on top last is the one you pick up first.
- Queue: It follows FIFO (First In, First Out), where the first person in line is served first.
- Stack: It works like a pile of books. The book you put on top last is the one you pick up first.
- Queue: It follows FIFO (First In, First Out), where the first person in line is served first.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
याद रखने का तरीका: Stack = Sadi (शादी) की प्लेटों का ढेर!
Queue = Qatār (लाइन), जिसमें पहला आदमी पहले निकलता है।
याद रखने का तरीका: Stack = Sadi (शादी) की प्लेटों का ढेर!
Queue = Qatār (लाइन), जिसमें पहला आदमी पहले निकलता है।
— Way2 Study Smart (Aftab Sir) 💡
MATHS SOLUTION
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Mathematics | Q. 94
दिया है ∠POR = 3x और ∠QOR = 2x + 10, यदि POQ एक सरल रेखा है, तो x का मान है-
(Given ∠POR = 3x and ∠QOR = 2x + 10, If POQ is a straight line, then the value of x is-)
(Given ∠POR = 3x and ∠QOR = 2x + 10, If POQ is a straight line, then the value of x is-)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): B. 34°
हिंदी में समाधान:
चूंकि POQ एक सरल रेखा है, इसलिए इस पर बने कोणों का योग 180° होगा (रैखिक युग्म/Linear Pair)।
अतः, ∠POR + ∠QOR = 180°
3x + (2x + 10) = 180
5x + 10 = 180
5x = 170
x = 170 / 5 = 34°
अतः, ∠POR + ∠QOR = 180°
3x + (2x + 10) = 180
5x + 10 = 180
5x = 170
x = 170 / 5 = 34°
Explanation in English:
Since POQ is a straight line, the sum of the angles on it must be 180° (Linear Pair property).
Therefore, ∠POR + ∠QOR = 180°
3x + (2x + 10) = 180
5x + 10 = 180
5x = 170
x = 170 / 5 = 34°
Therefore, ∠POR + ∠QOR = 180°
3x + (2x + 10) = 180
5x + 10 = 180
5x = 170
x = 170 / 5 = 34°
🚀 way2 study smart Shortcut:
याद रखने का तरीका: 'सरल रेखा' मतलब सीधा 180!
बस दोनों को जोड़ो और 180 के बराबर रख दो।
3x + 2x = 5x
180 - 10 = 170
170 का 5 से भाग = 34. बस पलक झपकते ही जवाब!
याद रखने का तरीका: 'सरल रेखा' मतलब सीधा 180!
बस दोनों को जोड़ो और 180 के बराबर रख दो।
3x + 2x = 5x
180 - 10 = 170
170 का 5 से भाग = 34. बस पलक झपकते ही जवाब!
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MATHS SOLUTION
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Mathematics | Q. 95
यह प्रश्न दो कथनों, जिन्हें अभिकथन [As] और कारण [R] कहा गया है, से मिलकर बना है:
अभिकथन [As]: समीकरण $3x + 4y = 12$ और $6x + 8y = 24$ असंगत (Inconsistent) हैं।
(Assertion [As]: The equations $3x + 4y = 12$ and $6x + 8y = 24$ are inconsistent.)
कारण [R]: असंगत समीकरणों का कोई हल नहीं होता है।
(Reason [R]: Inconsistent equations have no common solution.)
(Assertion [As]: The equations $3x + 4y = 12$ and $6x + 8y = 24$ are inconsistent.)
कारण [R]: असंगत समीकरणों का कोई हल नहीं होता है।
(Reason [R]: Inconsistent equations have no common solution.)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): D
हिंदी में समाधान:
1. अभिकथन [As] की जाँच:
समीकरणों के गुणांकों की तुलना करने पर: $a_1/a_2 = 3/6 = 1/2$, $b_1/b_2 = 4/8 = 1/2$, $c_1/c_2 = 12/24 = 1/2$.
चूँकि $a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2$ है, तो ये रेखाएँ **संपाती (Coincident)** हैं और इनके अनंत हल होंगे। अतः ये समीकरण **संगत (Consistent)** हैं, असंगत नहीं। इसलिए [As] असत्य है।
2. कारण [R] की जाँच:
यह परिभाषा के अनुसार सही है कि असंगत समीकरणों का कोई हल नहीं होता। इसलिए [R] सत्य है।
समीकरणों के गुणांकों की तुलना करने पर: $a_1/a_2 = 3/6 = 1/2$, $b_1/b_2 = 4/8 = 1/2$, $c_1/c_2 = 12/24 = 1/2$.
चूँकि $a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2$ है, तो ये रेखाएँ **संपाती (Coincident)** हैं और इनके अनंत हल होंगे। अतः ये समीकरण **संगत (Consistent)** हैं, असंगत नहीं। इसलिए [As] असत्य है।
2. कारण [R] की जाँच:
यह परिभाषा के अनुसार सही है कि असंगत समीकरणों का कोई हल नहीं होता। इसलिए [R] सत्य है।
Explanation in English:
1. Checking Assertion [As]:
Comparing coefficients: $a_1/a_2 = 3/6 = 1/2$, $b_1/b_2 = 4/8 = 1/2$, $c_1/c_2 = 12/24 = 1/2$.
Since $a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2$, the lines are **Coincident** and have infinitely many solutions. This makes them **Consistent**. Thus, [As] is False.
2. Checking Reason [R]:
By definition, inconsistent equations have no solution. Thus, [R] is True.
Comparing coefficients: $a_1/a_2 = 3/6 = 1/2$, $b_1/b_2 = 4/8 = 1/2$, $c_1/c_2 = 12/24 = 1/2$.
Since $a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2$, the lines are **Coincident** and have infinitely many solutions. This makes them **Consistent**. Thus, [As] is False.
2. Checking Reason [R]:
By definition, inconsistent equations have no solution. Thus, [R] is True.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
याद रखें:
- **संगत (Consistent):** अद्वितीय हल या अनंत हल।
- **असंगत (Inconsistent):** कोई हल नहीं (समानांतर रेखाएँ)।
यहाँ $3x+4y=12$ को 2 से गुणा करने पर वही दूसरा समीकरण मिल रहा है, मतलब रेखाएँ एक के ऊपर एक हैं!
याद रखें:
- **संगत (Consistent):** अद्वितीय हल या अनंत हल।
- **असंगत (Inconsistent):** कोई हल नहीं (समानांतर रेखाएँ)।
यहाँ $3x+4y=12$ को 2 से गुणा करने पर वही दूसरा समीकरण मिल रहा है, मतलब रेखाएँ एक के ऊपर एक हैं!
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Mathematics | Q. 96
निम्नलिखित रेडियन कोणों को बढ़ते क्रम (Increasing Order) में व्यवस्थित करें:
(Arrange the following Radian angles in increasing order-)
(Arrange the following Radian angles in increasing order-)
- (a) $5\pi/3$
- (b) $3\pi/5$
- (c) $\pi/2$
- (d) $5\pi/4$
- (e) $3\pi/2$
✅ सही उत्तर (Correct Answer): C. c < b < d < e < a
हिंदी में समाधान:
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए $\pi = 180^\circ$ रखें:
(a) $5 \times 180 / 3 = 300^\circ$
(b) $3 \times 180 / 5 = 108^\circ$
(c) $180 / 2 = 90^\circ$
(d) $5 \times 180 / 4 = 225^\circ$
(e) $3 \times 180 / 2 = 270^\circ$
बढ़ता क्रम: $90^\circ < 108^\circ < 225^\circ < 270^\circ < 300^\circ$
यानी: c < b < d < e < a
(a) $5 \times 180 / 3 = 300^\circ$
(b) $3 \times 180 / 5 = 108^\circ$
(c) $180 / 2 = 90^\circ$
(d) $5 \times 180 / 4 = 225^\circ$
(e) $3 \times 180 / 2 = 270^\circ$
बढ़ता क्रम: $90^\circ < 108^\circ < 225^\circ < 270^\circ < 300^\circ$
यानी: c < b < d < e < a
Explanation in English:
Substitute $\pi = 180^\circ$ to convert radians into degrees:
(a) $5\pi/3 = 300^\circ$ | (b) $3\pi/5 = 108^\circ$
(c) $\pi/2 = 90^\circ$ | (d) $5\pi/4 = 225^\circ$
(e) $3\pi/2 = 270^\circ$
Increasing order: $90^\circ < 108^\circ < 225^\circ < 270^\circ < 300^\circ$
Which is: c < b < d < e < a
(a) $5\pi/3 = 300^\circ$ | (b) $3\pi/5 = 108^\circ$
(c) $\pi/2 = 90^\circ$ | (d) $5\pi/4 = 225^\circ$
(e) $3\pi/2 = 270^\circ$
Increasing order: $90^\circ < 108^\circ < 225^\circ < 270^\circ < 300^\circ$
Which is: c < b < d < e < a
🚀 way2 study smart Smart Tip:
जब भी तुलना करनी हो, $\pi$ को $180$ मान लें। इससे कैलकुलेशन आसान हो जाती है और गलती की संभावना कम रहती है!
जब भी तुलना करनी हो, $\pi$ को $180$ मान लें। इससे कैलकुलेशन आसान हो जाती है और गलती की संभावना कम रहती है!
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MATHS SOLUTION
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Mathematics | Q. 97
यह प्रश्न दो कथनों, जिन्हें अभिकथन [As] और कारण [R] कहा गया है, से मिलकर बना है:
अभिकथन [As]: बहुपद $f(x) = x^2 - 5x + 6$ के शून्यक 2 और 3 हैं।
(Assertion [As]: The zeros of the polynomial $f(x) = x^2 - 5x + 6$ are 2 and 3.)
कारण [R]: बहुपद के शून्यक द्विघात सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किए जा सकते हैं।
(Reason [R]: The zeros of a polynomial can be found using the quadratic formula.)
(Assertion [As]: The zeros of the polynomial $f(x) = x^2 - 5x + 6$ are 2 and 3.)
कारण [R]: बहुपद के शून्यक द्विघात सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किए जा सकते हैं।
(Reason [R]: The zeros of a polynomial can be found using the quadratic formula.)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A
हिंदी में समाधान:
1. अभिकथन [As] की जाँच:
$x^2 - 5x + 6 = 0$ को हल करने पर:
$x^2 - 2x - 3x + 6 = 0 \Rightarrow x(x-2) - 3(x-2) = 0$
$(x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2, 3$. अतः [As] सत्य है।
2. कारण [R] की जाँच:
हाँ, द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके किसी भी द्विघात बहुपद के शून्यक निकाले जा सकते हैं। अतः [R] भी सत्य है और यह [As] को निकालने का एक तरीका (व्याख्या) है।
$x^2 - 5x + 6 = 0$ को हल करने पर:
$x^2 - 2x - 3x + 6 = 0 \Rightarrow x(x-2) - 3(x-2) = 0$
$(x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2, 3$. अतः [As] सत्य है।
2. कारण [R] की जाँच:
हाँ, द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके किसी भी द्विघात बहुपद के शून्यक निकाले जा सकते हैं। अतः [R] भी सत्य है और यह [As] को निकालने का एक तरीका (व्याख्या) है।
Explanation in English:
1. Checking Assertion [As]:
Solving $x^2 - 5x + 6 = 0$:
Factors are $(x-2)$ and $(x-3)$, which gives $x = 2$ and $x = 3$. Thus, [As] is True.
2. Checking Reason [R]:
The quadratic formula is a valid universal method to find the zeros of any quadratic polynomial. Thus, [R] is true and correctly explains how the zeros in [As] can be derived.
Solving $x^2 - 5x + 6 = 0$:
Factors are $(x-2)$ and $(x-3)$, which gives $x = 2$ and $x = 3$. Thus, [As] is True.
2. Checking Reason [R]:
The quadratic formula is a valid universal method to find the zeros of any quadratic polynomial. Thus, [R] is true and correctly explains how the zeros in [As] can be derived.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
अगर गुणा करने पर 6 और जोड़ने पर -5 चाहिए, तो संख्याएँ -2 और -3 होंगी। शून्यक निकालते समय इनके साइन बदल जाते हैं, इसलिए उत्तर +2 और +3 होगा!
अगर गुणा करने पर 6 और जोड़ने पर -5 चाहिए, तो संख्याएँ -2 और -3 होंगी। शून्यक निकालते समय इनके साइन बदल जाते हैं, इसलिए उत्तर +2 और +3 होगा!
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Mathematics | Q. 98
यह प्रश्न दो कथनों, जिन्हें अभिकथन [As] और कारण [R] कहा गया है, से मिलकर बना है:
अभिकथन [As]: दो गोलों के आयतन का अनुपात 27:8 है, तब उनके वक्र पृष्ठ के क्षेत्रफल का अनुपात 3:2 है।
(Assertion [As]: The volume of two spheres are in the ratio 27:8 then their surface areas are in the ratio 3:2.)
कारण [R]: गोले का आयतन = $\frac{4}{3}\pi R^3$,
गोले के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = $4\pi R^2$.
(Assertion [As]: The volume of two spheres are in the ratio 27:8 then their surface areas are in the ratio 3:2.)
कारण [R]: गोले का आयतन = $\frac{4}{3}\pi R^3$,
गोले के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = $4\pi R^2$.
✅ सही उत्तर (Correct Answer): D
हिंदी में समाधान:
1. अभिकथन [As] की जाँच:
आयतन का अनुपात $V_1/V_2 = (R_1/R_2)^3 = 27/8$.
अतः त्रिज्याओं का अनुपात $R_1/R_2 = \sqrt[3]{27/8} = 3/2$.
अब, क्षेत्रफल का अनुपात $A_1/A_2 = (R_1/R_2)^2 = (3/2)^2 = 9/4$.
चूंकि अभिकथन में 3:2 दिया है (जो गलत है), इसलिए [As] असत्य है।
2. कारण [R] की जाँच:
सूत्र बिल्कुल सही दिए गए हैं। अतः [R] सत्य है।
आयतन का अनुपात $V_1/V_2 = (R_1/R_2)^3 = 27/8$.
अतः त्रिज्याओं का अनुपात $R_1/R_2 = \sqrt[3]{27/8} = 3/2$.
अब, क्षेत्रफल का अनुपात $A_1/A_2 = (R_1/R_2)^2 = (3/2)^2 = 9/4$.
चूंकि अभिकथन में 3:2 दिया है (जो गलत है), इसलिए [As] असत्य है।
2. कारण [R] की जाँच:
सूत्र बिल्कुल सही दिए गए हैं। अतः [R] सत्य है।
Explanation in English:
1. Checking Assertion [As]:
Ratio of volumes $V_1/V_2 = (R_1/R_2)^3 = 27/8$.
Taking cube root, $R_1/R_2 = 3/2$.
Ratio of surface areas $A_1/A_2 = (R_1/R_2)^2 = (3/2)^2 = 9/4$.
The assertion states 3:2, which is incorrect. Thus, [As] is False.
2. Checking Reason [R]:
The formulas for volume and surface area of a sphere are correctly stated. Thus, [R] is True.
Ratio of volumes $V_1/V_2 = (R_1/R_2)^3 = 27/8$.
Taking cube root, $R_1/R_2 = 3/2$.
Ratio of surface areas $A_1/A_2 = (R_1/R_2)^2 = (3/2)^2 = 9/4$.
The assertion states 3:2, which is incorrect. Thus, [As] is False.
2. Checking Reason [R]:
The formulas for volume and surface area of a sphere are correctly stated. Thus, [R] is True.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
त्रिज्या (Radius) → $R$
क्षेत्रफल (Area) → $R^2$
आयतन (Volume) → $R^3$
अगर आयतन 27:8 है, तो त्रिज्या 3:2 होगी और क्षेत्रफल 9:4 होगा!
त्रिज्या (Radius) → $R$
क्षेत्रफल (Area) → $R^2$
आयतन (Volume) → $R^3$
अगर आयतन 27:8 है, तो त्रिज्या 3:2 होगी और क्षेत्रफल 9:4 होगा!
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Mathematics | Q. 99
किसी दिए गए परिस्थिति में किसी घटना के होने की संभावना (Probability) खोजने के लिए निम्नलिखित चरणों को सही क्रम में व्यवस्थित करें:
(a) कुल संभावित परिणामों की पहचान करें।
(b) अनुकूल परिणामों की संख्या की पहचान करें।
(c) प्रायिकता सूत्र लागू करें।
(d) सत्यापित करें कि परिणाम समान रूप से संभावित और परस्पर अपवर्जी हैं।
(e) प्रायिकता मान की व्याख्या करें और जाँचें कि यह 0 और 1 के बीच है या नहीं।
(b) अनुकूल परिणामों की संख्या की पहचान करें।
(c) प्रायिकता सूत्र लागू करें।
(d) सत्यापित करें कि परिणाम समान रूप से संभावित और परस्पर अपवर्जी हैं।
(e) प्रायिकता मान की व्याख्या करें और जाँचें कि यह 0 और 1 के बीच है या नहीं।
✅ सही उत्तर (Correct Answer): C
हिंदी में समाधान:
प्रायिकता निकालने का वैज्ञानिक और तार्किक क्रम इस प्रकार है:
1. (d) सबसे पहले यह सुनिश्चित करना कि घटनाएँ 'Equally Likely' हैं।
2. (a) प्रयोग के कुल संभावित परिणामों (Total Outcomes) को गिनना।
3. (b) अपनी पसंद की घटना के अनुकूल परिणामों (Favourable Outcomes) को गिनना।
4. (c) सूत्र [अनुकूल / कुल] का उपयोग करना।
5. (e) अंत में उत्तर को चेक करना कि वह 0 से 1 की सीमा में है।
1. (d) सबसे पहले यह सुनिश्चित करना कि घटनाएँ 'Equally Likely' हैं।
2. (a) प्रयोग के कुल संभावित परिणामों (Total Outcomes) को गिनना।
3. (b) अपनी पसंद की घटना के अनुकूल परिणामों (Favourable Outcomes) को गिनना।
4. (c) सूत्र [अनुकूल / कुल] का उपयोग करना।
5. (e) अंत में उत्तर को चेक करना कि वह 0 से 1 की सीमा में है।
Explanation in English:
The logical sequence to find probability is:
1. (d) Verifying the nature of outcomes (Equally likely).
2. (a) Identifying total possible outcomes.
3. (b) Identifying favorable outcomes.
4. (c) Applying the formula $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$.
5. (e) Interpreting and checking if the value lies between 0 and 1.
1. (d) Verifying the nature of outcomes (Equally likely).
2. (a) Identifying total possible outcomes.
3. (b) Identifying favorable outcomes.
4. (c) Applying the formula $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$.
5. (e) Interpreting and checking if the value lies between 0 and 1.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
याद रखें: प्रायिकता का उत्तर कभी भी **1 से बड़ा** या **माइनस (-)** में नहीं हो सकता! अगर ऐसा आ रहा है, तो समझ लीजिए कहीं गलती हुई है।
याद रखें: प्रायिकता का उत्तर कभी भी **1 से बड़ा** या **माइनस (-)** में नहीं हो सकता! अगर ऐसा आ रहा है, तो समझ लीजिए कहीं गलती हुई है।
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Mathematics | Q. 100
ΔABC में, समकोण B पर AB = 24 से.मी., BC = 7 से.मी. है। तब सभी त्रिकोणमिति अनुपात ज्ञात कीजिए और इन्हें आरोही क्रम (Ascending order) में व्यवस्थित करें:
- (a) sin A
- (b) cos A
- (c) tan C
- (d) cosec C
- (e) tan A
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A. a < e < b < d < c
हिंदी में समाधान:
1. कर्ण (Hypotenuse) निकालें:
AC = √(AB² + BC²) = √(24² + 7²) = √(576 + 49) = √625 = 25 cm
2. मानों की गणना:
(a) sin A = BC/AC = 7/25 = 0.28
(b) cos A = AB/AC = 24/25 = 0.96
(c) tan C = AB/BC = 24/7 ≈ 3.42
(d) cosec C = AC/AB = 25/24 ≈ 1.04
(e) tan A = BC/AB = 7/24 ≈ 0.29
आरोही क्रम: 0.28 < 0.29 < 0.96 < 1.04 < 3.42
यानी: a < e < b < d < c
AC = √(AB² + BC²) = √(24² + 7²) = √(576 + 49) = √625 = 25 cm
2. मानों की गणना:
(a) sin A = BC/AC = 7/25 = 0.28
(b) cos A = AB/AC = 24/25 = 0.96
(c) tan C = AB/BC = 24/7 ≈ 3.42
(d) cosec C = AC/AB = 25/24 ≈ 1.04
(e) tan A = BC/AB = 7/24 ≈ 0.29
आरोही क्रम: 0.28 < 0.29 < 0.96 < 1.04 < 3.42
यानी: a < e < b < d < c
Explanation in English:
1. Hypotenuse calculation:
Using Pythagoras theorem, AC = √(24² + 7²) = 25 cm.
2. Calculating values:
sin A = 7/25 (0.28) | tan A = 7/24 (0.29) | cos A = 24/25 (0.96) | cosec C = 25/24 (1.04) | tan C = 24/7 (3.42).
Increasing order: a < e < b < d < c
Using Pythagoras theorem, AC = √(24² + 7²) = 25 cm.
2. Calculating values:
sin A = 7/25 (0.28) | tan A = 7/24 (0.29) | cos A = 24/25 (0.96) | cosec C = 25/24 (1.04) | tan C = 24/7 (3.42).
Increasing order: a < e < b < d < c
🚀 way2 study smart Trick:
हमेशा याद रखें: जिस कोण (Angle) की बात हो रही है, उसके सामने वाली भुजा 'लंब' (Perpendicular) होती है।
कोण A के लिए लंब = 7, जबकि कोण C के लिए लंब = 24.
हमेशा याद रखें: जिस कोण (Angle) की बात हो रही है, उसके सामने वाली भुजा 'लंब' (Perpendicular) होती है।
कोण A के लिए लंब = 7, जबकि कोण C के लिए लंब = 24.
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Mathematics | Q. 101
एक वृत्त की त्रिज्या 15 से.मी. है, उसकी परिधि पर 11 से.मी. लम्बा चाप केन्द्र पर कितने अंश का कोण बनाएगा?
(The radius of a circle is 15 cm. what is the angle at the centre of an arc 11 cm long on its circumference?)
(The radius of a circle is 15 cm. what is the angle at the centre of an arc 11 cm long on its circumference?)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): C. 42°
हिंदी में समाधान:
दिया है: त्रिज्या ($r$) = 15 cm, चाप की लम्बाई ($l$) = 11 cm.
चाप की लम्बाई का सूत्र: $l = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$
मान रखने पर: $11 = \frac{\theta}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 15$
$\theta = \frac{11 \times 360 \times 7}{2 \times 22 \times 15}$
$\theta = \frac{1 \times 360 \times 7}{2 \times 2 \times 15} = \frac{360 \times 7}{60}$
$\theta = 6 \times 7 = \mathbf{42^\circ}$
चाप की लम्बाई का सूत्र: $l = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$
मान रखने पर: $11 = \frac{\theta}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 15$
$\theta = \frac{11 \times 360 \times 7}{2 \times 22 \times 15}$
$\theta = \frac{1 \times 360 \times 7}{2 \times 2 \times 15} = \frac{360 \times 7}{60}$
$\theta = 6 \times 7 = \mathbf{42^\circ}$
Explanation in English:
Given: Radius ($r$) = 15 cm, Arc length ($l$) = 11 cm.
Formula: $l = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$
$11 = \frac{\theta}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 15$
Rearranging for $\theta$:
$\theta = \frac{11 \times 360 \times 7}{44 \times 15} = \frac{360 \times 7}{4 \times 15} = \frac{360 \times 7}{60}$
$\theta = \mathbf{42^\circ}$
Formula: $l = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$
$11 = \frac{\theta}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 15$
Rearranging for $\theta$:
$\theta = \frac{11 \times 360 \times 7}{44 \times 15} = \frac{360 \times 7}{4 \times 15} = \frac{360 \times 7}{60}$
$\theta = \mathbf{42^\circ}$
🚀 way2 study smart Shortcut:
याद रखें: $\text{Angle (in Radians)} = \frac{\text{Arc}}{\text{Radius}}$
$\theta = \frac{11}{15} \text{ radians}$.
डिग्री में बदलने के लिए $\frac{180}{\pi}$ से गुणा करें:
$\frac{11}{15} \times \frac{180}{22/7} = \frac{11 \times 180 \times 7}{15 \times 22} = \frac{12 \times 7}{2} = \mathbf{42^\circ}$.
याद रखें: $\text{Angle (in Radians)} = \frac{\text{Arc}}{\text{Radius}}$
$\theta = \frac{11}{15} \text{ radians}$.
डिग्री में बदलने के लिए $\frac{180}{\pi}$ से गुणा करें:
$\frac{11}{15} \times \frac{180}{22/7} = \frac{11 \times 180 \times 7}{15 \times 22} = \frac{12 \times 7}{2} = \mathbf{42^\circ}$.
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Mathematics | Q. 102
द्विघात समीकरण $\sqrt{3}x^2 + 10x + 7\sqrt{3} = 0$ के मूल (Roots) हैं-
(Root of quadratic equation $\sqrt{3}x^2 + 10x + 7\sqrt{3} = 0$ is-)
(Root of quadratic equation $\sqrt{3}x^2 + 10x + 7\sqrt{3} = 0$ is-)
(J) $-\sqrt{3}$
(K) $+\sqrt{3}$
(L) $+7/\sqrt{3}$
(M) $-7/\sqrt{3}$
(K) $+\sqrt{3}$
(L) $+7/\sqrt{3}$
(M) $-7/\sqrt{3}$
✅ सही उत्तर (Correct Answer): D. केवल J और M
हिंदी में समाधान:
1. मध्य पद का बँटवारा (Splitting the middle term):
गुणा करने पर: $\sqrt{3} \times 7\sqrt{3} = 21$ और जोड़ने पर: $10$.
ऐसी दो संख्याएँ 7 और 3 हैं।
$\sqrt{3}x^2 + 7x + 3x + 7\sqrt{3} = 0$
$x(\sqrt{3}x + 7) + \sqrt{3}(\sqrt{3}x + 7) = 0$
$(x + \sqrt{3})(\sqrt{3}x + 7) = 0$
अतः मूल हैं: $x = -\sqrt{3}$ (J) और $x = -7/\sqrt{3}$ (M).
गुणा करने पर: $\sqrt{3} \times 7\sqrt{3} = 21$ और जोड़ने पर: $10$.
ऐसी दो संख्याएँ 7 और 3 हैं।
$\sqrt{3}x^2 + 7x + 3x + 7\sqrt{3} = 0$
$x(\sqrt{3}x + 7) + \sqrt{3}(\sqrt{3}x + 7) = 0$
$(x + \sqrt{3})(\sqrt{3}x + 7) = 0$
अतः मूल हैं: $x = -\sqrt{3}$ (J) और $x = -7/\sqrt{3}$ (M).
Explanation in English:
1. Factorization:
Product needed: $\sqrt{3} \cdot 7\sqrt{3} = 21$. Sum needed: $10$.
Numbers are $7$ and $3$.
$\sqrt{3}x^2 + 7x + 3x + 7\sqrt{3} = 0$
$x(\sqrt{3}x + 7) + \sqrt{3}(\sqrt{3}x + 7) = 0$
$(x + \sqrt{3})(\sqrt{3}x + 7) = 0$
Roots: $x = -\sqrt{3}$ (J) and $x = -7/\sqrt{3}$ (M).
Product needed: $\sqrt{3} \cdot 7\sqrt{3} = 21$. Sum needed: $10$.
Numbers are $7$ and $3$.
$\sqrt{3}x^2 + 7x + 3x + 7\sqrt{3} = 0$
$x(\sqrt{3}x + 7) + \sqrt{3}(\sqrt{3}x + 7) = 0$
$(x + \sqrt{3})(\sqrt{3}x + 7) = 0$
Roots: $x = -\sqrt{3}$ (J) and $x = -7/\sqrt{3}$ (M).
🚀 way2 study smart Trick:
अगर समीकरण के सभी पद **Positive (+)** हैं, तो दोनों मूल हमेशा **Negative (-)** होंगे।
विकल्पों में केवल J और M ही negative हैं, इसलिए आप बिना हल किए सीधे 'D' चुन सकते थे!
अगर समीकरण के सभी पद **Positive (+)** हैं, तो दोनों मूल हमेशा **Negative (-)** होंगे।
विकल्पों में केवल J और M ही negative हैं, इसलिए आप बिना हल किए सीधे 'D' चुन सकते थे!
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MATHS SOLUTION
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Mathematics | Q. 103
एक घनाकार बर्फ की एक भुजा 3 सेमी है। उस घनाकार बर्फ का आयतन कितना होगा?
(A side of an Ice cube is 3 cm. What is the volume of this Ice cube?)
(A side of an Ice cube is 3 cm. What is the volume of this Ice cube?)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): D. 27 घन सेमी
हिंदी में समाधान:
दिया है: घन की भुजा (a) = 3 सेमी।
घन के आयतन का सूत्र: $V = a^3$ (भुजा × भुजा × भुजा)
$V = 3 \times 3 \times 3$
$V = \mathbf{27 \text{ घन सेमी}}$
घन के आयतन का सूत्र: $V = a^3$ (भुजा × भुजा × भुजा)
$V = 3 \times 3 \times 3$
$V = \mathbf{27 \text{ घन सेमी}}$
Explanation in English:
Given: Side of the cube (a) = 3 cm.
Formula for Volume of a Cube: $V = a^3$
$V = 3 \times 3 \times 3$
$V = \mathbf{27 \text{ cubic cm}}$
Formula for Volume of a Cube: $V = a^3$
$V = 3 \times 3 \times 3$
$V = \mathbf{27 \text{ cubic cm}}$
🚀 way2 study smart Shortcut:
याद रखें: आयतन (Volume) हमेशा 3D होता है, इसलिए दी गई भुजा का Cube (घन) निकालें।
3 का घन (3³) = 27. बिना पेन उठाए सीधा जवाब!
याद रखें: आयतन (Volume) हमेशा 3D होता है, इसलिए दी गई भुजा का Cube (घन) निकालें।
3 का घन (3³) = 27. बिना पेन उठाए सीधा जवाब!
— Way2 Study Smart (Aftab Sir) 💡
MATHS SOLUTION
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Mathematics | Q. 104
यह प्रश्न दो कथनों, अभिकथन [As] और कारण [R] पर आधारित है:
अभिकथन [As]: दिए गए डेटा का माध्य, बहुलक और माध्यिका हमेशा भिन्न होंगे।
(Assertion [As]: The mean, mode and median of given data will always be different.)
कारण [R]: माध्य की गणना सभी प्रेक्षणों के योगफल को कुल प्रेक्षणों की संख्या से भाग देकर की जाती है।
(Reason [R]: Mean is calculated as the sum of all observations divided by the numbers of observations.)
(Assertion [As]: The mean, mode and median of given data will always be different.)
कारण [R]: माध्य की गणना सभी प्रेक्षणों के योगफल को कुल प्रेक्षणों की संख्या से भाग देकर की जाती है।
(Reason [R]: Mean is calculated as the sum of all observations divided by the numbers of observations.)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A
हिंदी में समाधान:
1. [As] की जाँच: व्यावहारिक डेटा में ये तीनों मान आमतौर पर अलग-अलग होते हैं, इसलिए इसे सत्य माना गया है।
2. [R] की जाँच: माध्य का सूत्र (योग / संख्या) बिल्कुल सही है।
निष्कर्ष: दोनों कथन अपनी जगह सही हैं, लेकिन माध्य का सूत्र यह नहीं समझाता कि तीनों मान हमेशा अलग क्यों होंगे। इसलिए [R], [As] की व्याख्या नहीं है।
2. [R] की जाँच: माध्य का सूत्र (योग / संख्या) बिल्कुल सही है।
निष्कर्ष: दोनों कथन अपनी जगह सही हैं, लेकिन माध्य का सूत्र यह नहीं समझाता कि तीनों मान हमेशा अलग क्यों होंगे। इसलिए [R], [As] की व्याख्या नहीं है।
Explanation in English:
1. Assertion [As]: Practically, mean, median, and mode result in different values for grouped data.
2. Reason [R]: The definition of Mean is scientifically correct.
Conclusion: Both are true, but the definition of Mean doesn't explain why the three measures must be different. Hence, [R] is not the explanation for [As].
2. Reason [R]: The definition of Mean is scientifically correct.
Conclusion: Both are true, but the definition of Mean doesn't explain why the three measures must be different. Hence, [R] is not the explanation for [As].
🚀 way2 study smart Smart Tip:
हमेशा याद रखें: माध्य (Mean) औसत है, माध्यिका (Median) बीच का मान है, और बहुलक (Mode) सबसे ज्यादा बार आने वाला मान है।
हमेशा याद रखें: माध्य (Mean) औसत है, माध्यिका (Median) बीच का मान है, और बहुलक (Mode) सबसे ज्यादा बार आने वाला मान है।
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MATHS SOLUTION
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Mathematics | Q. 105
निम्नलिखित को आरोही क्रम (Ascending order) में जमाइए:
(Arrange the following to ascending order-)
(Arrange the following to ascending order-)
- (a) √.001936
- (b) √.00001936
- (c) √1936
- (d) √0.1936
- (e) √19.36
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A. b < a < d < e < c
हिंदी में समाधान:
सिद्धांत: दशमलव के बाद अंकों की संख्या जितनी अधिक होगी, संख्या उतनी ही छोटी होगी।
तुलना करने पर:
1. (b) में दशमलव के बाद सबसे अधिक 8 अंक हैं (0.00001936) → सबसे छोटा
2. (a) में 6 अंक हैं (0.001936)
3. (d) में 4 अंक हैं (0.1936)
4. (e) में 2 अंक हैं (19.36)
5. (c) एक पूर्णांक है (1936) → सबसे बड़ा
अतः सही क्रम: b < a < d < e < c है।
तुलना करने पर:
1. (b) में दशमलव के बाद सबसे अधिक 8 अंक हैं (0.00001936) → सबसे छोटा
2. (a) में 6 अंक हैं (0.001936)
3. (d) में 4 अंक हैं (0.1936)
4. (e) में 2 अंक हैं (19.36)
5. (c) एक पूर्णांक है (1936) → सबसे बड़ा
अतः सही क्रम: b < a < d < e < c है।
Explanation in English:
The magnitude of a number decreases as the number of decimal places increases.
Comparing the values:
- (b) has the most decimal places, making it the smallest.
- (c) is a whole number, making it the largest.
Thus, the ascending order is: b < a < d < e < c.
Comparing the values:
- (b) has the most decimal places, making it the smallest.
- (c) is a whole number, making it the largest.
Thus, the ascending order is: b < a < d < e < c.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
दशमलव के वर्गमूल में 'जोड़ों' (pairs) का ध्यान रखें। वर्गमूल के अंदर 2 स्थान का मतलब बाहर 1 स्थान होता है। बस दशमलव की स्थिति देखकर आप पल भर में उत्तर जान सकते हैं!
दशमलव के वर्गमूल में 'जोड़ों' (pairs) का ध्यान रखें। वर्गमूल के अंदर 2 स्थान का मतलब बाहर 1 स्थान होता है। बस दशमलव की स्थिति देखकर आप पल भर में उत्तर जान सकते हैं!
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MATHS SOLUTION
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Mathematics | Q. 106
यदि $5 \tan \theta = 4$ है, तो $\frac{5 \sin \theta - 3 \cos \theta}{\sin \theta + 2 \cos \theta}$ का मान होगा:
(If $5 \tan \theta = 4$ then the value of $\frac{5 \sin \theta - 3 \cos \theta}{\sin \theta + 2 \cos \theta}$ is-)
(If $5 \tan \theta = 4$ then the value of $\frac{5 \sin \theta - 3 \cos \theta}{\sin \theta + 2 \cos \theta}$ is-)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): C. 5/14
हिंदी में समाधान:
1. दिया है: $5 \tan \theta = 4 \Rightarrow \tan \theta = 4/5$
2. ट्रिक: दिए गए व्यंजक के अंश और हर दोनों को $\cos \theta$ से भाग दें।
व्यंजक बन जाएगा: $\frac{5 \tan \theta - 3}{\tan \theta + 2}$
3. मान रखें: $\frac{5(4/5) - 3}{(4/5) + 2} = \frac{4 - 3}{(4+10)/5} = \frac{1}{14/5} = \mathbf{5/14}$
2. ट्रिक: दिए गए व्यंजक के अंश और हर दोनों को $\cos \theta$ से भाग दें।
व्यंजक बन जाएगा: $\frac{5 \tan \theta - 3}{\tan \theta + 2}$
3. मान रखें: $\frac{5(4/5) - 3}{(4/5) + 2} = \frac{4 - 3}{(4+10)/5} = \frac{1}{14/5} = \mathbf{5/14}$
Explanation in English:
1. Given: $\tan \theta = 4/5$.
2. Smart Move: Divide numerator and denominator of the expression by $\cos \theta$.
The expression transforms into: $\frac{5 \tan \theta - 3}{\tan \theta + 2}$.
3. Substitution: $\frac{5(4/5) - 3}{(4/5) + 2} = \frac{1}{14/5} = \mathbf{5/14}$.
2. Smart Move: Divide numerator and denominator of the expression by $\cos \theta$.
The expression transforms into: $\frac{5 \tan \theta - 3}{\tan \theta + 2}$.
3. Substitution: $\frac{5(4/5) - 3}{(4/5) + 2} = \frac{1}{14/5} = \mathbf{5/14}$.
🚀 way2 study smart Shortcut:
जब भी सवाल $\sin, \cos$ के रूप में हो और $\tan$ की वैल्यू पता हो, तो सीधा Divide by Cos करें। इससे सवाल बहुत छोटा हो जाता है!
जब भी सवाल $\sin, \cos$ के रूप में हो और $\tan$ की वैल्यू पता हो, तो सीधा Divide by Cos करें। इससे सवाल बहुत छोटा हो जाता है!
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Mathematics | Q. 107
निम्नलिखित को पढ़ें और सही विकल्प चुनें:
(Read the following and choose the correct option-)
(Read the following and choose the correct option-)
(a) बहुलक (Mode) = 3 × माध्यिका (Median) - 2 × माध्य (Mean)
(b) माध्यिका वह मान है जिसकी बारंबारता न्यूनतम होती है।
(c) संचयी बारंबारता वक्र को Ogive भी कहा जाता है।
(b) माध्यिका वह मान है जिसकी बारंबारता न्यूनतम होती है।
(c) संचयी बारंबारता वक्र को Ogive भी कहा जाता है।
✅ सही उत्तर (Correct Answer): C. a और c सत्य हैं
हिंदी में समाधान:
1. कथन (a) सत्य है: यह माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच का अनुभवजन्य संबंध (Empirical relationship) है।
2. कथन (b) असत्य है: बहुलक (Mode) वह मान होता है जिसकी बारंबारता अधिकतम होती है, न्यूनतम नहीं।
3. कथन (c) सत्य है: Cumulative frequency curve को ही सांख्यिकी में Ogive कहा जाता है।
अतः (a) और (c) सही विकल्प हैं।
2. कथन (b) असत्य है: बहुलक (Mode) वह मान होता है जिसकी बारंबारता अधिकतम होती है, न्यूनतम नहीं।
3. कथन (c) सत्य है: Cumulative frequency curve को ही सांख्यिकी में Ogive कहा जाता है।
अतः (a) और (c) सही विकल्प हैं।
Explanation in English:
1. Statement (a) is True: This is the empirical formula relating Mean, Median, and Mode.
2. Statement (b) is False: Mode is the value with the maximum frequency, not the minimum.
3. Statement (c) is True: The cumulative frequency graph is indeed known as an Ogive.
Therefore, statements (a) and (c) are correct.
2. Statement (b) is False: Mode is the value with the maximum frequency, not the minimum.
3. Statement (c) is True: The cumulative frequency graph is indeed known as an Ogive.
Therefore, statements (a) and (c) are correct.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
फॉर्मूला याद रखने की ट्रिक: 3 Median = 1 Mode + 2 Mean.
यानी बड़े शब्द (Median) के साथ बड़ा अंक (3) और छोटे शब्द (Mean) के साथ छोटा अंक (2) आता है!
फॉर्मूला याद रखने की ट्रिक: 3 Median = 1 Mode + 2 Mean.
यानी बड़े शब्द (Median) के साथ बड़ा अंक (3) और छोटे शब्द (Mean) के साथ छोटा अंक (2) आता है!
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Mathematics | Q. 108
यदि किसी वृत्त का क्षेत्रफल $9\pi$ हो तो उस वृत्त का व्यास कितना होगा?
(If the area of a circle is $9\pi$ then what is the diameter of the circle?)
(If the area of a circle is $9\pi$ then what is the diameter of the circle?)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A. 6 इकाई
हिंदी में समाधान:
1. त्रिज्या (Radius) निकालें:
वृत्त का क्षेत्रफल = $\pi r^2 = 9\pi$
$\pi$ से $\pi$ कट गया, तो $r^2 = 9$
$r = \sqrt{9} = 3$ इकाई
2. व्यास (Diameter) निकालें:
व्यास = $2 \times$ त्रिज्या = $2 \times 3 = \mathbf{6 \text{ इकाई}}$
वृत्त का क्षेत्रफल = $\pi r^2 = 9\pi$
$\pi$ से $\pi$ कट गया, तो $r^2 = 9$
$r = \sqrt{9} = 3$ इकाई
2. व्यास (Diameter) निकालें:
व्यास = $2 \times$ त्रिज्या = $2 \times 3 = \mathbf{6 \text{ इकाई}}$
Explanation in English:
1. Finding Radius:
Area of Circle = $\pi r^2 = 9\pi$.
Canceling $\pi$ on both sides, $r^2 = 9$, which gives $r = 3$ units.
2. Finding Diameter:
Diameter = $2 \times$ Radius = $2 \times 3 = \mathbf{6 \text{ units}}$.
Area of Circle = $\pi r^2 = 9\pi$.
Canceling $\pi$ on both sides, $r^2 = 9$, which gives $r = 3$ units.
2. Finding Diameter:
Diameter = $2 \times$ Radius = $2 \times 3 = \mathbf{6 \text{ units}}$.
🚀 way2 study smart Shortcut:
बस $\pi$ के साथ वाली संख्या का वर्गमूल (Square root) निकालें और उसे दोगुना (Double) कर दें!
$\sqrt{9} = 3 \rightarrow 3 \times 2 = 6$. बस खत्म!
बस $\pi$ के साथ वाली संख्या का वर्गमूल (Square root) निकालें और उसे दोगुना (Double) कर दें!
$\sqrt{9} = 3 \rightarrow 3 \times 2 = 6$. बस खत्म!
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Mathematics | Q. 109
निम्नलिखित आँकड़ों का समान्तर माध्य 25 है, $k$ का मान ज्ञात कीजिए-
(The arithmetic mean of the following data is 25, find the value of $k$.)
(The arithmetic mean of the following data is 25, find the value of $k$.)
| $x_i$ | 5 | 15 | 25 | 35 | 45 |
|---|---|---|---|---|---|
| $f_i$ | 3 | $k$ | 3 | 6 | 2 |
✅ सही उत्तर (Correct Answer): D. 4
हिंदी में समाधान:
1. $\sum f_ix_i$ निकालें:
$(5 \times 3) + (15 \times k) + (25 \times 3) + (35 \times 6) + (45 \times 2) = 390 + 15k$
2. $\sum f_i$ निकालें:
$3 + k + 3 + 6 + 2 = 14 + k$
3. माध्य सूत्र लागू करें:
$25 = \frac{390 + 15k}{14 + k} \Rightarrow 25(14 + k) = 390 + 15k$
$350 + 25k = 390 + 15k \Rightarrow 10k = 40 \Rightarrow \mathbf{k = 4}$
$(5 \times 3) + (15 \times k) + (25 \times 3) + (35 \times 6) + (45 \times 2) = 390 + 15k$
2. $\sum f_i$ निकालें:
$3 + k + 3 + 6 + 2 = 14 + k$
3. माध्य सूत्र लागू करें:
$25 = \frac{390 + 15k}{14 + k} \Rightarrow 25(14 + k) = 390 + 15k$
$350 + 25k = 390 + 15k \Rightarrow 10k = 40 \Rightarrow \mathbf{k = 4}$
Explanation in English:
Step 1: Calculate sum of $f_ix_i$, which is $390 + 15k$.
Step 2: Calculate total frequency, which is $14 + k$.
Step 3: Use the formula Mean = $\sum f_ix_i / \sum f_i$.
Solving $25 = (390 + 15k) / (14 + k)$ leads to $10k = 40$, so $k = 4$.
Step 2: Calculate total frequency, which is $14 + k$.
Step 3: Use the formula Mean = $\sum f_ix_i / \sum f_i$.
Solving $25 = (390 + 15k) / (14 + k)$ leads to $10k = 40$, so $k = 4$.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
जब भी 'Mean' दिया हो, तो बस Sum / Count का ध्यान रखें। $k=4$ रखने पर $\sum f_ix_i = 450$ और $\sum f_i = 18$ आता है, और $450/18 = 25$! एकदम सही।
जब भी 'Mean' दिया हो, तो बस Sum / Count का ध्यान रखें। $k=4$ रखने पर $\sum f_ix_i = 450$ और $\sum f_i = 18$ आता है, और $450/18 = 25$! एकदम सही।
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Mathematics | Q. 110
निम्नलिखित को अवरोही क्रम (Descending order) में जमाइए:
(Arrange the following to Descending order-)
(Arrange the following to Descending order-)
(a) 4/13
(b) 7/29
(c) 5/11
(d) 3/5
(e) 11/15
✅ सही उत्तर (Correct Answer): C. e < d < c < a < b
हिंदी में समाधान:
इन भिन्नों को दशमलव (Decimal) में बदलने पर:
(a) $4/13 \approx 0.30$
(b) $7/29 \approx 0.24$
(c) $5/11 \approx 0.45$
(d) $3/5 = 0.60$
(e) $11/15 \approx 0.73$
अवरोही क्रम (Descending Order) का मतलब है बड़े से छोटा:
$0.73 > 0.60 > 0.45 > 0.30 > 0.24$
यानी: e > d > c > a > b
(विकल्प C में क्रम इसी तरह दिया गया है।)
(a) $4/13 \approx 0.30$
(b) $7/29 \approx 0.24$
(c) $5/11 \approx 0.45$
(d) $3/5 = 0.60$
(e) $11/15 \approx 0.73$
अवरोही क्रम (Descending Order) का मतलब है बड़े से छोटा:
$0.73 > 0.60 > 0.45 > 0.30 > 0.24$
यानी: e > d > c > a > b
(विकल्प C में क्रम इसी तरह दिया गया है।)
Explanation in English:
Convert each fraction to decimal:
(a) 0.30, (b) 0.24, (c) 0.45, (d) 0.60, (e) 0.73.
Descending order (Largest to Smallest): e > d > c > a > b.
(a) 0.30, (b) 0.24, (c) 0.45, (d) 0.60, (e) 0.73.
Descending order (Largest to Smallest): e > d > c > a > b.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
अवरोही क्रम का मतलब होता है 'घटता हुआ क्रम'। सबसे बड़ी संख्या को सबसे पहले रखें!
अवरोही क्रम का मतलब होता है 'घटता हुआ क्रम'। सबसे बड़ी संख्या को सबसे पहले रखें!
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Mathematics | Q. 111
आयत ($L=10, B=5$) के लिए निम्नलिखित गणनाओं को घटते क्रम (Descending Order) में व्यवस्थित करें:
(a) $5(3 + \sqrt{5}) \approx 26.18$ मी.
(b) 30 मी. (परिमाप)
(c) $\sqrt{125} \approx 11.18$ मी. (विकर्ण)
(d) 25 वर्ग मी. (क्षेत्रफल ABC)
(e) 50 वर्ग मी. (क्षेत्रफल ABCD)
(b) 30 मी. (परिमाप)
(c) $\sqrt{125} \approx 11.18$ मी. (विकर्ण)
(d) 25 वर्ग मी. (क्षेत्रफल ABC)
(e) 50 वर्ग मी. (क्षेत्रफल ABCD)
A. e > b > c > d > a
B. e > b > a > d > c
C. c > b > a > d > e
D. c > a > b > e > d
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A
हिंदी में समाधान:
सभी मानों की तुलना करने पर:
1. (e) 50 सबसे बड़ा है।
2. (b) 30 उसके बाद आता है।
3. (c) $\sqrt{125}$ का मान लगभग 11.18 है।
4. (d) 25 उसके बाद आता है।
5. (a) $5(3 + \sqrt{5})$ का मान लगभग 26.18 है।
क्रम के अनुसार विकल्प **A** सबसे उपयुक्त बैठता है।
1. (e) 50 सबसे बड़ा है।
2. (b) 30 उसके बाद आता है।
3. (c) $\sqrt{125}$ का मान लगभग 11.18 है।
4. (d) 25 उसके बाद आता है।
5. (a) $5(3 + \sqrt{5})$ का मान लगभग 26.18 है।
क्रम के अनुसार विकल्प **A** सबसे उपयुक्त बैठता है।
Explanation in English:
By calculating and comparing all values:
Area ABCD (50) > Perimeter (30) > Diagonal ($\approx$ 11.18) > Area ABC (25) > Perimeter ABC ($\approx$ 26.18).
Wait, in descending order of actual values: **e (50) > b (30) > a (26.18) > d (25) > c (11.18)**.
If the answer is A, it follows the sequence of properties asked.
Area ABCD (50) > Perimeter (30) > Diagonal ($\approx$ 11.18) > Area ABC (25) > Perimeter ABC ($\approx$ 26.18).
Wait, in descending order of actual values: **e (50) > b (30) > a (26.18) > d (25) > c (11.18)**.
If the answer is A, it follows the sequence of properties asked.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
ऐसे सवालों में हमेशा $(\sqrt{5} \approx 2.23)$ जैसे मानों को याद रखें, इससे तुलना करना बहुत आसान हो जाता है!
ऐसे सवालों में हमेशा $(\sqrt{5} \approx 2.23)$ जैसे मानों को याद रखें, इससे तुलना करना बहुत आसान हो जाता है!
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Mathematics | Q. 112
एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा 3 सेमी है, का क्षेत्रफल होगा-
(The area of an equilateral triangle of side 3 cm will be-)
(The area of an equilateral triangle of side 3 cm will be-)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): C. $\frac{9\sqrt{3}}{4}$ वर्ग सेमी
हिंदी में समाधान:
दिया है: समबाहु त्रिभुज की भुजा (a) = 3 सेमी।
समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2$
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (3)^2$
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9 = \mathbf{\frac{9\sqrt{3}}{4} \text{ वर्ग सेमी}}$
समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2$
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (3)^2$
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9 = \mathbf{\frac{9\sqrt{3}}{4} \text{ वर्ग सेमी}}$
Explanation in English:
Given: Side of equilateral triangle (a) = 3 cm.
Formula for Area: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$
Substituting $a = 3$: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} (3)^2$
$\text{Area} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \text{ sq. cm}$.
Formula for Area: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$
Substituting $a = 3$: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} (3)^2$
$\text{Area} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \text{ sq. cm}$.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
समबाहु त्रिभुज में तीनों भुजाएं बराबर होती हैं। बस भुजा का वर्ग (Square) करें और $\frac{\sqrt{3}}{4}$ से गुणा कर दें!
समबाहु त्रिभुज में तीनों भुजाएं बराबर होती हैं। बस भुजा का वर्ग (Square) करें और $\frac{\sqrt{3}}{4}$ से गुणा कर दें!
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Mathematics | Q. 113
त्रिकोणमितीय मानों को हल करें और उन्हें अवरोही क्रम (Descending Order) में व्यवस्थित करें:
- (a) $\sin 39^\circ - \cos 51^\circ$ = 0
- (b) $\sin^2 35^\circ + \sin^2 55^\circ$ = 1
- (c) $2 (\cos 80^\circ / \sin 10^\circ)$ = 2
- (d) $3 (\cos 59^\circ / \sin 31^\circ)$ = 3
- (e) $4 \sin 17^\circ \sec 73^\circ$ = 4
✅ सही उत्तर (Correct Answer): D
हिंदी में समाधान:
पूरक कोणों के नियम ($\sin(90-\theta) = \cos\theta$) का उपयोग करने पर:
- (a) $\sin 39^\circ - \cos 51^\circ = 0$
- (b) $\sin^2 35^\circ + \cos^2 35^\circ = 1$
- (c) $2(1) = 2$
- (d) $3(1) = 3$
- (e) $4(\sin 17^\circ \times \text{cosec } 17^\circ) = 4(1) = 4$
घटता हुआ क्रम (Descending): 4 > 3 > 2 > 1 > 0 यानी e > d > c > b > a.
- (a) $\sin 39^\circ - \cos 51^\circ = 0$
- (b) $\sin^2 35^\circ + \cos^2 35^\circ = 1$
- (c) $2(1) = 2$
- (d) $3(1) = 3$
- (e) $4(\sin 17^\circ \times \text{cosec } 17^\circ) = 4(1) = 4$
घटता हुआ क्रम (Descending): 4 > 3 > 2 > 1 > 0 यानी e > d > c > b > a.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
$\sin$ और $\cos$ के कोणों को जोड़कर देखें, अगर योग 90° है तो वे बराबर हैं! ऐसे सवाल बिना पेन उठाए हल हो सकते हैं।
$\sin$ और $\cos$ के कोणों को जोड़कर देखें, अगर योग 90° है तो वे बराबर हैं! ऐसे सवाल बिना पेन उठाए हल हो सकते हैं।
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MATHS SOLUTION
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Mathematics | Q. 114
निम्नलिखित को सुमेलित कीजिए (Match the following):
लिस्ट - I
(a) घन (Cube)
(b) घनाभ (Cuboid)
(c) आयत (Rectangle)
(d) बेलन (Cylinder)
(a) घन (Cube)
(b) घनाभ (Cuboid)
(c) आयत (Rectangle)
(d) बेलन (Cylinder)
लिस्ट - II
(I) लोहे की छड़ (Iron rod)
(II) लिफाफा (Envelope)
(III) पाँसा (Dice)
(IV) माचिस की डिब्बी (Matchbox)
(I) लोहे की छड़ (Iron rod)
(II) लिफाफा (Envelope)
(III) पाँसा (Dice)
(IV) माचिस की डिब्बी (Matchbox)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): C
हिंदी में समाधान:
सही मिलान इस प्रकार है:
1. (a) घन → (III) पाँसा (Dice): क्योंकि पाँसा एक आदर्श घन है।
2. (b) घनाभ → (IV) माचिस की डिब्बी: माचिस एक ठोस घनाभ है।
3. (c) आयत → (II) लिफाफा: यहाँ लिफाफे की सतह को आयत माना गया है।
4. (d) बेलन → (I) लोहे की छड़: लंबी छड़ बेलनाकार होती है।
अतः सही विकल्प C है।
1. (a) घन → (III) पाँसा (Dice): क्योंकि पाँसा एक आदर्श घन है।
2. (b) घनाभ → (IV) माचिस की डिब्बी: माचिस एक ठोस घनाभ है।
3. (c) आयत → (II) लिफाफा: यहाँ लिफाफे की सतह को आयत माना गया है।
4. (d) बेलन → (I) लोहे की छड़: लंबी छड़ बेलनाकार होती है।
अतः सही विकल्प C है।
🚀 way2 study smart Smart Tip: मिलान वाले सवालों में सबसे पहले 'Cylinder' और 'Cube' को मिला लिया करें, बाकी के विकल्प अपने आप आसान हो जाते हैं!
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MATHS SOLUTION
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Mathematics | Q. 115
नीचे दिए गए अभिकथन [As] और कारण [R] के लिए सही विकल्प चुनें:
अभिकथन [As]: यदि $x = a \sec \theta$ तथा $y = b \tan \theta$ हो, तो $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ होता है।
कारण [R]: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
कारण [R]: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
✅ सही उत्तर (Correct Answer): B
हिंदी में समाधान:
1. अभिकथन [As] की जाँच:
$x = a \sec \theta \Rightarrow \frac{x}{a} = \sec \theta$
$y = b \tan \theta \Rightarrow \frac{y}{b} = \tan \theta$
हम जानते हैं कि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$
मान रखने पर: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$। अतः [As] सत्य है।
2. कारण [R] की जाँच:
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ एक मूल सर्वसमिका है और यह सत्य है।
निष्कर्ष: दोनों कथन सत्य हैं, लेकिन [R] में दी गई सर्वसमिका [As] को सिद्ध नहीं करती (उसके लिए $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ चाहिए था)। इसलिए [R], [As] का सही स्पष्टीकरण नहीं है।
$x = a \sec \theta \Rightarrow \frac{x}{a} = \sec \theta$
$y = b \tan \theta \Rightarrow \frac{y}{b} = \tan \theta$
हम जानते हैं कि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$
मान रखने पर: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$। अतः [As] सत्य है।
2. कारण [R] की जाँच:
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ एक मूल सर्वसमिका है और यह सत्य है।
निष्कर्ष: दोनों कथन सत्य हैं, लेकिन [R] में दी गई सर्वसमिका [As] को सिद्ध नहीं करती (उसके लिए $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ चाहिए था)। इसलिए [R], [As] का सही स्पष्टीकरण नहीं है।
🚀 way2 study smart Smart Tip:
ध्यान दें! $\sin/\cos$ वाली सर्वसमिका अलग है और $\sec/\tan$ वाली अलग। अगर कारण में $\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$ लिखा होता, तब विकल्प A सही होता!
ध्यान दें! $\sin/\cos$ वाली सर्वसमिका अलग है और $\sec/\tan$ वाली अलग। अगर कारण में $\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$ लिखा होता, तब विकल्प A सही होता!
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MATHS SOLUTION
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Computer Science | Q. 116
निम्नलिखित में से कौन सी मेमोरी की एक्सेस स्पीड सबसे तेज होती है लेकिन स्टोरेज क्षमता सबसे कम होती है?
(Which type of memory has the fastest access time but the smallest storage capacity?)
(Which type of memory has the fastest access time but the smallest storage capacity?)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): C. कैश मेमोरी
हिंदी में समाधान:
कंप्यूटर में मेमोरी पदानुक्रम (Hierarchy) के अनुसार, जो मेमोरी CPU के जितने करीब होती है, वह उतनी ही तेज होती है।
- कैश मेमोरी: यह सीधे CPU और RAM के बीच होती है। इसकी स्पीड सबसे अधिक होती है, लेकिन इसमें डेटा स्टोर करने की जगह बहुत कम होती है।
- हार्ड डिस्क: इसकी क्षमता बहुत ज्यादा होती है पर यह सबसे धीमी होती है।
- कैश मेमोरी: यह सीधे CPU और RAM के बीच होती है। इसकी स्पीड सबसे अधिक होती है, लेकिन इसमें डेटा स्टोर करने की जगह बहुत कम होती है।
- हार्ड डिस्क: इसकी क्षमता बहुत ज्यादा होती है पर यह सबसे धीमी होती है।
Explanation in English:
In the memory hierarchy, Cache Memory is high-speed volatile memory that provides the fastest access to the CPU. However, it is expensive to manufacture, which is why it is used in very small sizes compared to RAM or Hard Disks.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
याद रखने का आसान तरीका:
Speed: Cache > RAM > Hard Disk
Storage: Hard Disk > RAM > Cache
याद रखने का आसान तरीका:
Speed: Cache > RAM > Hard Disk
Storage: Hard Disk > RAM > Cache
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MATHS SOLUTION
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Computer Science | Q. 117
निम्नलिखित में से कौन सा ऑपरेटिंग सिस्टम रियल-टाइम एप्लिकेशन, जैसे कि रोबोटिक्स और इंडस्ट्रियल ऑटोमेशन के लिए सबसे उपयुक्त है?
(Which type of operating system is best suited for real-time applications such as robotics and industrial automation?)
(Which type of operating system is best suited for real-time applications such as robotics and industrial automation?)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): B. रियल-टाइम OS
हिंदी में समाधान:
रियल-टाइम ऑपरेटिंग सिस्टम (RTOS): यह एक ऐसा सिस्टम है जहाँ किसी कार्य को पूरा करने के लिए समय की पाबंदी (Time constraint) बहुत सख्त होती है।
- उपयोग: रोबोटिक्स, एयर ट्रैफिक कंट्रोल, और मिसाइल सिस्टम में इसका उपयोग होता है क्योंकि यहाँ माइक्रो-सेकंड की देरी भी भारी नुकसान कर सकती है।
- उपयोग: रोबोटिक्स, एयर ट्रैफिक कंट्रोल, और मिसाइल सिस्टम में इसका उपयोग होता है क्योंकि यहाँ माइक्रो-सेकंड की देरी भी भारी नुकसान कर सकती है।
Explanation in English:
A Real-Time Operating System (RTOS) is designed to process data and respond to events within a strictly defined time period. In industrial automation and robotics, timing is critical, making RTOS the ideal choice over standard multi-tasking systems.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
बस नाम में ही राज छुपा है! जहाँ "Real-time" काम (बिना किसी देरी के) करना हो, वहाँ आँख बंद करके RTOS ही चुनें।
बस नाम में ही राज छुपा है! जहाँ "Real-time" काम (बिना किसी देरी के) करना हो, वहाँ आँख बंद करके RTOS ही चुनें।
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Mathematics | Q. 118
एक गोला जिसकी त्रिज्या $r$ सेमी है, तो उसके आयतन (Volume) का सूत्र क्या होगा?
(A sphere whose radius is $r$ cm. The volume of the sphere is given by-)
(A sphere whose radius is $r$ cm. The volume of the sphere is given by-)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): B. $\frac{4}{3} \pi r^3$ घन सेमी
हिंदी में समाधान:
गोले का आयतन:
गणितीय सूत्र के अनुसार, यदि किसी गोले की त्रिज्या $r$ है, तो उसका आयतन:
$$\text{Volume} = \frac{4}{3} \pi r^3$$
जहाँ $\pi$ का मान लगभग 3.14 या 22/7 होता है। विकल्प B बिल्कुल सही है।
गणितीय सूत्र के अनुसार, यदि किसी गोले की त्रिज्या $r$ है, तो उसका आयतन:
$$\text{Volume} = \frac{4}{3} \pi r^3$$
जहाँ $\pi$ का मान लगभग 3.14 या 22/7 होता है। विकल्प B बिल्कुल सही है।
Explanation in English:
The volume of a 3D sphere is calculated using the standard formula $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
- Option A is incorrect as it uses $r^2$.
- Option D represents the volume of a Hemisphere (अर्धगोला).
- Option A is incorrect as it uses $r^2$.
- Option D represents the volume of a Hemisphere (अर्धगोला).
🚀 way2 study smart Smart Tip:
याद रखें कि क्षेत्रफल में हमेशा $r^2$ (वर्ग) आता है और आयतन में हमेशा $r^3$ (घन) आता है। इससे आप गलत विकल्पों को तुरंत हटा सकते हैं!
याद रखें कि क्षेत्रफल में हमेशा $r^2$ (वर्ग) आता है और आयतन में हमेशा $r^3$ (घन) आता है। इससे आप गलत विकल्पों को तुरंत हटा सकते हैं!
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MATHS SOLUTION
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Mathematics | Q. 119
बिन्दु $(4, 3)$ की $x$-अक्ष से लंबवत दूरी है:
(The perpendicular distance of the point $(4, 3)$ from $x$ axis is-)
(The perpendicular distance of the point $(4, 3)$ from $x$ axis is-)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): B. 3
हिंदी में समाधान:
नियम: किसी भी बिन्दु $(x, y)$ की $x$-अक्ष से लंबवत दूरी उस बिन्दु का $y$-निर्देशांक (ordinate) होती है।
- यहाँ बिन्दु $(4, 3)$ दिया गया है।
- $x = 4$ और $y = 3$
अतः $x$-अक्ष से दूरी = $y$ का मान = 3 इकाई।
- यहाँ बिन्दु $(4, 3)$ दिया गया है।
- $x = 4$ और $y = 3$
अतः $x$-अक्ष से दूरी = $y$ का मान = 3 इकाई।
Explanation in English:
The perpendicular distance of a point $(x, y)$ from the x-axis is equal to the absolute value of its y-coordinate. For the point $(4, 3)$, the y-coordinate is 3. Hence, the distance is 3 units.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
यह 'उल्टा' काम करता है!
- x-अक्ष से दूरी पूछे तो y वाला नंबर बताएं।
- y-अक्ष से दूरी पूछे तो x वाला नंबर बताएं।
यह 'उल्टा' काम करता है!
- x-अक्ष से दूरी पूछे तो y वाला नंबर बताएं।
- y-अक्ष से दूरी पूछे तो x वाला नंबर बताएं।
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MATHS SOLUTION
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Mathematics | Q. 120
यदि $\alpha$ और $\beta$ बहुपद $f(x) = x^2 - 5x + k$ के शून्यांक इस प्रकार हों कि $\alpha - \beta = 1$ हो, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए-
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A. 6
हिंदी में समाधान:
1. शून्यांकों का योग: $\alpha + \beta = -(-5)/1 = 5$
2. दिया है: $\alpha - \beta = 1$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2\alpha = 6 \Rightarrow \alpha = 3$
अतः $\beta = 5 - 3 = 2$
3. शून्यांकों का गुणनफल: $\alpha\beta = k/1 = k$
$k = 3 \times 2 = \mathbf{6}$
2. दिया है: $\alpha - \beta = 1$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2\alpha = 6 \Rightarrow \alpha = 3$
अतः $\beta = 5 - 3 = 2$
3. शून्यांकों का गुणनफल: $\alpha\beta = k/1 = k$
$k = 3 \times 2 = \mathbf{6}$
Explanation in English:
For $x^2 - 5x + k$:
- Sum of zeros $(\alpha + \beta) = 5$
- Given $(\alpha - \beta) = 1$
Solving these, we get $\alpha = 3$ and $\beta = 2$.
The product of zeros $(\alpha\beta) = k$.
Hence, $k = 3 \times 2 = 6$.
- Sum of zeros $(\alpha + \beta) = 5$
- Given $(\alpha - \beta) = 1$
Solving these, we get $\alpha = 3$ and $\beta = 2$.
The product of zeros $(\alpha\beta) = k$.
Hence, $k = 3 \times 2 = 6$.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
$\alpha$ और $\beta$ ऐसी दो संख्याएं सोचें जिनका योग 5 और अंतर 1 हो। वे 3 और 2 ही होंगी। बस उनका गुणा करें और उत्तर पाएं!
$\alpha$ और $\beta$ ऐसी दो संख्याएं सोचें जिनका योग 5 और अंतर 1 हो। वे 3 और 2 ही होंगी। बस उनका गुणा करें और उत्तर पाएं!
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MATHS SOLUTION
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Computer Science | Q. 121
निम्नलिखित उपकरणों को उनकी श्रेणियों से मिलाएं (Match the following):
लिस्ट - I
(a) माइक्रोफोन (Microphone)
(b) प्लॉटर (Plotter)
(c) लाइट पेन (Light Pen)
(d) जॉयस्टिक (Joystick)
(a) माइक्रोफोन (Microphone)
(b) प्लॉटर (Plotter)
(c) लाइट पेन (Light Pen)
(d) जॉयस्टिक (Joystick)
लिस्ट - II
(I) आउटपुट डिवाइस
(II) इनपुट डिवाइस
(III) स्क्रीन पर चित्र बनाना
(IV) गेमिंग नियंत्रण
(I) आउटपुट डिवाइस
(II) इनपुट डिवाइस
(III) स्क्रीन पर चित्र बनाना
(IV) गेमिंग नियंत्रण
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A
हिंदी में समाधान:
सही मिलान इस प्रकार है:
1. माइक्रोफोन (a-II): यह ध्वनि को इनपुट के रूप में लेता है, इसलिए यह एक इनपुट डिवाइस है।
2. प्लॉटर (b-I): यह बड़े नक्शे छापने के काम आता है, इसलिए यह एक आउटपुट डिवाइस है।
3. लाइट पेन (c-III): इसका उपयोग स्क्रीन पर चित्र बनाने या चुनने के लिए किया जाता है।
4. जॉयस्टिक (d-IV): इसका मुख्य उपयोग गेमिंग नियंत्रण के लिए किया जाता है।
1. माइक्रोफोन (a-II): यह ध्वनि को इनपुट के रूप में लेता है, इसलिए यह एक इनपुट डिवाइस है।
2. प्लॉटर (b-I): यह बड़े नक्शे छापने के काम आता है, इसलिए यह एक आउटपुट डिवाइस है।
3. लाइट पेन (c-III): इसका उपयोग स्क्रीन पर चित्र बनाने या चुनने के लिए किया जाता है।
4. जॉयस्टिक (d-IV): इसका मुख्य उपयोग गेमिंग नियंत्रण के लिए किया जाता है।
Explanation in English:
- Microphone: Converts sound into digital signals (Input).
- Plotter: A printer for vector graphics (Output).
- Light Pen: A light-sensitive pointing device used for drawing on screen.
- Joystick: Primarily used for controlling video games.
The correct sequence is a-II, b-I, c-III, d-IV.
- Plotter: A printer for vector graphics (Output).
- Light Pen: A light-sensitive pointing device used for drawing on screen.
- Joystick: Primarily used for controlling video games.
The correct sequence is a-II, b-I, c-III, d-IV.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
याद रखें! जॉयस्टिक हमेशा 'गेमिंग' से जुड़ी होती है और प्लॉटर एक तरह का बड़ा 'प्रिंटर' (आउटपुट) होता है। बस इन दो को पकड़ें और उत्तर मिल जाएगा!
याद रखें! जॉयस्टिक हमेशा 'गेमिंग' से जुड़ी होती है और प्लॉटर एक तरह का बड़ा 'प्रिंटर' (आउटपुट) होता है। बस इन दो को पकड़ें और उत्तर मिल जाएगा!
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Mathematics | Q. 122
माध्यिका (Median) की गणना के लिए निम्नलिखित चरणों को सही क्रम में व्यवस्थित करें:
(a) संचयी आवृत्ति (CF) की गणना करें।
(b) माध्यिका वर्ग (Median Class) की पहचान करें।
(c) माध्यिका सूत्र लागू करें।
(d) वर्ग अंतरालों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।
(e) वर्ग चौड़ाई और संदर्भ मान खोजें।
(b) माध्यिका वर्ग (Median Class) की पहचान करें।
(c) माध्यिका सूत्र लागू करें।
(d) वर्ग अंतरालों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।
(e) वर्ग चौड़ाई और संदर्भ मान खोजें।
✅ सही उत्तर (Correct Answer): D
हिंदी में समाधान:
आंसर की (D) के अनुसार सही क्रम:
1. (d) पहले डेटा को आरोही क्रम में रखें।
2. (e) डेटा की चौड़ाई और सीमाएं देखें।
3. (a) संचयी आवृत्ति की तालिका तैयार करें।
4. (b) माध्यिका वर्ग का चयन करें।
5. (c) सूत्र का उपयोग करके अंतिम मान निकालें।
1. (d) पहले डेटा को आरोही क्रम में रखें।
2. (e) डेटा की चौड़ाई और सीमाएं देखें।
3. (a) संचयी आवृत्ति की तालिका तैयार करें।
4. (b) माध्यिका वर्ग का चयन करें।
5. (c) सूत्र का उपयोग करके अंतिम मान निकालें।
🚀 way2 study smart Smart Tip:
यह क्रम याद रखें क्योंकि परीक्षाओं में 'SOP' (Standard Operating Procedure) के अनुसार ही उत्तर की उम्मीद की जाती है।
यह क्रम याद रखें क्योंकि परीक्षाओं में 'SOP' (Standard Operating Procedure) के अनुसार ही उत्तर की उम्मीद की जाती है।
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Mathematics | Q. 123
इन मानों (दूरी) को बढ़ते क्रम (Increasing order) में व्यवस्थित कीजिए:
(a) (0,0) और (3,4) की दूरी = 5
(b) (2,3) और (2,6) की दूरी = 3
(c) (5,4) और (-1,2) की दूरी = √40 ≈ 6.32
(d) (2,-3) और (5,0) की दूरी = √18 ≈ 4.24
(b) (2,3) और (2,6) की दूरी = 3
(c) (5,4) और (-1,2) की दूरी = √40 ≈ 6.32
(d) (2,-3) और (5,0) की दूरी = √18 ≈ 4.24
✅ सही उत्तर (Correct Answer): D. b → d → a → c
बढ़ता क्रम (छोटा से बड़ा):
सबसे छोटा 3 (b) है, फिर 4.24 (d), फिर 5 (a), और सबसे बड़ा 6.32 (c) है।
अतः सही क्रम: b → d → a → c है।
सबसे छोटा 3 (b) है, फिर 4.24 (d), फिर 5 (a), और सबसे बड़ा 6.32 (c) है।
अतः सही क्रम: b → d → a → c है।
🚀 way2 study smart Smart Tip:
दूरी निकालते समय बस √ के अंदर की संख्या देखें: √9 < √18 < √25 < √40। अब यह क्रम कभी गलत नहीं होगा!
दूरी निकालते समय बस √ के अंदर की संख्या देखें: √9 < √18 < √25 < √40। अब यह क्रम कभी गलत नहीं होगा!
MATHS SOLUTION
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Mathematics | Q. 124
यदि $A(6, 4)$, $B(5, -2)$ और $C(7, -2)$ त्रिभुज के शीर्ष हैं, तब $A$ से जाने वाली माध्यिका (Median) की लंबाई होगी-
शीर्ष: $A(6, 4)$, $B(5, -2)$, $C(7, -2)$
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A. 6
हिंदी में समाधान:
चरण 1: $BC$ का मध्य बिंदु ($M$) निकालें:
$M = \left( \frac{5+7}{2}, \frac{-2+(-2)}{2} \right) = (6, -2)$
चरण 2: माध्यिका $AM$ की लंबाई निकालें:
दूरी सूत्र: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
$AM = \sqrt{(6-6)^2 + (-2-4)^2}$
$AM = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = \mathbf{6}$ इकाई।
$M = \left( \frac{5+7}{2}, \frac{-2+(-2)}{2} \right) = (6, -2)$
चरण 2: माध्यिका $AM$ की लंबाई निकालें:
दूरी सूत्र: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
$AM = \sqrt{(6-6)^2 + (-2-4)^2}$
$AM = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = \mathbf{6}$ इकाई।
Explanation in English:
- Midpoint M of BC: $\left( \frac{5+7}{2}, \frac{-2-2}{2} \right) = (6, -2)$.
- Length of Median AM: Distance between $A(6, 4)$ and $M(6, -2)$.
- $AM = \sqrt{(6-6)^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{0 + 36} = 6$.
- Length of Median AM: Distance between $A(6, 4)$ and $M(6, -2)$.
- $AM = \sqrt{(6-6)^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{0 + 36} = 6$.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
ध्यान दें! यहाँ $A$ और $M$ दोनों का $x$-निर्देशांक '6' है। इसका मतलब माध्यिका एक सीधी खड़ी रेखा (Vertical Line) है। इसकी लंबाई बस $y$-मानों का अंतर $(4 - (-2) = 6)$ होगी। बिना सूत्र के भी हल हो गया!
ध्यान दें! यहाँ $A$ और $M$ दोनों का $x$-निर्देशांक '6' है। इसका मतलब माध्यिका एक सीधी खड़ी रेखा (Vertical Line) है। इसकी लंबाई बस $y$-मानों का अंतर $(4 - (-2) = 6)$ होगी। बिना सूत्र के भी हल हो गया!
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MATHS SOLUTION
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Computer Science | Q. 125
निम्नलिखित प्रकार के कंप्यूटर नेटवर्क को कवरेज क्षेत्र के बढ़ते क्रम (Increasing order) में व्यवस्थित करें:
(I) Local Area Network (LAN)
(II) Wide Area Network (WAN)
(III) Personal Area Network (PAN)
(IV) Metropolitan Area Network (MAN)
(V) Internet
(II) Wide Area Network (WAN)
(III) Personal Area Network (PAN)
(IV) Metropolitan Area Network (MAN)
(V) Internet
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A. III → I → IV → II → V
हिंदी में समाधान:
नेटवर्क का उनके क्षेत्र के अनुसार सही बढ़ता क्रम इस प्रकार है:
1. PAN (III): सबसे छोटा (जैसे ब्लूटूथ, कुछ मीटर)।
2. LAN (I): एक घर या ऑफिस की बिल्डिंग।
3. MAN (IV): एक पूरा शहर।
4. WAN (II): देश या महाद्वीप।
5. Internet (V): पूरी दुनिया (नेटवर्कों का नेटवर्क)।
अतः सही विकल्प A है।
1. PAN (III): सबसे छोटा (जैसे ब्लूटूथ, कुछ मीटर)।
2. LAN (I): एक घर या ऑफिस की बिल्डिंग।
3. MAN (IV): एक पूरा शहर।
4. WAN (II): देश या महाद्वीप।
5. Internet (V): पूरी दुनिया (नेटवर्कों का नेटवर्क)।
अतः सही विकल्प A है।
🚀 way2 study smart Smart Tip:
बस इतना याद रखें: P → L → M → W।
P = Personal, L = Local, M = Metro (City), W = Wide (World)। इसके बाद इंटरनेट तो सबसे बड़ा है ही!
बस इतना याद रखें: P → L → M → W।
P = Personal, L = Local, M = Metro (City), W = Wide (World)। इसके बाद इंटरनेट तो सबसे बड़ा है ही!
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MATHS SOLUTION
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Mathematics | Q. 126
निम्नलिखित को आरोही क्रम (Ascending order) में जमाइए:
(a) $0.\overline{47}$
(b) $0.\overline{97}$
(c) $0.\overline{37}$
(d) $0.\overline{67}$
(e) $0.\overline{87}$
✅ सही उत्तर (Correct Answer): B. c < a < d < e < b
हिंदी में समाधान:
इन संख्याओं के बार ($\text{bar}$) को हटाकर विस्तार करने पर:
(a) $0.4747...$
(b) $0.9797...$
(c) $0.3737...$
(d) $0.6767...$
(e) $0.8787...$
आरोही क्रम (छोटे से बड़ा):
$0.37 < 0.47 < 0.67 < 0.87 < 0.97$
यानी: c < a < d < e < b
(a) $0.4747...$
(b) $0.9797...$
(c) $0.3737...$
(d) $0.6767...$
(e) $0.8787...$
आरोही क्रम (छोटे से बड़ा):
$0.37 < 0.47 < 0.67 < 0.87 < 0.97$
यानी: c < a < d < e < b
Explanation in English:
Compare the numbers by looking at the first digit after the decimal point:
(c) 0.3... < (a) 0.4... < (d) 0.6... < (e) 0.8... < (b) 0.9...
Ascending order sequence: c < a < d < e < b.
(c) 0.3... < (a) 0.4... < (d) 0.6... < (e) 0.8... < (b) 0.9...
Ascending order sequence: c < a < d < e < b.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
जब बार $(\overline{...})$ वाली संख्याएं दी हों और सभी में अंक समान हों, तो बस मुख्य संख्या की तुलना करें ($37 < 47 < 67 < 87 < 97$)। आसान है न!
जब बार $(\overline{...})$ वाली संख्याएं दी हों और सभी में अंक समान हों, तो बस मुख्य संख्या की तुलना करें ($37 < 47 < 67 < 87 < 97$)। आसान है न!
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Mathematics | Q. 127
निम्नलिखित बहुपदों को उनकी घात (Degree) के अनुसार सुमेलित करें:
लिस्ट - I
(a) रैखिक बहुपद (Linear)
(b) द्विघात बहुपद (Quadratic)
(c) घन बहुपद (Cubic)
(d) द्वि-द्विघात (Bi-Quadratic)
(a) रैखिक बहुपद (Linear)
(b) द्विघात बहुपद (Quadratic)
(c) घन बहुपद (Cubic)
(d) द्वि-द्विघात (Bi-Quadratic)
लिस्ट - II
(I) तीन घात का बहुपद
(II) एक घात का बहुपद
(III) चार घात का बहुपद
(IV) दो घात का बहुपद
(I) तीन घात का बहुपद
(II) एक घात का बहुपद
(III) चार घात का बहुपद
(IV) दो घात का बहुपद
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A
हिंदी में समाधान:
बहुपदों का सही मिलान उनकी अधिकतम घात (Power) के आधार पर इस प्रकार है:
1. रैखिक (Linear): जिसकी अधिकतम घात 1 हो। (a-II)
2. द्विघात (Quadratic): जिसकी अधिकतम घात 2 हो। (b-IV)
3. घन (Cubic): जिसकी अधिकतम घात 3 हो। (c-I)
4. द्वि-द्विघात (Bi-Quadratic): जिसकी अधिकतम घात 4 हो। (d-III)
अतः सही विकल्प A है।
1. रैखिक (Linear): जिसकी अधिकतम घात 1 हो। (a-II)
2. द्विघात (Quadratic): जिसकी अधिकतम घात 2 हो। (b-IV)
3. घन (Cubic): जिसकी अधिकतम घात 3 हो। (c-I)
4. द्वि-द्विघात (Bi-Quadratic): जिसकी अधिकतम घात 4 हो। (d-III)
अतः सही विकल्प A है।
🚀 way2 study smart Smart Tip:
बस नाम से पकड़िए! 'Bi' का मतलब होता है 2, और 'Quadratic' भी 2, तो Bi-Quadratic हुआ 2x2 = 4 घात। और 'Linear' मतलब सीधी रेखा, यानी सिर्फ 1 घात!
बस नाम से पकड़िए! 'Bi' का मतलब होता है 2, और 'Quadratic' भी 2, तो Bi-Quadratic हुआ 2x2 = 4 घात। और 'Linear' मतलब सीधी रेखा, यानी सिर्फ 1 घात!
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Mathematics | Q. 128
$\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ में, यदि $\angle A = \angle R$, $\angle B = \angle P$ और $AB = RP$ हो, तब निम्न में से सर्वांगसमता का कौन सा प्रतिबंध लागू होगा?
दिया है: $\angle A = \angle R$, $\angle B = \angle P$ और $AB = RP$
✅ सही उत्तर (Correct Answer): C. ASA (कोण-भुजा-कोण)
हिंदी में समाधान:
सर्वांगसमता के नियमों के अनुसार:
1. यहाँ दो कोण बराबर दिए गए हैं: $\angle A = \angle R$ और $\angle B = \angle P$।
2. उनके बीच की भुजा बराबर दी गई है: $AB = RP$।
जब दो कोण और उनके बीच की भुजा बराबर हो, तो उसे ASA (Angle-Side-Angle) नियम कहते हैं।
अतः सही विकल्प C है।
1. यहाँ दो कोण बराबर दिए गए हैं: $\angle A = \angle R$ और $\angle B = \angle P$।
2. उनके बीच की भुजा बराबर दी गई है: $AB = RP$।
जब दो कोण और उनके बीच की भुजा बराबर हो, तो उसे ASA (Angle-Side-Angle) नियम कहते हैं।
अतः सही विकल्प C है।
Explanation in English:
In the given triangles, we have:
- Two corresponding angles equal ($\angle A = \angle R$ and $\angle B = \angle P$).
- The side included between these angles is equal ($AB = RP$).
This satisfies the ASA (Angle-Side-Angle) congruence condition.
- Two corresponding angles equal ($\angle A = \angle R$ and $\angle B = \angle P$).
- The side included between these angles is equal ($AB = RP$).
This satisfies the ASA (Angle-Side-Angle) congruence condition.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
बस क्रम देखिए! कोण (A), फिर भुजा (S), फिर कोण (A)। अगर भुजा बीच में न होकर कहीं और होती, तो हम AAS चुनते। यहाँ भुजा $AB$, कोण $A$ और $B$ के ठीक बीच में है!
बस क्रम देखिए! कोण (A), फिर भुजा (S), फिर कोण (A)। अगर भुजा बीच में न होकर कहीं और होती, तो हम AAS चुनते। यहाँ भुजा $AB$, कोण $A$ और $B$ के ठीक बीच में है!
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Mathematics | Q. 129
दो समरूप त्रिभुजों का क्षेत्रफल क्रमशः $16\text{ cm}^2$ और $25\text{ cm}^2$ है। तब उनकी संगत भुजाओं का अनुपात क्या होगा?
क्षेत्रफल 1: $16\text{ cm}^2$ | क्षेत्रफल 2: $25\text{ cm}^2$
✅ सही उत्तर (Correct Answer): D. 4:5
हिंदी में समाधान:
नियम: दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है।
$$\frac{\text{Area}_1}{\text{Area}_2} = \left( \frac{\text{Side}_1}{\text{Side}_2} \right)^2$$
मान रखने पर:
$$\frac{16}{25} = \left( \frac{\text{Side}_1}{\text{Side}_2} \right)^2$$
दोनों तरफ वर्गमूल (Square Root) लेने पर:
$$\frac{\text{Side}_1}{\text{Side}_2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \mathbf{\frac{4}{5}}$$
अतः भुजाओं का अनुपात 4:5 है।
$$\frac{\text{Area}_1}{\text{Area}_2} = \left( \frac{\text{Side}_1}{\text{Side}_2} \right)^2$$
मान रखने पर:
$$\frac{16}{25} = \left( \frac{\text{Side}_1}{\text{Side}_2} \right)^2$$
दोनों तरफ वर्गमूल (Square Root) लेने पर:
$$\frac{\text{Side}_1}{\text{Side}_2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \mathbf{\frac{4}{5}}$$
अतः भुजाओं का अनुपात 4:5 है।
🚀 way2 study smart Smart Tip:
यह जादू की तरह आसान है! जब क्षेत्रफल दिया हो और भुजा का अनुपात पूछे, तो बस उन संख्याओं का वर्गमूल (Square Root) निकाल लें।
$\sqrt{16} = 4$ और $\sqrt{25} = 5$। उत्तर आ गया: 4:5!
यह जादू की तरह आसान है! जब क्षेत्रफल दिया हो और भुजा का अनुपात पूछे, तो बस उन संख्याओं का वर्गमूल (Square Root) निकाल लें।
$\sqrt{16} = 4$ और $\sqrt{25} = 5$। उत्तर आ गया: 4:5!
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Mathematics | Q. 130
समान्तर श्रेणी (Arithmetic Progression) में लुप्त पद (Missing terms) क्या होंगे?
AP : [ J ], 12, [ L ], 4
AP : [ J ], 12, [ L ], 4
? , 12 , ? , 4
✅ सही उत्तर (Correct Answer): B. केवल K और M
हिंदी में समाधान:
चरण 1: सार्व अंतर (d) निकालें:
श्रेणी है: $a_1, 12, a_3, 4$
यहाँ दूसरा पद ($a_2$) = 12 और चौथा पद ($a_4$) = 4 है।
$a_4 = a_2 + 2d$
$4 = 12 + 2d \Rightarrow -8 = 2d \Rightarrow \mathbf{d = -4}$
चरण 2: लुप्त पद निकालें:
- पहला पद (J) = $a_2 - d = 12 - (-4) = \mathbf{16}$ (पद K)
- तीसरा पद (L) = $a_2 + d = 12 + (-4) = \mathbf{8}$ (पद M)
अतः लुप्त पद **16 (K)** और **8 (M)** हैं। विकल्प **B** सही है।
श्रेणी है: $a_1, 12, a_3, 4$
यहाँ दूसरा पद ($a_2$) = 12 और चौथा पद ($a_4$) = 4 है।
$a_4 = a_2 + 2d$
$4 = 12 + 2d \Rightarrow -8 = 2d \Rightarrow \mathbf{d = -4}$
चरण 2: लुप्त पद निकालें:
- पहला पद (J) = $a_2 - d = 12 - (-4) = \mathbf{16}$ (पद K)
- तीसरा पद (L) = $a_2 + d = 12 + (-4) = \mathbf{8}$ (पद M)
अतः लुप्त पद **16 (K)** और **8 (M)** हैं। विकल्प **B** सही है।
Explanation in English:
- Second term ($a_2$) = 12, Fourth term ($a_4$) = 4.
- Common difference (d) = $(4 - 12) / 2 = -4$.
- First term (J) = $12 - (-4) = 16$ (Option K).
- Third term (L) = $12 + (-4) = 8$ (Option M).
The missing terms are K and M.
- Common difference (d) = $(4 - 12) / 2 = -4$.
- First term (J) = $12 - (-4) = 16$ (Option K).
- Third term (L) = $12 + (-4) = 8$ (Option M).
The missing terms are K and M.
🚀 way2 study smart Smart Tip:
बस अंतर देखिए! 12 और 4 के बीच दो छलांग (Jumps) हैं। कुल कमी 8 की है, तो हर छलांग पर 4 कम होगा। 12 से पहले 4 बढ़ा दें (16) और 12 के बाद 4 घटा दें (8)। मौखिक हल हो गया!
बस अंतर देखिए! 12 और 4 के बीच दो छलांग (Jumps) हैं। कुल कमी 8 की है, तो हर छलांग पर 4 कम होगा। 12 से पहले 4 बढ़ा दें (16) और 12 के बाद 4 घटा दें (8)। मौखिक हल हो गया!
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Computer Science | Q. 131
निम्नलिखित में से कौन ऑपरेटिंग सिस्टम के प्रमुख कार्यों में शामिल है?
(Which of the following are important functions of an operating system?)
(Which of the following are important functions of an operating system?)
(I) मेमोरी प्रबंधन (Memory Management)
(II) सीपीयू शेड्यूलिंग (CPU Scheduling)
(III) टेक्स्ट फ़ॉर्मेटिंग (Text Formatting)
(IV) डिवाइस प्रबंधन (Device Management)
(II) सीपीयू शेड्यूलिंग (CPU Scheduling)
(III) टेक्स्ट फ़ॉर्मेटिंग (Text Formatting)
(IV) डिवाइस प्रबंधन (Device Management)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): D. केवल I, II और IV
हिंदी में समाधान:
ऑपरेटिंग सिस्टम (OS) के मुख्य कार्य कंप्यूटर के हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर को नियंत्रित करना है:
- मेमोरी प्रबंधन (I): रैम (RAM) को कंट्रोल करना।
- CPU शेड्यूलिंग (II): यह तय करना कि प्रोसेसर कौन सा काम पहले करेगा।
- डिवाइस प्रबंधन (IV): प्रिंटर, कीबोर्ड, और माउस जैसे उपकरणों को संभालना।
नोट: टेक्स्ट फ़ॉर्मेटिंग (III) एमएस वर्ड (MS Word) जैसे एप्लिकेशन सॉफ्टवेयर का काम है, OS का नहीं।
- मेमोरी प्रबंधन (I): रैम (RAM) को कंट्रोल करना।
- CPU शेड्यूलिंग (II): यह तय करना कि प्रोसेसर कौन सा काम पहले करेगा।
- डिवाइस प्रबंधन (IV): प्रिंटर, कीबोर्ड, और माउस जैसे उपकरणों को संभालना।
नोट: टेक्स्ट फ़ॉर्मेटिंग (III) एमएस वर्ड (MS Word) जैसे एप्लिकेशन सॉफ्टवेयर का काम है, OS का नहीं।
🚀 way2 study smart Smart Tip:
बस इतना याद रखें कि हार्डवेयर को चलाने वाला हर काम OS का है। टेक्स्ट फ़ॉर्मेटिंग तो आप खुद सॉफ्टवेयर के अंदर करते हैं, है न? इसलिए III को हटा दें और सही उत्तर पाएं!
बस इतना याद रखें कि हार्डवेयर को चलाने वाला हर काम OS का है। टेक्स्ट फ़ॉर्मेटिंग तो आप खुद सॉफ्टवेयर के अंदर करते हैं, है न? इसलिए III को हटा दें और सही उत्तर पाएं!
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Mathematics | Q. 132
एक घन के विकर्ण की लंबाई $5\sqrt{3}$ सेमी है, तब इस घन के लिए सही निष्कर्ष चुनें:
(I) आयतन 125 घन सेमी है।
(II) एक भुजा 5 सेमी है।
(III) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 600 वर्ग सेमी है (जैसा प्रश्न के विकल्प III में दिया गया है)।
(IV) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 100 वर्ग सेमी है।
(II) एक भुजा 5 सेमी है।
(III) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 600 वर्ग सेमी है (जैसा प्रश्न के विकल्प III में दिया गया है)।
(IV) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 100 वर्ग सेमी है।
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A. केवल I और II
समाधान:
1. घन का विकर्ण = $a\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \Rightarrow$ भुजा ($a$) = 5 सेमी। (कथन II सही है)
2. आयतन = $a^3 = 5^3 =$ 125 घन सेमी। (कथन I सही है)
चूँकि विकल्प A में I और II को ही प्राथमिकता दी गई है, इसलिए यह सबसे उपयुक्त उत्तर है।
1. घन का विकर्ण = $a\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \Rightarrow$ भुजा ($a$) = 5 सेमी। (कथन II सही है)
2. आयतन = $a^3 = 5^3 =$ 125 घन सेमी। (कथन I सही है)
चूँकि विकल्प A में I और II को ही प्राथमिकता दी गई है, इसलिए यह सबसे उपयुक्त उत्तर है।
🚀 way2 study smart Smart Tip:
पेपर सेट करने वाले कभी-कभी मुख्य उत्तरों (I और II) को ही विकल्प में रखते हैं। इसलिए हमेशा सबसे ठोस निष्कर्षों को पहले चुनें!
पेपर सेट करने वाले कभी-कभी मुख्य उत्तरों (I और II) को ही विकल्प में रखते हैं। इसलिए हमेशा सबसे ठोस निष्कर्षों को पहले चुनें!
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Computer Science | Q. 133
निम्नलिखित में से कौन से साइबर सुरक्षा खतरों (Cybersecurity Threats) में शामिल हैं?
(I) फ़िशिंग (Phishing)
(II) फ़ायरवॉल (Firewall)
(III) रैनसमवेयर (Ransomware)
(IV) SQL इंजेक्शन (SQL Injection)
(II) फ़ायरवॉल (Firewall)
(III) रैनसमवेयर (Ransomware)
(IV) SQL इंजेक्शन (SQL Injection)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): B. केवल I, III और IV
हिंदी में समाधान:
साइबर सुरक्षा के खतरों को समझना महत्वपूर्ण है:
- फ़िशिंग (I): नकली ईमेल या लिंक के जरिए जानकारी चुराना। यह एक खतरा है।
- फ़ायरवॉल (II): यह नेटवर्क सुरक्षा का एक उपकरण (Tool) है जो खतरों को रोकता है। यह खुद खतरा नहीं है।
- रैनसमवेयर (III): डेटा लॉक करके फिरौती मांगना। यह एक खतरा है।
- SQL इंजेक्शन (IV): डेटाबेस में गलत कोड डालकर छेड़छाड़ करना। यह एक खतरा है।
अतः I, III और IV खतरे हैं। विकल्प B सही है।
- फ़िशिंग (I): नकली ईमेल या लिंक के जरिए जानकारी चुराना। यह एक खतरा है।
- फ़ायरवॉल (II): यह नेटवर्क सुरक्षा का एक उपकरण (Tool) है जो खतरों को रोकता है। यह खुद खतरा नहीं है।
- रैनसमवेयर (III): डेटा लॉक करके फिरौती मांगना। यह एक खतरा है।
- SQL इंजेक्शन (IV): डेटाबेस में गलत कोड डालकर छेड़छाड़ करना। यह एक खतरा है।
अतः I, III और IV खतरे हैं। विकल्प B सही है।
🚀 way2 study smart Smart Tip:
बस इतना सोचें: "इनमें से कौन सी चीज़ मेरे कंप्यूटर को नुकसान पहुँचाएगी?" फ़ायरवॉल तो आपके कंप्यूटर का "चौकीदार" है, वह नुकसान नहीं पहुँचाता! इसलिए II को हटाते ही आपको सही उत्तर मिल जाएगा।
बस इतना सोचें: "इनमें से कौन सी चीज़ मेरे कंप्यूटर को नुकसान पहुँचाएगी?" फ़ायरवॉल तो आपके कंप्यूटर का "चौकीदार" है, वह नुकसान नहीं पहुँचाता! इसलिए II को हटाते ही आपको सही उत्तर मिल जाएगा।
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Mathematics | Q. 134
समूहबद्ध डेटा (Grouped Data) का माध्य गणना करते समय, हम मानते हैं कि बारंबारताएँ (Frequencies) इस प्रकार हैं:
✅ सही उत्तर (Correct Answer): C. वर्ग चिन्हों पर केंद्रित होती हैं।
हिंदी में समाधान:
मुख्य अवधारणा:
जब हमारे पास अंतराल (जैसे 10-20) में डेटा होता है, तो हमें नहीं पता होता कि उस अंतराल के अंदर सटीक मान क्या हैं। गणना को सरल बनाने के लिए, सांख्यिकी में यह मान लिया जाता है कि उस अंतराल की पूरी बारंबारता उसके मध्य-बिंदु यानी वर्ग चिन्ह (Class Mark) पर स्थित है।
यही कारण है कि माध्य निकालते समय हम $f \times x$ करते हैं, जहाँ $x$ वर्ग चिन्ह होता है।
जब हमारे पास अंतराल (जैसे 10-20) में डेटा होता है, तो हमें नहीं पता होता कि उस अंतराल के अंदर सटीक मान क्या हैं। गणना को सरल बनाने के लिए, सांख्यिकी में यह मान लिया जाता है कि उस अंतराल की पूरी बारंबारता उसके मध्य-बिंदु यानी वर्ग चिन्ह (Class Mark) पर स्थित है।
यही कारण है कि माध्य निकालते समय हम $f \times x$ करते हैं, जहाँ $x$ वर्ग चिन्ह होता है।
🚀 way2 study smart Smart Tip:
बस इतना याद रखें कि 'Mean' निकालने के लिए हमें एक प्रतिनिधि (Representative) वैल्यू चाहिए होती है, और अंतराल का सबसे अच्छा प्रतिनिधि उसका Center (Class Mark) ही होता है!
बस इतना याद रखें कि 'Mean' निकालने के लिए हमें एक प्रतिनिधि (Representative) वैल्यू चाहिए होती है, और अंतराल का सबसे अच्छा प्रतिनिधि उसका Center (Class Mark) ही होता है!
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Computer Science | Q. 135
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
अभिकथन [As]: फ़ायरवॉल अनधिकृत पहुँच और साइबर खतरों से नेटवर्क को सुरक्षित रखने में मदद करते हैं।
कारण [R]: फ़ायरवॉल हर पैकेट को स्कैन करता है और सभी इनकमिंग इंटरनेट ट्रैफिक को ब्लॉक कर देता है।
कारण [R]: फ़ायरवॉल हर पैकेट को स्कैन करता है और सभी इनकमिंग इंटरनेट ट्रैफिक को ब्लॉक कर देता है।
✅ सही उत्तर (Correct Answer): C. [As] सत्य है, लेकिन [R] गलत है।
हिंदी में समाधान:
1. अभिकथन [As] की जाँच: यह बिल्कुल सत्य है। फ़ायरवॉल का मुख्य काम ही अनधिकृत (Unauthorized) यूज़र्स को नेटवर्क से दूर रखना है।
2. कारण [R] की जाँच: यह गलत है। फ़ायरवॉल हर पैकेट को स्कैन तो करता है, लेकिन वह "सभी" इनकमिंग ट्रैफिक को ब्लॉक नहीं करता। अगर वह सबको ब्लॉक कर देगा, तो आप इंटरनेट का इस्तेमाल ही नहीं कर पाएंगे! वह केवल उन पैकेटों को ब्लॉक करता है जो सुरक्षा नियमों (Security Rules) के खिलाफ होते हैं।
अतः, [As] सही है और [R] गलत है।
2. कारण [R] की जाँच: यह गलत है। फ़ायरवॉल हर पैकेट को स्कैन तो करता है, लेकिन वह "सभी" इनकमिंग ट्रैफिक को ब्लॉक नहीं करता। अगर वह सबको ब्लॉक कर देगा, तो आप इंटरनेट का इस्तेमाल ही नहीं कर पाएंगे! वह केवल उन पैकेटों को ब्लॉक करता है जो सुरक्षा नियमों (Security Rules) के खिलाफ होते हैं।
अतः, [As] सही है और [R] गलत है।
🚀 way2 study smart Smart Tip:
'Firewall' को एक सुरक्षा गार्ड की तरह समझें। गार्ड हर आने वाले को चेक करता है, लेकिन वह सबको अंदर आने से नहीं रोकता, सिर्फ संदिग्ध लोगों को रोकता है!
'Firewall' को एक सुरक्षा गार्ड की तरह समझें। गार्ड हर आने वाले को चेक करता है, लेकिन वह सबको अंदर आने से नहीं रोकता, सिर्फ संदिग्ध लोगों को रोकता है!
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Mathematics | Q. 136
निम्नलिखित सांख्यिकीय शब्दों को सुमेलित कीजिए:
लिस्ट - I
(a) केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे प्रयुक्त मानक
(b) अधिकतम बारंबारता वाला मान
(c) केंद्रीय प्रवृत्ति का माप नहीं है
(d) सीमाओं का आधा $(U_L + L_L) / 2$
(a) केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे प्रयुक्त मानक
(b) अधिकतम बारंबारता वाला मान
(c) केंद्रीय प्रवृत्ति का माप नहीं है
(d) सीमाओं का आधा $(U_L + L_L) / 2$
लिस्ट - II
(I) परास (Range)
(II) माध्य (Mean)
(III) वर्ग चिन्ह (Class mark)
(IV) बहुलक (Mode)
(I) परास (Range)
(II) माध्य (Mean)
(III) वर्ग चिन्ह (Class mark)
(IV) बहुलक (Mode)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): D
सही मिलान विश्लेषण:
1. माध्य (a-II): औसत निकालने का मुख्य मानक है।
2. बहुलक (b-IV): वह मान जो सबसे अधिक बार आता है।
3. परास (c-I): यह 'फैलाव' मापता है, केंद्र नहीं।
4. वर्ग चिन्ह (d-III): ऊपरी और निचली सीमा का औसत मान।
अतः सही उत्तर D है।
1. माध्य (a-II): औसत निकालने का मुख्य मानक है।
2. बहुलक (b-IV): वह मान जो सबसे अधिक बार आता है।
3. परास (c-I): यह 'फैलाव' मापता है, केंद्र नहीं।
4. वर्ग चिन्ह (d-III): ऊपरी और निचली सीमा का औसत मान।
अतः सही उत्तर D है।
🚀 way2 study smart Smart Tip:
मिलान वाले सवालों में अक्सर C और D विकल्प बहुत करीबी होते हैं। (d) का (III) से मिलान होते ही D को लॉक कर दें!
मिलान वाले सवालों में अक्सर C और D विकल्प बहुत करीबी होते हैं। (d) का (III) से मिलान होते ही D को लॉक कर दें!
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Mathematics | Q. 137
एक शंकु (Cone) के लिए जिसकी ऊँचाई 10 सेमी और आधार की त्रिज्या 5 सेमी है, निम्न कथनों पर विचार करें:
(I) आयतन $\frac{5500}{21}$ घन सेमी है।
(II) तिर्यक ऊँचाई $5\sqrt{5}$ सेमी है।
(III) वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल $\frac{550\sqrt{5}}{21}$ वर्ग सेमी है।
(IV) आयतन $\frac{550\sqrt{3}}{21}$ घन सेमी है।
(II) तिर्यक ऊँचाई $5\sqrt{5}$ सेमी है।
(III) वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल $\frac{550\sqrt{5}}{21}$ वर्ग सेमी है।
(IV) आयतन $\frac{550\sqrt{3}}{21}$ घन सेमी है।
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A
समाधान विश्लेषण:
1. आयतन (I): $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 10 = \mathbf{\frac{5500}{21}}$ (सत्य)।
2. तिर्यक ऊँचाई (II): $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = \mathbf{5\sqrt{5}}$ (सत्य)।
3. वक्र पृष्ठ (III): $CSA = \pi rl = \frac{22}{7} \times 5 \times 5\sqrt{5} = \frac{550\sqrt{5}}{7}$। यहाँ विकल्प में बटे में 21 दिया है, इसलिए यह गलत है।
अतः केवल I और II सही हैं।
2. तिर्यक ऊँचाई (II): $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = \mathbf{5\sqrt{5}}$ (सत्य)।
3. वक्र पृष्ठ (III): $CSA = \pi rl = \frac{22}{7} \times 5 \times 5\sqrt{5} = \frac{550\sqrt{5}}{7}$। यहाँ विकल्प में बटे में 21 दिया है, इसलिए यह गलत है।
अतः केवल I और II सही हैं।
🚀 way2 study smart Shortcut Trick:
एग्जाम में कैलकुलेशन से बचने के लिए बस फॉर्मूला चेक करें। वक्र पृष्ठ ($\pi rl$) में $\frac{1}{3}$ नहीं आता, इसलिए उसके नीचे 21 ($7 \times 3$) कभी नहीं आ सकता। इस ट्रिक से कथन III को तुरंत काट दें!
एग्जाम में कैलकुलेशन से बचने के लिए बस फॉर्मूला चेक करें। वक्र पृष्ठ ($\pi rl$) में $\frac{1}{3}$ नहीं आता, इसलिए उसके नीचे 21 ($7 \times 3$) कभी नहीं आ सकता। इस ट्रिक से कथन III को तुरंत काट दें!
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Computer Science | Q. 138
निम्नलिखित डेटा संग्रहण इकाइयों (Data Storage Units) को क्षमता के बढ़ते क्रम (Increasing order) में व्यवस्थित करें:
(I) टेराबाइट (TB)
(II) मेगाबाइट (MB)
(III) पेटाबाइट (PB)
(IV) किलोबाइट (KB)
(V) गीगाबाइट (GB)
(II) मेगाबाइट (MB)
(III) पेटाबाइट (PB)
(IV) किलोबाइट (KB)
(V) गीगाबाइट (GB)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): D. IV → II → V → I → III
Trick और समाधान:
इन इकाइयों को याद रखने की सबसे आसान Trick यह है:
Kal Mera Ghar Thok Pita
- K (Kilobyte - IV): सबसे छोटा
- M (Megabyte - II)
- G (Gigabyte - V)
- T (Terabyte - I)
- P (Petabyte - III): सबसे बड़ा
अतः सही बढ़ता क्रम है: IV → II → V → I → III
Kal Mera Ghar Thok Pita
- K (Kilobyte - IV): सबसे छोटा
- M (Megabyte - II)
- G (Gigabyte - V)
- T (Terabyte - I)
- P (Petabyte - III): सबसे बड़ा
अतः सही बढ़ता क्रम है: IV → II → V → I → III
🚀 way2 study smart Shortcut:
परीक्षा में बस यह याद रखें कि 'K' (Kilobyte) हमेशा शुरुआत में होगा और 'P' (Petabyte) आखिर में। इससे आप विकल्पों को सेकंडों में फ़िल्टर कर पाएंगे!
परीक्षा में बस यह याद रखें कि 'K' (Kilobyte) हमेशा शुरुआत में होगा और 'P' (Petabyte) आखिर में। इससे आप विकल्पों को सेकंडों में फ़िल्टर कर पाएंगे!
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Mathematics | Q. 139
व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:
$$\frac{(625)^{6.25} \times (25)^{2.6}}{(625)^{6.75} \times (5)^{1.2}} = ?$$
$$\frac{(625)^{6.25} \times (25)^{2.6}}{(625)^{6.75} \times (5)^{1.2}} = ?$$
✅ सही उत्तर (Correct Answer): D. 25
समाधान विश्लेषण:
स्टेप 1: सभी को आधार 5 में बदलें।
$625 = 5^4$ और $25 = 5^2$
स्टेप 2: घातों को गुणा करें।
ऊपर: $(5^4)^{6.25} \times (5^2)^{2.6} = 5^{25} \times 5^{5.2} = \mathbf{5^{30.2}}$
नीचे: $(5^4)^{6.75} \times 5^{1.2} = 5^{27} \times 5^{1.2} = \mathbf{5^{28.2}}$
स्टेप 3: भाग दें (घातों को घटाएं)।
$5^{30.2 - 28.2} = 5^2 = \mathbf{25}$
$625 = 5^4$ और $25 = 5^2$
स्टेप 2: घातों को गुणा करें।
ऊपर: $(5^4)^{6.25} \times (5^2)^{2.6} = 5^{25} \times 5^{5.2} = \mathbf{5^{30.2}}$
नीचे: $(5^4)^{6.75} \times 5^{1.2} = 5^{27} \times 5^{1.2} = \mathbf{5^{28.2}}$
स्टेप 3: भाग दें (घातों को घटाएं)।
$5^{30.2 - 28.2} = 5^2 = \mathbf{25}$
🚀 way2 study smart Shortcut Trick:
ऐसे सवालों में पहले समान आधार वाली बड़ी संख्याओं को काटें।
$\frac{625^{6.25}}{625^{6.75}} = 625^{-0.5} = \frac{1}{\sqrt{625}} = \frac{1}{25}$
अब बचा: $\frac{25^{2.6}}{25 \times 5^{1.2}} = \frac{5^{5.2}}{5^2 \times 5^{1.2}} = \frac{5^{5.2}}{5^{3.2}} = 5^2 = 25$!
ऐसे सवालों में पहले समान आधार वाली बड़ी संख्याओं को काटें।
$\frac{625^{6.25}}{625^{6.75}} = 625^{-0.5} = \frac{1}{\sqrt{625}} = \frac{1}{25}$
अब बचा: $\frac{25^{2.6}}{25 \times 5^{1.2}} = \frac{5^{5.2}}{5^2 \times 5^{1.2}} = \frac{5^{5.2}}{5^{3.2}} = 5^2 = 25$!
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MATHS SOLUTION
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Mathematics | Q. 140
मान ज्ञात कीजिए (The value of):
$1 + \tan 5^\circ \cot 85^\circ$ किसके बराबर है?
$1 + \tan 5^\circ \cot 85^\circ$ किसके बराबर है?
✅ सही उत्तर (Correct Answer): C. $\sec^2 5^\circ$
समाधान विश्लेषण:
1. पूरक कोण नियम: हम जानते हैं कि $\cot \theta = \tan(90^\circ - \theta)$
2. अतः, $\cot 85^\circ = \tan(90^\circ - 85^\circ) = \mathbf{\tan 5^\circ}$
3. अब व्यंजक में मान रखने पर:
$1 + \tan 5^\circ \times \tan 5^\circ = 1 + \tan^2 5^\circ$
4. त्रिकोणमितीय सर्वसमिका (Identity): $1 + \tan^2 \theta = \mathbf{\sec^2 \theta}$
5. इसलिए, $1 + \tan^2 5^\circ = \mathbf{\sec^2 5^\circ}$
1. पूरक कोण नियम: हम जानते हैं कि $\cot \theta = \tan(90^\circ - \theta)$
2. अतः, $\cot 85^\circ = \tan(90^\circ - 85^\circ) = \mathbf{\tan 5^\circ}$
3. अब व्यंजक में मान रखने पर:
$1 + \tan 5^\circ \times \tan 5^\circ = 1 + \tan^2 5^\circ$
4. त्रिकोणमितीय सर्वसमिका (Identity): $1 + \tan^2 \theta = \mathbf{\sec^2 \theta}$
5. इसलिए, $1 + \tan^2 5^\circ = \mathbf{\sec^2 5^\circ}$
🚀 way2 study smart Trick:
जब भी कोणों का योग $90^\circ$ हो (जैसे $5 + 85 = 90$), तो $\tan$ और $\cot$ एक-दूसरे में बदल जाते हैं। बस $\tan \times \tan = \tan^2$ करें और अपनी पसंदीदा ID ($1+\tan^2$) लगा दें!
जब भी कोणों का योग $90^\circ$ हो (जैसे $5 + 85 = 90$), तो $\tan$ और $\cot$ एक-दूसरे में बदल जाते हैं। बस $\tan \times \tan = \tan^2$ करें और अपनी पसंदीदा ID ($1+\tan^2$) लगा दें!
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MATHS SOLUTION
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Mathematics | Q. 141
यदि एक अनुक्रम $a_n = 4n + 5$ से परिभाषित है, तो इसका समान्तर अन्तर (Common Difference) क्या होगा?
$a_n = 4n + 5$
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A. 4
समाधान विश्लेषण:
1. पहला पद ($n=1$): $a_1 = 4(1) + 5 = 9$
2. दूसरा पद ($n=2$): $a_2 = 4(2) + 5 = 13$
3. समान्तर अन्तर ($d$): $d = a_2 - a_1 = 13 - 9 = \mathbf{4}$
1. पहला पद ($n=1$): $a_1 = 4(1) + 5 = 9$
2. दूसरा पद ($n=2$): $a_2 = 4(2) + 5 = 13$
3. समान्तर अन्तर ($d$): $d = a_2 - a_1 = 13 - 9 = \mathbf{4}$
🚀 way2 study smart Super Trick:
जब भी समान्तर श्रेणी का व्यापक पद ($a_n$) एक रैखिक समीकरण (Linear Equation) के रूप में हो, तो 'n' का गुणांक (Coefficient) ही हमेशा समान्तर अन्तर ($d$) होता है।
यहाँ $a_n = \mathbf{4}n + 5$ है, इसलिए $d = 4$ सीधे उत्तर है!
जब भी समान्तर श्रेणी का व्यापक पद ($a_n$) एक रैखिक समीकरण (Linear Equation) के रूप में हो, तो 'n' का गुणांक (Coefficient) ही हमेशा समान्तर अन्तर ($d$) होता है।
यहाँ $a_n = \mathbf{4}n + 5$ है, इसलिए $d = 4$ सीधे उत्तर है!
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Mathematics | Q. 142
एक आयताकार खेल के मैदान का क्षेत्रफल 1500 वर्ग मी. है। यदि मैदान की लंबाई 50 मी. है, तो उसकी चौड़ाई कितनी होगी?
क्षेत्रफल = 1500 मी², लंबाई = 50 मी
✅ सही उत्तर (Correct Answer): B. 30 मी.
समाधान विश्लेषण:
1. सूत्र: आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
2. मान रखने पर: $1500 = 50 \times \text{चौड़ाई}$
3. चौड़ाई: $\frac{1500}{50} = \mathbf{30 \text{ मी.}}$
1. सूत्र: आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
2. मान रखने पर: $1500 = 50 \times \text{चौड़ाई}$
3. चौड़ाई: $\frac{1500}{50} = \mathbf{30 \text{ मी.}}$
🚀 way2 study smart Trick:
क्षेत्रफल के अंत में शून्य (0) देखें। $50$ को किससे गुणा करें कि $150$ (शुरुआती अंक) आ जाए? $5 \times 3 = 15$, इसलिए $30$ उत्तर होगा। बस इकाई अंक के गणित से सेकंडों में हल करें!
क्षेत्रफल के अंत में शून्य (0) देखें। $50$ को किससे गुणा करें कि $150$ (शुरुआती अंक) आ जाए? $5 \times 3 = 15$, इसलिए $30$ उत्तर होगा। बस इकाई अंक के गणित से सेकंडों में हल करें!
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MATHS SOLUTION
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Mathematics | Q. 143
संचयी बारंबारता सारणी (Cumulative Frequency Table) का निर्माण किसके निर्धारण में उपयोगी होता है?
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A. बहुलक (Mode)
समाधान विश्लेषण:
सामान्यतः संचयी बारंबारता का उपयोग माध्यिका (Median) निकालने के लिए किया जाता है, लेकिन आपकी परीक्षा की अधिकारिक उत्तर कुंजी (Answer Key) के अनुसार बहुलक (Mode) के निर्धारण में भी इसके महत्व को स्वीकार किया गया है। प्रतियोगी परीक्षाओं में कभी-कभी बोर्ड के उत्तरों का अनुसरण करना ही सुरक्षित रहता है।
सामान्यतः संचयी बारंबारता का उपयोग माध्यिका (Median) निकालने के लिए किया जाता है, लेकिन आपकी परीक्षा की अधिकारिक उत्तर कुंजी (Answer Key) के अनुसार बहुलक (Mode) के निर्धारण में भी इसके महत्व को स्वीकार किया गया है। प्रतियोगी परीक्षाओं में कभी-कभी बोर्ड के उत्तरों का अनुसरण करना ही सुरक्षित रहता है।
🚀 way2 study smart Trick:
एग्जाम में ऐसे सवालों के लिए हमेशा अधिकारिक आंसर की (Official Key) का अभ्यास करें। 'C.F.' का संबंध माध्यिका से सबसे गहरा है, लेकिन 'Option A' दिए होने पर उसे ही प्राथमिकता दें।
एग्जाम में ऐसे सवालों के लिए हमेशा अधिकारिक आंसर की (Official Key) का अभ्यास करें। 'C.F.' का संबंध माध्यिका से सबसे गहरा है, लेकिन 'Option A' दिए होने पर उसे ही प्राथमिकता दें।
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Data Interpretation | Q. 144
नीचे दिया गया ग्राफ एक कंपनी द्वारा विभिन्न शीर्षों (मिलियन में) के तहत कंपनी के व्यय (Expenditure) को दर्शाता है। सही कथनों का चुनाव करें:
- वेतन (Salary): 20
- कच्चा माल (Raw Material): 40
- परिवहन (Transport): 10
- किराया (Rent): 5
- अन्य (Others): 15
- कच्चा माल (Raw Material): 40
- परिवहन (Transport): 10
- किराया (Rent): 5
- अन्य (Others): 15
(a) कंपनी ने वेतन पर न्यूनतम राशि खर्च की।
(b) कंपनी ने कच्चे माल पर अधिकतम राशि खर्च की।
(c) न्यूनतम राशि किराए पर खर्च की गई।
(b) कंपनी ने कच्चे माल पर अधिकतम राशि खर्च की।
(c) न्यूनतम राशि किराए पर खर्च की गई।
A. a और b दोनों सत्य हैं
B. b और c दोनों सत्य हैं
C. उपरोक्त में से सभी सत्य हैं
D. उपरोक्त में से कोई भी सत्य नहीं है
✅ सही उत्तर (Correct Answer): B. b और c दोनों सत्य हैं
ग्राफ विश्लेषण (Trick):
- कथन (a): वेतन पर 20 मिलियन खर्च हुए, जबकि किराए पर सिर्फ 5 मिलियन। अतः वेतन पर खर्च "न्यूनतम" नहीं है। (यह गलत है)
- कथन (b): ग्राफ में सबसे ऊँचा बार "कच्चा माल" (40) का है। अतः यह अधिकतम खर्च है। (यह सत्य है)
- कथन (c): ग्राफ में सबसे छोटा बार "किराया" (5) का है। अतः यह न्यूनतम खर्च है। (यह सत्य है)
चूँकि b और c दोनों सत्य हैं, इसलिए विकल्प B सही है।
- कथन (a): वेतन पर 20 मिलियन खर्च हुए, जबकि किराए पर सिर्फ 5 मिलियन। अतः वेतन पर खर्च "न्यूनतम" नहीं है। (यह गलत है)
- कथन (b): ग्राफ में सबसे ऊँचा बार "कच्चा माल" (40) का है। अतः यह अधिकतम खर्च है। (यह सत्य है)
- कथन (c): ग्राफ में सबसे छोटा बार "किराया" (5) का है। अतः यह न्यूनतम खर्च है। (यह सत्य है)
चूँकि b और c दोनों सत्य हैं, इसलिए विकल्प B सही है।
🚀 way2 study smart Shortcut Trick:
DI के सवालों में कैलकुलेशन से पहले ग्राफ की ऊँचाई देखें। सबसे ऊँचा खंभा (Bar) = अधिकतम, सबसे छोटा खंभा = न्यूनतम। बस खंभों की तुलना करें और उत्तर पाएँ!
DI के सवालों में कैलकुलेशन से पहले ग्राफ की ऊँचाई देखें। सबसे ऊँचा खंभा (Bar) = अधिकतम, सबसे छोटा खंभा = न्यूनतम। बस खंभों की तुलना करें और उत्तर पाएँ!
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Mathematics | Q. 145
एक खोखला बेलन (Hollow Cylinder) जिसकी बाह्य त्रिज्या 'R', आंतरिक त्रिज्या 'r' और ऊंचाई 'h' है। आयतन, वक्र पृष्ठ और संपूर्ण पृष्ठ प्राप्त करने के चरणों को सही क्रम में व्यवस्थित कीजिए:
(a) $\pi R^2 h$ ज्ञात करें
(b) $2\pi(R + r)(h + R - r)$ ज्ञात करें
(c) $\pi r^2 h$ ज्ञात करें
(d) $\pi h(R^2 - r^2)$ ज्ञात करें
(e) $2\pi h(R + r)$ ज्ञात करें
(b) $2\pi(R + r)(h + R - r)$ ज्ञात करें
(c) $\pi r^2 h$ ज्ञात करें
(d) $\pi h(R^2 - r^2)$ ज्ञात करें
(e) $2\pi h(R + r)$ ज्ञात करें
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A. c → a → d → e → b
चरण-दर-चरण समाधान (Trick):
1. आयतन (Volume): बाह्य आयतन (a) और आंतरिक आयतन (c) निकाल कर उन्हें घटाया जाता है (d)।
2. वक्र पृष्ठ (CSA): बाह्य और आंतरिक वक्र पृष्ठ का योग $2\pi Rh + 2\pi rh$ यानी $2\pi h(R+r)$ होता है (e)।
3. संपूर्ण पृष्ठ (TSA): वक्र पृष्ठ और दोनों सिरों के छल्ले (Rings) का क्षेत्रफल जोड़कर अंतिम सूत्र (b) प्राप्त होता है।
अतः सही तार्किक क्रम: c → a → d → e → b है।
1. आयतन (Volume): बाह्य आयतन (a) और आंतरिक आयतन (c) निकाल कर उन्हें घटाया जाता है (d)।
2. वक्र पृष्ठ (CSA): बाह्य और आंतरिक वक्र पृष्ठ का योग $2\pi Rh + 2\pi rh$ यानी $2\pi h(R+r)$ होता है (e)।
3. संपूर्ण पृष्ठ (TSA): वक्र पृष्ठ और दोनों सिरों के छल्ले (Rings) का क्षेत्रफल जोड़कर अंतिम सूत्र (b) प्राप्त होता है।
अतः सही तार्किक क्रम: c → a → d → e → b है।
🚀 way2 study smart Shortcut Trick:
याद रखें, आयतन निकालने के लिए पहले छोटे और बड़े बेलन का अलग-अलग आयतन (c, a) पता होना चाहिए, फिर उनका अंतर (d)। विकल्पों में 'c-a-d' का क्रम सिर्फ विकल्प A में है। यही आपकी सुपर ट्रिक है!
याद रखें, आयतन निकालने के लिए पहले छोटे और बड़े बेलन का अलग-अलग आयतन (c, a) पता होना चाहिए, फिर उनका अंतर (d)। विकल्पों में 'c-a-d' का क्रम सिर्फ विकल्प A में है। यही आपकी सुपर ट्रिक है!
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Trigonometry | Q. 146
दी गई आकृति में समकोण त्रिभुज के लिए सही अनुपातों का चुनाव करें:
(I) $\sin C = \frac{AC}{BC}$
(II) $\sin B = \frac{AC}{BC}$
(III) $\cos C = \frac{AC}{BC}$
(IV) $\cos B = \frac{AB}{AC}$
(II) $\sin B = \frac{AC}{BC}$
(III) $\cos C = \frac{AC}{BC}$
(IV) $\cos B = \frac{AB}{AC}$
सही विकल्प चुनें:
A. केवल I और III
B. केवल II और III
C. केवल II और IV
D. केवल I और IV
✅ सही उत्तर (Correct Answer): B. केवल II और III
समाधान विश्लेषण (Trick):
समकोण त्रिभुज ABC में, $\angle A = 90^\circ$ है। अतः कर्ण ($Hypotenuse$) = BC है।
1. कोण B के लिए: लम्ब (Opposite) = AC, आधार (Adjacent) = AB
$\sin B = \frac{\text{Opposite}}{\text{Hypotenuse}} = \mathbf{\frac{AC}{BC}}$ (कथन II सत्य है)
2. कोण C के लिए: लम्ब (Opposite) = AB, आधार (Adjacent) = AC
$\cos C = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypotenuse}} = \mathbf{\frac{AC}{BC}}$ (कथन III सत्य है)
अतः कथन II और III दोनों सही हैं।
समकोण त्रिभुज ABC में, $\angle A = 90^\circ$ है। अतः कर्ण ($Hypotenuse$) = BC है।
1. कोण B के लिए: लम्ब (Opposite) = AC, आधार (Adjacent) = AB
$\sin B = \frac{\text{Opposite}}{\text{Hypotenuse}} = \mathbf{\frac{AC}{BC}}$ (कथन II सत्य है)
2. कोण C के लिए: लम्ब (Opposite) = AB, आधार (Adjacent) = AC
$\cos C = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypotenuse}} = \mathbf{\frac{AC}{BC}}$ (कथन III सत्य है)
अतः कथन II और III दोनों सही हैं।
🚀 way2 study smart Shortcut Trick:
त्रिकोणमिति में बस यह याद रखें कि जिस कोण की बात हो रही है, उसके सामने वाली भुजा 'लम्ब' (Perpendicular) होती है।
$\angle B$ के सामने $AC$ है, इसलिए $\sin B = AC/BC$।
$\angle C$ के साथ वाली भुजा $AC$ है, इसलिए $\cos C = AC/BC$।
त्रिकोणमिति में बस यह याद रखें कि जिस कोण की बात हो रही है, उसके सामने वाली भुजा 'लम्ब' (Perpendicular) होती है।
$\angle B$ के सामने $AC$ है, इसलिए $\sin B = AC/BC$।
$\angle C$ के साथ वाली भुजा $AC$ है, इसलिए $\cos C = AC/BC$।
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Mathematics | Q. 147
$\frac{3\pi}{4}$ का ग्रेड (Grade) मान क्या होगा?
✅ सही उत्तर (Correct Answer): D. 150 grade
समाधान विश्लेषण (Step-by-Step):
1. नियम: $\pi \text{ radian} = 200 \text{ grades}$
2. अब हमें $\frac{3\pi}{4}$ को ग्रेड में बदलना है:
$\text{Value in grade} = \frac{3}{4} \times 200$
3. गणना: $3 \times 50 = \mathbf{150 \text{ grade}}$
1. नियम: $\pi \text{ radian} = 200 \text{ grades}$
2. अब हमें $\frac{3\pi}{4}$ को ग्रेड में बदलना है:
$\text{Value in grade} = \frac{3}{4} \times 200$
3. गणना: $3 \times 50 = \mathbf{150 \text{ grade}}$
🚀 way2 study smart Shortcut Trick:
बस यह याद रखें कि ग्रेड प्रणाली में एक समकोण ($90^\circ$) का मान $100$ ग्रेड होता है।
$\frac{3\pi}{4}$ का मतलब है $135^\circ$ (यानी $1.5$ समकोण)।
$1.5 \times 100 = 150$! बिना पेन उठाए उत्तर तैयार है।
बस यह याद रखें कि ग्रेड प्रणाली में एक समकोण ($90^\circ$) का मान $100$ ग्रेड होता है।
$\frac{3\pi}{4}$ का मतलब है $135^\circ$ (यानी $1.5$ समकोण)।
$1.5 \times 100 = 150$! बिना पेन उठाए उत्तर तैयार है।
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Mathematics | Q. 148
यदि समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) का एक कोण समकोण ($90^\circ$) है, तो वह है:
(I) एक आयत (A Rectangle)
(II) एक वर्ग (A Square)
(II) एक वर्ग (A Square)
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A. केवल I
समाधान विश्लेषण (Logic):
1. समांतर चतुर्भुज की परिभाषा के अनुसार, यदि उसका कोई भी एक कोण $90^\circ$ हो जाता है, तो उसके सभी कोण स्वतः ही $90^\circ$ हो जाते हैं।
2. ऐसा चतुर्भुज जिसकी आमने-सामने की भुजाएं बराबर हों और कोण $90^\circ$ हों, उसे आयत (Rectangle) कहते हैं।
3. उसे 'वर्ग' तब तक नहीं कह सकते जब तक यह न पता हो कि उसकी 'सभी भुजाएं' बराबर हैं। चूँकि प्रश्न में भुजाओं की समानता की बात नहीं की गई है, इसलिए केवल कथन I ही अनिवार्य रूप से सत्य है।
1. समांतर चतुर्भुज की परिभाषा के अनुसार, यदि उसका कोई भी एक कोण $90^\circ$ हो जाता है, तो उसके सभी कोण स्वतः ही $90^\circ$ हो जाते हैं।
2. ऐसा चतुर्भुज जिसकी आमने-सामने की भुजाएं बराबर हों और कोण $90^\circ$ हों, उसे आयत (Rectangle) कहते हैं।
3. उसे 'वर्ग' तब तक नहीं कह सकते जब तक यह न पता हो कि उसकी 'सभी भुजाएं' बराबर हैं। चूँकि प्रश्न में भुजाओं की समानता की बात नहीं की गई है, इसलिए केवल कथन I ही अनिवार्य रूप से सत्य है।
🚀 way2 study smart Shortcut Trick:
ज्यामिति का सीधा नियम याद रखें:
Parallelogram + 90° Angle = Rectangle
वर्ग (Square) होने के लिए भुजाओं का बराबर होना जरूरी है, जो यहाँ नहीं दिया गया है। इसलिए केवल 'आयत' को ही चुनें!
ज्यामिति का सीधा नियम याद रखें:
Parallelogram + 90° Angle = Rectangle
वर्ग (Square) होने के लिए भुजाओं का बराबर होना जरूरी है, जो यहाँ नहीं दिया गया है। इसलिए केवल 'आयत' को ही चुनें!
— Way2 Study Smart (Aftab Sir) 💡
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Mathematics | Q. 149
यदि किसी वृत्त 'C' की त्रिज्या 'r' है, तो सही कथनों का चुनाव करें:
(I) C का क्षेत्रफल $\pi r^2$ है।
(II) C का क्षेत्रफल $\frac{4}{3}\pi r^3$ है।
(III) C का क्षेत्रफल $\frac{2}{3}\pi r^3$ है।
(IV) C की परिधि $2\pi r$ है।
(II) C का क्षेत्रफल $\frac{4}{3}\pi r^3$ है।
(III) C का क्षेत्रफल $\frac{2}{3}\pi r^3$ है।
(IV) C की परिधि $2\pi r$ है।
✅ सही उत्तर (Correct Answer): A. केवल I और IV
समाधान विश्लेषण (Logic):
1. क्षेत्रफल (Area): किसी भी वृत्त का क्षेत्रफल उसकी त्रिज्या के वर्ग का $\pi$ गुना होता है। अतः सूत्र $\pi r^2$ सही है।
2. परिधि (Circumference): वृत्त के चारों ओर की दूरी $2\pi r$ होती है।
3. गलत कथन: विकल्प II और III ठोस आकृतियों (जैसे गोला या अर्धगोला) के आयतन से संबंधित हैं, वृत्त (2D आकृति) से नहीं।
अतः कथन I और IV ही सत्य हैं।
1. क्षेत्रफल (Area): किसी भी वृत्त का क्षेत्रफल उसकी त्रिज्या के वर्ग का $\pi$ गुना होता है। अतः सूत्र $\pi r^2$ सही है।
2. परिधि (Circumference): वृत्त के चारों ओर की दूरी $2\pi r$ होती है।
3. गलत कथन: विकल्प II और III ठोस आकृतियों (जैसे गोला या अर्धगोला) के आयतन से संबंधित हैं, वृत्त (2D आकृति) से नहीं।
अतः कथन I और IV ही सत्य हैं।
🚀 way2 study smart Shortcut Trick:
बस "Unit Check" का इस्तेमाल करें! क्षेत्रफल हमेशा वर्ग (Square) में होता है (जैसे $r^2$), जबकि आयतन घन (Cube) में ($r^3$)। चूँकि वृत्त एक 2D आकृति है, इसलिए $r^3$ वाले सभी विकल्प अपने आप बाहर हो जाते हैं!
बस "Unit Check" का इस्तेमाल करें! क्षेत्रफल हमेशा वर्ग (Square) में होता है (जैसे $r^2$), जबकि आयतन घन (Cube) में ($r^3$)। चूँकि वृत्त एक 2D आकृति है, इसलिए $r^3$ वाले सभी विकल्प अपने आप बाहर हो जाते हैं!
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Geometry | Q. 150
एक समबाहु त्रिभुज ABC जिसकी एक भुजा 'a' है, के लिए निम्नलिखित को क्रमशः व्यवस्थित कीजिये:
ऊँचाई, कुल क्षेत्रफल, परिमाप, लंबाई BD, क्षेत्रफल ABD
ऊँचाई, कुल क्षेत्रफल, परिमाप, लंबाई BD, क्षेत्रफल ABD
(a) $a/2$
(b) $\frac{\sqrt{3}}{2}a$
(c) $3a$
(d) $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
(e) $\frac{\sqrt{3}}{8}a^2$
(b) $\frac{\sqrt{3}}{2}a$
(c) $3a$
(d) $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
(e) $\frac{\sqrt{3}}{8}a^2$
सही क्रम चुनें:
A. d > b > c > a > e
B. b > d > c > a > e
C. e > d > c > a > b
D. a > b > c > d > e
✅ सही उत्तर (Correct Answer): B. b > d > c > a > e
समाधान विश्लेषण (Step-by-Step):
1. ऊँचाई (Height): सूत्र $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ होता है। → (b)
2. कुल क्षेत्रफल: $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ होता है। → (d)
3. परिमाप (Perimeter): $3 \times a$ होता है। → (c)
4. लंबाई BD: चूंकि D मध्य बिंदु है, $BD = a/2$ होगा। → (a)
5. क्षेत्रफल ABD: यह पूरे त्रिभुज का आधा होगा, $\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{8}a^2$। → (e)
सही क्रम: b > d > c > a > e
1. ऊँचाई (Height): सूत्र $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ होता है। → (b)
2. कुल क्षेत्रफल: $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ होता है। → (d)
3. परिमाप (Perimeter): $3 \times a$ होता है। → (c)
4. लंबाई BD: चूंकि D मध्य बिंदु है, $BD = a/2$ होगा। → (a)
5. क्षेत्रफल ABD: यह पूरे त्रिभुज का आधा होगा, $\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{8}a^2$। → (e)
सही क्रम: b > d > c > a > e
🚀 way2 study smart Shortcut Trick:
एग्जाम में बस पहले दो को मिलाएँ! ऊँचाई हमेशा '$\sqrt{3}/2$' और परिमाप हमेशा '$3a$' होता है। जैसे ही आपने 'b' और 'c' को सही जगह पाया, विकल्प चुनना आसान हो जाएगा।
एग्जाम में बस पहले दो को मिलाएँ! ऊँचाई हमेशा '$\sqrt{3}/2$' और परिमाप हमेशा '$3a$' होता है। जैसे ही आपने 'b' और 'c' को सही जगह पाया, विकल्प चुनना आसान हो जाएगा।
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