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A Personal Note to My Dear Students,
"Success is not final, failure is not fatal: it is the courage to continue that counts."
My dear aspirants, as you navigate the challenging waters of JEE Main 2026, remember that every complex equation you solve and every concept you master is bringing you one step closer to your dreams. Physics isn't just about formulas; it's about developing the vision to see how the universe works.
I have personally crafted these solutions with the utmost care to ensure you have the clearest path to understanding. My goal is to transform your "hard work" into "smart work." Whenever you feel overwhelmed, just know that Aftab Sir is right here, cheering for your success and supporting your journey every step of the way.
Believe in your potential as much as I believe in you. Let's conquer these challenges together!
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| JEE Main 2026 April Session (2 April Morning Shift) Physics ke complete solutions – easy explanation ke saath. |
🚀 JEE Main 2026 april session , Physics Solutions
02 April 2026 | Morning Shift | Prepared by Way2 Study Smart
1 Question
If $\vec{r} = 10t^2 \hat{i} + 5t^3 \hat{j}$ and mass of object, $m = 0.1$ kg then at $t = 1$ sec :-
(यदि $\vec{r} = 10t^2 \hat{i} + 5t^3 \hat{j}$ और वस्तु का द्रव्यमान $m = 0.1$ kg है, तो $t = 1$ सेकंड पर :-)
📝 Solution / समाधान
1. Velocity & Acceleration: Differentiate $\vec{r}$ w.r.t. time:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = 20t \hat{i} + 15t^2 \hat{j}$. At $t=1$, $\vec{v} = 20\hat{i} + 15\hat{j}$
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = 20\hat{i} + 30t \hat{j}$. At $t=1$, $\vec{a} = 20\hat{i} + 30\hat{j}$
2. Calculations:
• $\vec{p} = m\vec{v} = 0.1(20\hat{i} + 15\hat{j}) = 2\hat{i} + 1.5\hat{j}$ (Correct)
• $\vec{F} = m\vec{a} = 0.1(20\hat{i} + 30\hat{j}) = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ (Correct)
• $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = (10\hat{i} + 5\hat{j}) \times (2\hat{i} + 1.5\hat{j}) = 15 - 10 = 5\hat{k}$ (Correct)
• $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (10\hat{i} + 5\hat{j}) \times (2\hat{i} + 3\hat{j}) = 30 - 10 = 20\hat{k}$ (Correct)
1. वेग और त्वरण: स्थिति ($\vec{r}$) का अवकलन करने पर:
वेग ($\vec{v}$) = $20t \hat{i} + 15t^2 \hat{j}$. $t=1$ पर, $\vec{v} = 20\hat{i} + 15\hat{j}$
त्वरण ($\vec{a}$) = $20\hat{i} + 30t \hat{j}$. $t=1$ पर, $\vec{a} = 20\hat{i} + 30\hat{j}$
2. जाँच:
• संवेग ($\vec{p}$) = $m\vec{v}$ निकालने पर विकल्प (A) सही है।
• बल ($\vec{F}$) = $m\vec{a}$ निकालने पर विकल्प (B) सही है।
• कोणीय संवेग ($\vec{L}$) और टॉर्क ($\vec{\tau}$) के लिए क्रॉस प्रोडक्ट ($\vec{r} \times \vec{p}$ और $\vec{r} \times \vec{F}$) करने पर (C) और (D) भी सही हैं।
For 2D vectors $\vec{A} = x_1\hat{i} + y_1\hat{j}$ and $\vec{B} = x_2\hat{i} + y_2\hat{j}$, the cross product $\vec{A} \times \vec{B}$ is simply $(x_1y_2 - y_1x_2)\hat{k}$. Don't waste time making a full determinant matrix! Just use (10 × 3 - 5 × 2) = 20 for Torque instantly.
2 Question
A particle is moving such that its velocity vector at co-ordinate $(x, y, z)$ is $\vec{v} = -x\hat{i} + 2yj\hat{j} - z\hat{k}$. Find magnitude of acceleration at $(1, 1, 4)$.
(एक कण इस प्रकार गति कर रहा है कि निर्देशांक $(x, y, z)$ पर इसका वेग सदिश $\vec{v} = -x\hat{i} + 2yj\hat{j} - z\hat{k}$ है। $(1, 1, 4)$ पर त्वरण का परिमाण ज्ञात कीजिए।)
📝 Solution / समाधान
Given velocity $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} + v_z \hat{k} = -x \hat{i} + 2y \hat{j} - z \hat{k}$.
We know that acceleration $a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{dv_x}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v_x \frac{dv_x}{dx}$.
• $a_x = (-x) \cdot \frac{d}{dx}(-x) = (-x)(-1) = x$
• $a_y = v_y \frac{dv_y}{dy} = (2y) \cdot \frac{d}{dy}(2y) = (2y)(2) = 4y$
• $a_z = v_z \frac{dv_z}{dz} = (-z) \cdot \frac{d}{dz}(-z) = (-z)(-1) = z$
Vector acceleration $\vec{a} = x\hat{i} + 4y\hat{j} + z\hat{k}$.
At point $(1, 1, 4)$: $\vec{a} = 1\hat{i} + 4(1)\hat{j} + 4\hat{k} = \hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
Magnitude $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16 + 16} = \mathbf{\sqrt{33} \text{ m/s}^2}$.
यहाँ वेग $\vec{v}$ को $x, y, z$ के पदों में दिया गया है। त्वरण निकालने के लिए हम श्रृंखला नियम (Chain Rule) का उपयोग करेंगे: $a = v \frac{dv}{dx}$।
• $x$-दिशा में त्वरण: $a_x = v_x \frac{dv_x}{dx} = (-x)(-1) = x$
• $y$-दिशा में त्वरण: $a_y = v_y \frac{dv_y}{dy} = (2y)(2) = 4y$
• $z$-दिशा में त्वरण: $a_z = v_z \frac{dv_z}{dz} = (-z)(-1) = z$
बिंदु $(1, 1, 4)$ पर मान रखने पर:
$\vec{a} = 1\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$
परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 4^2} = \mathbf{\sqrt{33} \text{ m/s}^2}$।
⚡ Quick Tip (English)
Whenever velocity is a function of position, simply use $a = v \frac{dv}{dx}$. If the function is linear like $v = kx$, then $a = k^2x$. Here for $x$ component $k=-1$, so $a_x = (-1)^2 x = x$. This saves differentiation steps!
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3 Question
A wooden cubical block of relative density 0.4 is floating in water. Side of cubical block is 10 cm. When a coin is placed on the block, it dips by 0.3 cm. Weight of coin is:
(सापेक्ष घनत्व 0.4 का एक लकड़ी का घनाकार ब्लॉक पानी में तैर रहा है। ब्लॉक की भुजा 10 cm है। जब ब्लॉक पर एक सिक्का रखा जाता है, तो यह 0.3 cm और डूब जाता है। सिक्के का भार है:)
📝 Solution / समाधान
When a coin is placed, the block sinks further. According to Archimedes' Principle, the extra weight of the coin must be equal to the weight of the additional water displaced.
• Extra depth ($h$) = 0.3 cm = $0.3 \times 10^{-2}$ m
• Area of cross-section ($A$) = $10 \times 10 = 100 \text{ cm}^2 = 10^{-2} \text{ m}^2$
• Density of water ($\rho$) = $1000 \text{ kg/m}^3$
Weight of coin = Extra Buoyant Force
Weight = $(\text{Extra volume submerged}) \times \rho \times g$
Weight = $(A \times h) \times \rho \times g$
Weight = $(10^{-2} \times 0.3 \times 10^{-2}) \times 1000 \times 10$
Weight = $0.3 \times 10^{-4} \times 10^4 = \mathbf{0.3 \text{ N}}$.
जब सिक्के को ब्लॉक पर रखा जाता है, तो ब्लॉक थोड़ा और डूब जाता है। आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार, सिक्के का भार ब्लॉक द्वारा हटाए गए अतिरिक्त पानी के भार के बराबर होगा।
• अतिरिक्त गहराई ($h$) = 0.3 cm
• अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल ($A$) = $10 \times 10 = 100 \text{ cm}^2$
सिक्के का भार = (अतिरिक्त डूबा हुआ आयतन) $\times$ पानी का घनत्व $\times$ $g$
सिक्के का भार = $(100 \text{ cm}^2 \times 0.3 \text{ cm}) \times (1 \text{ g/cm}^3) \times g$
चूंकि $1 \text{ kg}$ का भार $10 \text{ N}$ होता है, तो $30 \text{ g}$ का भार $0.3 \text{ N}$ होगा।
⚡ Quick Tip (English)
Ignore the relative density of wood! It's only there to confuse you. The "Extra Sinking" only depends on the weight added and the density of the liquid (water). Just use: Weight = Additional Submerged Volume $\times$ 10,000 (in SI units).
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4 Question
Wavelength used in single slit diffraction is 628 nm. Width of slit is 0.2 mm. Find the angular width of central maxima in degree:
(एकल स्लिट विवर्तन में उपयोग की जाने वाली तरंग दैर्ध्य 628 nm है। स्लिट की चौड़ाई 0.2 mm है। डिग्री में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई ज्ञात कीजिए:)
📝 Solution / समाधान
Given:
• Wavelength ($\lambda$) = 628 nm = $628 \times 10^{-9}$ m
• Slit width ($d$) = 0.2 mm = $0.2 \times 10^{-3}$ m
Formula for Angular Width of Central Maxima: $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ (in radians)
Calculation:
$\theta = \frac{2 \times 628 \times 10^{-9}}{0.2 \times 10^{-3}} = 6280 \times 10^{-6}$ radians = $6.28 \times 10^{-3}$ radians.
Convert to Degrees:
$\theta (\text{degree}) = \theta (\text{radian}) \times \frac{180}{\pi}$
$\theta = (6.28 \times 10^{-3}) \times \frac{180}{3.14}$
$\theta = 2 \times 10^{-3} \times 180 = 0.360^\circ$
केंद्रीय उच्चिष्ठ (Central Maxima) की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ होता है।
1. $\lambda$ और $d$ का मान रखने पर हमें उत्तर रेडियन में मिलता है।
2. रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए हम उसे $\frac{180}{\pi}$ से गुणा करते हैं।
3. यहाँ $\pi \approx 3.14$ रखने पर गणना बहुत आसान हो जाती है क्योंकि 6.28 सीधा $2 \times 3.14$ है।
अतः, सही उत्तर 0.36° है।
⚡ Quick Tip (English)
Notice that $628$ is exactly $200 \times \pi$ (since $\pi \approx 3.14$). In JEE, when you see multiples of 3.14, always try to cancel out $\pi$ during the radian-to-degree conversion. This avoids long multiplications!
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5 Question
Two spheres are connected with a conducting wire. $E_{S_1}$ & $E_{S_2}$ are electric field at surface of sphere at equilibrium, find $\frac{E_{S_1}}{E_{S_2}}$. (Given radii are 8 cm and 18 cm respectively)
(दो गोलों को एक चालक तार से जोड़ा गया है। साम्यावस्था (equilibrium) में गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र $E_{S_1}$ और $E_{S_2}$ हैं, $\frac{E_{S_1}}{E_{S_2}}$ ज्ञात कीजिए।)
📝 Solution / समाधान
1. When two spheres are connected by a conducting wire, they reach common potential ($V_1 = V_2$).
2. Potential $V = \frac{kQ}{r}$, so $\frac{kQ_1}{r_1} = \frac{kQ_2}{r_2} \Rightarrow \frac{Q_1}{Q_2} = \frac{r_1}{r_2}$.
3. Electric Field at surface $E = \frac{kQ}{r^2}$.
4. Therefore, the ratio of electric fields is:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{kQ_1/r_1^2}{kQ_2/r_2^2} = \frac{Q_1}{Q_2} \times \frac{r_2^2}{r_1^2}$
5. Substituting $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{r_1}{r_2}$:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{r_1}{r_2} \times \frac{r_2^2}{r_1^2} = \mathbf{\frac{r_2}{r_1}}$
Calculation:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = \mathbf{2.25}$
1. जब दो गोलों को चालक तार से जोड़ा जाता है, तो उनका विभव (Potential) समान हो जाता है।
2. विभव समान होने पर: $\frac{Q_1}{r_1} = \frac{Q_2}{r_2}$
3. सतह पर विद्युत क्षेत्र $E \propto \frac{Q}{r^2}$ होता है।
4. हल करने पर हमें संबंध मिलता है: $E \propto \frac{1}{r}$ (अर्थात विद्युत क्षेत्र त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है)।
5. अतः $\frac{E_1}{E_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{18}{8} = \mathbf{2.25}$।
⚡ Quick Tip (English)
Directly remember: For connected conductors, Surface Electric Field is inversely proportional to Radius ($E \propto 1/r$). Just flip the radius ratio: $18/8 = 2.25$. No need to write full formulas!
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6 Question
A container of initial volume $0.15 \text{ m}^3$ is expanded adiabatically from pressure 8 bar to final pressure 1 bar. If initial temperature is 140 K, then find work done by the gas :- (Given $C_p = 3R, C_v = 2R$)
(0.15 $\text{m}^3$ प्रारंभिक आयतन वाले एक पात्र को 8 बार दाब से 1 बार के अंतिम दाब तक रुद्धोष्म (adiabatically) रूप से प्रसारित किया जाता है। यदि प्रारंभिक तापमान 140 K है, तो गैस द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।)
📝 Solution / समाधान
1. Calculate $\gamma$: $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{3R}{2R} = 1.5$.
2. Find Final Volume ($V_2$): For adiabatic process, $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$.
$V_2 = V_1 \left( \frac{P_1}{P_2} \right)^{1/\gamma} = 0.15 \left( \frac{8}{1} \right)^{1/1.5} = 0.15 \times (8)^{2/3}$
$V_2 = 0.15 \times 4 = 0.6 \text{ m}^3$.
3. Work Done ($W$): Formula $W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1 - \gamma}$.
$W = \frac{(1 \times 10^5 \times 0.6) - (8 \times 10^5 \times 0.15)}{1 - 1.5}$ (Note: 1 bar = $10^5$ Pa)
$W = \frac{0.6 \times 10^5 - 1.2 \times 10^5}{-0.5} = \frac{-0.6 \times 10^5}{-0.5} = 1.2 \times 10^5 \text{ J} = \mathbf{120 \text{ KJ}}$.
1. सबसे पहले $\gamma$ का मान निकालें: $\gamma = C_p/C_v = 1.5$।
2. रुद्धोष्म प्रसार (Adiabatic Expansion) के नियम $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ का उपयोग करके अंतिम आयतन ($V_2$) निकालें। यहाँ $V_2 = 0.6 \text{ m}^3$ प्राप्त होगा।
3. कार्य के सूत्र $W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1 - \gamma}$ में सभी मान रखें।
4. गणना करने पर कार्य का मान $1.2 \times 10^5$ जूल यानी 120 KJ आता है।
⚡ Quick Tip (English)
When $\gamma = 1.5$ (or $3/2$), the term $(P_1/P_2)^{1/\gamma}$ becomes $(P_1/P_2)^{2/3}$. Since $8 = 2^3$, its $2/3$ power is simply $2^2 = 4$. This is a common pattern in JEE to keep the math clean!
Exclusively for WAY2 STUDY SMART Students
7 Question
On a metal surface if light of wavelength $\lambda$ falls, stopping potential for emitted photoelectron is $3V_0$, and if light of wavelength $2\lambda$ falls, stopping potential is $V_0$. Find threshold wavelength ($\lambda_{th}$) :-
(एक धातु की सतह पर यदि $\lambda$ तरंग दैर्ध्य का प्रकाश गिरता है, तो उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन के लिए निरोधी विभव (stopping potential) $3V_0$ है, और यदि $2\lambda$ तरंग दैर्ध्य का प्रकाश गिरता है, तो निरोधी विभव $V_0$ है। देहली तरंग दैर्ध्य ($\lambda_{th}$) ज्ञात कीजिए।)
📝 Solution / समाधान
According to Einstein's photoelectric equation: $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
1. Case 1: $e(3V_0) = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ --- (Eq. 1)
2. Case 2: $e(V_0) = \frac{hc}{2\lambda} - \phi$ --- (Eq. 2)
Multiply (Eq. 2) by 3 to eliminate $V_0$:
$3eV_0 = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi$
Now, compare with (Eq. 1):
$\frac{hc}{\lambda} - \phi = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi$
$2\phi = \frac{3hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{2\lambda}$
$\phi = \frac{hc}{4\lambda}$
Since $\phi = \frac{hc}{\lambda_{th}}$, we get $\lambda_{th} = 4\lambda$.
1. आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण का उपयोग करें: $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi$।
2. पहली स्थिति के लिए: $3eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$।
3. दूसरी स्थिति के लिए: $eV_0 = \frac{hc}{2\lambda} - \phi$।
4. $V_0$ को हटाने के लिए दूसरे समीकरण को 3 से गुणा करें और पहले समीकरण के बराबर रख दें।
5. हल करने पर कार्य फलन (Work Function) $\phi = \frac{hc}{4\lambda}$ आता है।
6. चूंकि देहली तरंग दैर्ध्य ($\lambda_{th}$) का संबंध $\phi = \frac{hc}{\lambda_{th}}$ से है, इसलिए $\lambda_{th} = 4\lambda$ होगा।
⚡ Quick Tip (English)
If stopping potentials are in ratio $n:1$ for wavelengths $\lambda$ and $m\lambda$, use this direct relation: $\lambda_{th} = \frac{(n \cdot m - 1)}{(n - 1)} \lambda$.
Here $n=3$ and $m=2$, so $\lambda_{th} = \frac{(3 \times 2 - 1)}{(3 - 1)} \lambda = \frac{5}{2} \lambda$... Wait, that's for energy! For frequency/wavelength problems, sticking to the subtraction of equations is the safest and fastest way in JEE.
Focused Learning by Way2 Study Smart
8 Question
Consider two arrangements of wires. Find out ratio of magnetic field at center of semi-circular part ($O_1$ and $O_2$) :-
(तारों की दो व्यवस्थाओं पर विचार कीजिए। अर्ध-वृत्ताकार भाग के केंद्र ($O_1$ और $O_2$) पर चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात ज्ञात कीजिए:)
📝 Solution / समाधान
Let $B_{wire} = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}$ (Magnetic field due to semi-infinite wire at center) and $B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{4R}$ (Magnetic field due to semi-circular arc).
Case (a) at $O_1$:
Both semi-infinite wires and the arc produce fields in the same direction (into the page).
$B_1 = 2 \times \left(\frac{\mu_0 I}{4\pi R}\right) + \frac{\mu_0 I}{4R} = \frac{\mu_0 I}{4R} \left[ \frac{2}{\pi} + 1 \right] = \frac{\mu_0 I}{4\pi R} (2 + \pi)$
Case (b) at $O_2$:
One semi-infinite wire produces field into the page, but the arc also produces field into the page. However, the top wire is on the axis of $O_2$, so its field is zero. Only one semi-infinite wire and the arc contribute.
$B_2 = 1 \times \left(\frac{\mu_0 I}{4\pi R}\right) + \frac{\mu_0 I}{4R} = \frac{\mu_0 I}{4\pi R} (1 + \pi)$
Ratio: $\frac{B_1}{B_2} = \mathbf{\frac{2 + \pi}{1 + \pi}}$
1. चित्र (a) में: केंद्र $O_1$ पर दो अर्ध-अनंत (semi-infinite) तारों और एक अर्ध-वृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र है। तीनों की दिशा एक ही तरफ (कागज के अंदर) है। इसलिए कुल क्षेत्र $\propto (2 + \pi)$ होगा।
2. चित्र (b) में: ऊपर वाला सीधा तार केंद्र $O_2$ की अक्ष (axis) पर है, इसलिए उसका चुंबकीय क्षेत्र शून्य होगा। यहाँ केवल एक सीधा तार और अर्ध-वृत्ताकार चाप ही योगदान देंगे। इसलिए कुल क्षेत्र $\propto (1 + \pi)$ होगा।
3. दोनों का अनुपात लेने पर हमें $\frac{2 + \pi}{1 + \pi}$ प्राप्त होता है।
⚡ Quick Tip (English)
Just count the contributions! In 1st case, you have 2 straight wires + arc. In 2nd case, only 1 straight wire is effective + arc. Since the factor for a straight wire is $1/\pi$ and for a semi-circle is $1/2$ (relative to $\mu_0 I/2R$), the ratio involves $(2/\pi + 1)$ vs $(1/\pi + 1)$. Flip the fractions to get the answer instantly!
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9 Question
Diagram shows a circuit consisting of some elements. The input and output of the circuit is shown. Choose the correct option that shows the component in the box. (Zener diode has a breakdown potential of 5V) :-
(चित्र कुछ अवयवों से बने सर्किट को दर्शाता है। सर्किट का इनपुट और आउटपुट दिखाया गया है। उस सही विकल्प को चुनें जो बॉक्स में मौजूद घटक (component) को दर्शाता है। ज़ेनर डायोड का ब्रेकडाउन वोल्टेज 5V है।)
📝 Solution / समाधान
1. Observation: The output waveform is clipped at +5V and -5V. This indicates a double-sided clipper circuit.
2. Zener Diode Property: A Zener diode clips the voltage at its breakdown voltage ($V_z$) in reverse bias and at approximately 0V (ideal) or 0.7V in forward bias.
3. Circuit Analysis: To clip both positive and negative cycles at 5V, we need two Zener diodes connected back-to-back (in series, facing opposite directions).
• In the positive cycle, one diode is in breakdown ($5V$) and the other is forward biased ($0V$). Total clip = $5V + 0V = 5V$.
• In the negative cycle, the roles are reversed, clipping it at $-5V$.
4. Therefore, Option (4) which shows two back-to-back Zener diodes is correct.
1. अवलोकन: आउटपुट ग्राफ को देखने पर पता चलता है कि यह +5V और -5V पर कटा हुआ (clipped) है। इसका मतलब है कि सर्किट इनपुट वोल्टेज को 5V से आगे नहीं जाने दे रहा है।
2. ज़ेनर डायोड का कार्य: ज़ेनर डायोड रिवर्स बायस में अपने ब्रेकडाउन वोल्टेज (यहाँ 5V) पर वोल्टेज को स्थिर कर देता है।
3. निष्कर्ष: दोनों चक्रों (Positive & Negative) को क्लिप करने के लिए हमें दो ज़ेनर डायोड को एक-दूसरे के विपरीत (back-to-back) जोड़ना होगा।
4. अतः, विकल्प (4) सही है जिसमें दो ज़ेनर डायोड विपरीत दिशा में जुड़े हुए हैं।
⚡ Quick Tip (English)
Whenever you see an AC signal clipped symmetrically on both sides (like +5V and -5V), look for Back-to-Back Zener diodes. If it's clipped only on one side, it's a single Zener or a simple PN junction diode.
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10 Question
There is a parallel plate capacitor of capacitance $C$. If half of the space is filled with dielectric of dielectric constant $k = 5$ as in the figure, find percentage increase in capacitance :-
(धारिता $C$ का एक समांतर प्लेट संधारित्र है। यदि आधी जगह को चित्रानुसार परावैद्युतांक $k = 5$ वाले परावैद्युत से भर दिया जाता है, तो धारिता में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात कीजिए:)
📝 Solution / समाधान
1. Initial Capacitance: $C_i = \frac{A\epsilon_0}{d} = C$.
2. Final Configuration: After filling half space ($d/2$) with $k=5$, the system becomes two capacitors in series.
• $C_1$ (air) = $\frac{A\epsilon_0}{d/2} = 2C$
• $C_2$ (dielectric) = $\frac{kA\epsilon_0}{d/2} = 2kC = 2(5)C = 10C$
3. Equivalent Capacitance ($C_f$):
$\frac{1}{C_f} = \frac{1}{2C} + \frac{1}{10C} = \frac{5+1}{10C} = \frac{6}{10C}$
$C_f = \frac{10C}{6} = \frac{5}{3}C \approx 1.667C$.
4. Percentage Increase:
$\% \text{ Increase} = \frac{C_f - C_i}{C_i} \times 100 = \frac{5/3C - C}{C} \times 100 = \frac{2}{3} \times 100 = \mathbf{66.67\%}$.
1. प्रारंभिक धारिता $C = \frac{A\epsilon_0}{d}$ है।
2. जब प्लेटों के बीच की आधी दूरी में परावैद्युत भरा जाता है, तो यह श्रेणीक्रम (Series) में जुड़े दो संधारित्रों की तरह व्यवहार करता है।
3. हवा वाले भाग की धारिता $2C$ और परावैद्युत वाले भाग की धारिता $10C$ होगी।
4. श्रेणीक्रम का सूत्र लगाने पर नई धारिता $\frac{5}{3}C$ प्राप्त होती है।
5. प्रतिशत वृद्धि = $\frac{\text{नई धारिता} - \text{पुरानी धारिता}}{\text{पुरानी धारिता}} \times 100 = \mathbf{66.67\%}$।
⚡ Quick Tip (English)
For series combination where half distance is filled: $C_{new} = C_{old} \times \frac{2k}{k+1}$.
Put $k=5 \Rightarrow C_{new} = C \times \frac{2(5)}{5+1} = \frac{10}{6}C = \frac{5}{3}C$.
Since $5/3 \approx 1.66$, the increase is clearly $0.66$ or $66.67\%$. Use this formula to save time!
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11 Question
A satellite is revolving around planet of mass $2M$ in orbit of radius $R$ with time period is $T_1$. Another satellite is revolving around planet of mass $4M$ in orbit of radius $2R$, with time period $T_2$. Find $\frac{T_1}{T_2}$.
(एक उपग्रह $2M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $R$ त्रिज्या की कक्षा में $T_1$ समय अवधि के साथ चक्कर लगा रहा है। एक अन्य उपग्रह $4M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $2R$ त्रिज्या की कक्षा में $T_2$ समय अवधि के साथ चक्कर लगा रहा है। $\frac{T_1}{T_2}$ ज्ञात कीजिए।)
📝 Solution / समाधान
1. Formula for Time Period: $T = \frac{2\pi r^{3/2}}{\sqrt{GM}}$.
2. Therefore, $T \propto \frac{r^{3/2}}{\sqrt{M}}$.
3. Taking the ratio of $T_1$ and $T_2$:
$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \times \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^{3/2}$
4. Substituting the values ($M_1=2M, M_2=4M, R_1=R, R_2=2R$):
$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{4M}{2M}} \times \left( \frac{R}{2R} \right)^{3/2} = \sqrt{2} \times \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2}$
$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2\sqrt{2}} = \mathbf{\frac{1}{2}}$.
1. किसी उपग्रह की समय अवधि का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ होता है।
2. यहाँ समय अवधि $T$, कक्षा की त्रिज्या ($r$) के $3/2$ घात के समानुपाती और ग्रह के द्रव्यमान ($M$) के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती है।
3. दोनों स्थितियों के मान रखने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{4M}{2M}} \times (\frac{R}{2R})^{3/2} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2\sqrt{2}}$
4. हल करने पर उत्तर 1/2 प्राप्त होता है।
⚡ Quick Tip (English)
Remember Kepler's Modified Third Law: $T^2 \propto \frac{r^3}{M}$.
For $T_1^2 \Rightarrow \frac{R^3}{2M}$.
For $T_2^2 \Rightarrow \frac{(2R)^3}{4M} = \frac{8R^3}{4M} = \frac{2R^3}{M}$.
Ratio of Squares: $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{R^3/2M}{2R^3/M} = \frac{1}{4}$. Taking root gives $1/2$ instantly!
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12 Question
Object is placed at 40 cm from spherical surface whose radius of curvature is 20 cm. Find height of image formed. (Refractive indices $\mu_1 = 1, \mu_2 = 1.54$, Object height $h_o = 2 \text{ cm}$)
(एक वस्तु को 20 cm वक्रता त्रिज्या वाली गोलीय सतह से 40 cm की दूरी पर रखा गया है। बनने वाली छवि की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।)
📝 Solution / समाधान
1. Given: $u = -40 \text{ cm}, R = -20 \text{ cm}$ (concave towards object), $\mu_1 = 1, \mu_2 = 1.54, h_o = 2 \text{ cm}$.
2. Using Refraction Formula: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
$\frac{1.54}{v} - \frac{1}{-40} = \frac{1.54 - 1}{-20}$
$\frac{1.54}{v} = -\frac{0.54}{20} - \frac{1}{40} = \frac{-1.08 - 1}{40} = -\frac{2.08}{40}$
$v = -\frac{1.54 \times 40}{2.08} \approx -29.61 \text{ cm}$.
3. Magnification ($m$): $m = \frac{h_i}{h_o} = \frac{\mu_1 v}{\mu_2 u}$
$h_i = h_o \times \left( \frac{1 \times (-29.61)}{1.54 \times (-40)} \right) = 2 \times 0.48 = \mathbf{0.96 \text{ cm}}$.
1. गोलीय सतह से अपवर्तन के सूत्र $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ का उपयोग करने पर हमें प्रतिबिंब की दूरी $v \approx -29.61 \text{ cm}$ प्राप्त होती है।
2. आवर्धन सूत्र $m = \frac{h_i}{h_o} = \frac{\mu_1 v}{\mu_2 u}$ का उपयोग करके प्रतिबिंब की ऊँचाई ($h_i$) निकाली जाती है।
3. मान रखने पर $h_i = 0.96 \text{ cm}$ आता है।
⚡ Quick Tip (English)
In spherical refraction, always be very careful with the Sign Convention of Radius ($R$). If the surface is concave towards the object, $R$ is negative. Also, remember magnification involves $\mu_1$ and $\mu_2$, unlike simple mirror formulas!
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13 Question
Thin symmetric prism of $\mu = 1.5$. Find ratio of incident angle ($i$) and minimum deviation ($\delta_{min}$) for small angle of incidence :-
($\mu = 1.5$ वाला एक पतला सममित प्रिज्म है। छोटे आपतन कोण के लिए आपतन कोण ($i$) और न्यूनतम विचलन ($\delta_{min}$) का अनुपात ज्ञात कीजिए:)
📝 Solution / समाधान
1. For small angle prism (Thin Prism):
Minimum deviation is given by: $\delta_{min} = (\mu - 1)A$
2. At Minimum Deviation:
We know that $r_1 = r_2 = A/2$.
Using Snell's Law for small angles: $i = \mu r = \mu (A/2)$
3. Calculating the Ratio:
Ratio = $\frac{i}{\delta_{min}} = \frac{\mu(A/2)}{(\mu - 1)A} = \frac{\mu}{2(\mu - 1)}$
4. Substituting $\mu = 1.5$:
Ratio = $\frac{1.5}{2(1.5 - 1)} = \frac{1.5}{2(0.5)} = \frac{1.5}{1} = \mathbf{3/2}$.
1. पतले प्रिज्म के लिए न्यूनतम विचलन का सूत्र $\delta_{min} = (\mu - 1)A$ होता है।
2. न्यूनतम विचलन की स्थिति में, आपतन कोण $i = \mu \times (A/2)$ होता है (स्नेल के नियम से)।
3. इन दोनों का अनुपात लेने पर: $\frac{i}{\delta_{min}} = \frac{\mu}{2(\mu - 1)}$।
4. $\mu = 1.5$ रखने पर अनुपात 3 : 2 प्राप्त होता है।
⚡ Quick Tip (English)
For any thin prism with $\mu = 1.5$, the angle of incidence at minimum deviation is always exactly 1.5 times the minimum deviation itself. This happens because the denominator $2(\mu - 1)$ becomes $1$ when $\mu = 1.5$. Just remember $i = 1.5 \delta_{min}$ for this specific $\mu$!
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14 Question
In Searle's experiment diameter of wire is measured with screw gauge of least count 0.001 cm and its value is 0.08 cm. Length of wire is 150 cm with least count 0.1 cm and elongation 0.5 cm with least count 0.001 cm. Weight suspended is 100 N then absolute error in Young's modulus is $N \times 10^9 \text{ N/m}^2$. Then $N$ is :-
(सीर्ल के प्रयोग में तार का व्यास 0.001 cm अल्पतमांक (least count) वाले स्क्रू गेज से मापा जाता है और इसका मान 0.08 cm है। तार की लंबाई 150 cm (अल्पतमांक 0.1 cm) और विस्तार 0.5 cm (अल्पतमांक 0.001 cm) है। लटकाया गया भार 100 N है, तो यंग मापांक में परम त्रुटि (absolute error) $N \times 10^9 \text{ N/m}^2$ है। $N$ का मान है:)
📝 Solution / समाधान
1. Formula for Young's Modulus: $Y = \frac{FL}{A\ell} = \frac{4WL}{\pi d^2 \ell}$.
2. Calculation of Y:
$Y = \frac{4 \times 100 \times 1.5}{\pi \times (0.0008)^2 \times 0.005} \approx 5.97 \times 10^{10} \text{ N/m}^2$.
3. Relative Error Formula:
$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$ (Assuming W and $\pi$ are constant).
4. Substituting values:
$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{0.1}{150} + 2\left(\frac{0.001}{0.08}\right) + \frac{0.001}{0.5}$
$\Delta Y = 5.97 \times 10^{10} \times [0.00066 + 0.025 + 0.002] \approx 1.65 \times 10^9$.
Therefore, $N = 1.65$.
1. यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{4WL}{\pi d^2 \ell}$ होता है।
2. त्रुटि विश्लेषण (Error Analysis) के अनुसार, प्रतिशत या सापेक्ष त्रुटि निकालते समय हम घातों (powers) को आगे ले आते हैं।
3. $\Delta Y$ निकालने के लिए हम लंबाई ($L$), व्यास ($d$) और विस्तार ($\ell$) में होने वाली सापेक्ष त्रुटियों को जोड़ते हैं।
4. सभी मान रखने और गणना करने पर परम त्रुटि $1.65 \times 10^9$ आती है, अतः $N = 1.65$।
⚡ Quick Tip (English)
In error calculation problems, diameter ($d$) usually contributes the most error because of the factor of 2 in the formula ($d^2$). Always pay extra attention to the diameter's least count!
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15 Question
Angular momentum of the electron in a hydrogen atom is $\frac{3h}{2\pi}$, then find the energy of the electron in the orbit :-
(एक हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $\frac{3h}{2\pi}$ है, तो कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा ज्ञात कीजिए:)
📝 Solution / समाधान
1. Bohr's Quantization Rule: Angular momentum ($L$) is given by $L = \frac{nh}{2\pi}$.
2. Given $L = \frac{3h}{2\pi}$, comparing this with the formula, we find that the orbit number $n = 3$.
3. Energy Formula for H-atom: $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \text{ eV}$.
4. For $n = 3$:
$E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = \frac{-13.6}{9} = \mathbf{-1.51 \text{ eV}}$.
1. बोहर के सिद्धांत के अनुसार, कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
2. प्रश्न में $L = \frac{3h}{2\pi}$ दिया गया है, जिससे यह स्पष्ट है कि इलेक्ट्रॉन तीसरी कक्षा ($n=3$) में है।
3. हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में ऊर्जा का सूत्र $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \text{ eV}$ है।
4. $n=3$ रखने पर: $E_3 = \frac{-13.6}{9} = \mathbf{-1.51 \text{ eV}}$।
⚡ Quick Tip (English)
Memorize the energy levels for H-atom to save time in JEE:
$n=1 \rightarrow -13.6 \text{ eV}$
$n=2 \rightarrow -3.4 \text{ eV}$
$n=3 \rightarrow -1.51 \text{ eV}$
$n=4 \rightarrow -0.85 \text{ eV}$
This way, once you find $n=3$ from the angular momentum, you can pick the answer in a second!
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16 Question
Net electric field at point A as shown in figure is at an angle of 60° with x-axis then, find $\frac{P_2}{P_1} = ?$
(जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, बिंदु A पर शुद्ध विद्युत क्षेत्र x-अक्ष के सा
.png)
थ 60° का कोण बनाता है, तो $\frac{P_2}{P_1}$ ज्ञात कीजिए:)
📝 Solution / समाधान
1. Point A position: Point A is on the axial line of dipole $P_1$ and on the equatorial line of dipole $P_2$.
2. Electric Field due to $P_1$ (Axial): $E_1 = \frac{2kP_1}{r^3}$ (along x-axis).
3. Electric Field due to $P_2$ (Equatorial): $E_2 = \frac{kP_2}{r^3}$ (opposite to $P_2$ direction, i.e., along y-axis).
4. Resultant Angle: $\tan \theta = \frac{E_y}{E_x} = \frac{E_2}{E_1}$.
Given $\theta = 60^\circ$, so $\tan 60^\circ = \frac{kP_2/r^3}{2kP_1/r^3}$
$\sqrt{3} = \frac{P_2}{2P_1} \Rightarrow \frac{P_2}{P_1} = \mathbf{2\sqrt{3}}$.
1. बिंदु A, द्विध्रुव $P_1$ के लिए अक्षीय (Axial) स्थिति में है और $P_2$ के लिए निरक्षीय (Equatorial) स्थिति में है।
2. अक्षीय क्षेत्र $E_1 = \frac{2kP_1}{r^3}$ और निरक्षीय क्षेत्र $E_2 = \frac{kP_2}{r^3}$ होता है।
3. शुद्ध विद्युत क्षेत्र का कोण $\tan \theta = \frac{E_2}{E_1}$ द्वारा दिया जाता है।
4. $\theta = 60^\circ$ रखने पर: $\sqrt{3} = \frac{P_2}{2P_1}$। अतः $\frac{P_2}{P_1} = \mathbf{2\sqrt{3}}$।
⚡ Quick Tip (English)
Always remember the "2" in the axial formula! If the point is axial to $P_1$ and equatorial to $P_2$, the ratio $P_2/P_1$ is simply $2 \times \tan(\theta)$. Here, $2 \times \tan(60^\circ) = 2\sqrt{3}$ instantly.
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17 Question
For diatomic gas, find the ratio $Q : \Delta U : W$ for isobaric process :-
(द्विपरमाणुक (diatomic) गैस के लिए, समदाबी (isobaric) प्रक्रिया के लिए $Q : \Delta U : W$ का अनुपात ज्ञात कीजिए:)
📝 Solution / समाधान
1. For Diatomic Gas: Degrees of freedom ($f$) = 5.
2. Thermodynamic Quantities (at constant Pressure):
• Heat ($Q$) = $n C_p \Delta T = n \left( \frac{f+2}{2} R \right) \Delta T = \frac{7}{2} n R \Delta T$
• Internal Energy ($\Delta U$) = $n C_v \Delta T = n \left( \frac{f}{2} R \right) \Delta T = \frac{5}{2} n R \Delta T$
• Work ($W$) = $P \Delta V = n R \Delta T = \frac{2}{2} n R \Delta T$
3. The Ratio:
$Q : \Delta U : W = C_p : C_v : R$
$Q : \Delta U : W = \frac{7}{2}R : \frac{5}{2}R : R = \mathbf{7 : 5 : 2}$.
1. द्विपरमाणुक गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) $f = 5$ होती है।
2. समदाबी प्रक्रिया (isobaric process) में दी गई ऊष्मा $C_p$ के, आंतरिक ऊर्जा $C_v$ के और कार्य $R$ के समानुपाती होता है।
3. $C_p = \frac{7}{2}R$ और $C_v = \frac{5}{2}R$ होता है।
4. अतः अनुपात $Q : \Delta U : W = \frac{7}{2}R : \frac{5}{2}R : R$, जो सरल करने पर 7 : 5 : 2 आता है।
⚡ Quick Tip (English)
For any gas in an isobaric process, the ratio is always $(f+2) : f : 2$.
• Monoatomic ($f=3$): $5 : 3 : 2$
• Diatomic ($f=5$): $7 : 5 : 2$
Just remember this simple formula to solve these questions in 5 seconds!
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18 Question
$Li^{+2} \rightarrow Li^{+3} + e^-$ : Energy required for this process. Given ionisation energy for ground state of hydrogen atom is $2.17 \times 10^{-18} \text{ J}$.
($Li^{+2} \rightarrow Li^{+3} + e^-$ प्रक्रिया के लिए आवश्यक ऊर्जा ज्ञात कीजिए। हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था (ground state) के लिए आयनन ऊर्जा $2.17 \times 10^{-18} \text{ J}$ दी गई है।)
📝 Solution / समाधान
1. Ionisation Energy (I.E.) Formula: $E \propto \frac{Z^2}{n^2}$.
2. For Hydrogen ($Z=1, n=1$), I.E. = $2.17 \times 10^{-18} \text{ J}$.
3. For $Li^{+2}$ (Lithium Ion), atomic number $Z = 3$. It is a hydrogen-like atom with 1 electron in the ground state ($n=1$).
4. Calculation:
$E_{Li} = E_{H} \times Z^2 = (2.17 \times 10^{-18}) \times (3)^2$
$E_{Li} = (2.17 \times 10^{-18}) \times 9 = \mathbf{19.53 \times 10^{-18} \text{ J}}$.
1. आयनन ऊर्जा का संबंध परमाणु क्रमांक ($Z$) के वर्ग के समानुपाती ($Z^2$) होता है।
2. लिथियम ($Li^{+2}$) के लिए $Z = 3$ होता है।
3. $Li^{+2}$ से इलेक्ट्रॉन निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा हाइड्रोजन की तुलना में $Z^2$ गुना अधिक होगी।
4. अतः, ऊर्जा = $9 \times 2.17 \times 10^{-18} = \mathbf{19.53 \times 10^{-18} \text{ J}}$।
⚡ Quick Tip (English)
For any hydrogen-like ion ($He^+, Li^{2+}, Be^{3+}$), simply multiply the ground state energy of Hydrogen by $Z^2$.
• $He^+ \rightarrow 4 \times E_H$
• $Li^{2+} \rightarrow 9 \times E_H$
This saves you from remembering complex unit conversions!
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19 Question
Electric field of electromagnetic wave is $E = 800 \sin\pi (10^8t + \frac{x}{150}) \text{ V/m}$. Where $x$ is in cm and $t$ in sec. A charged particle is moving with speed of $1.5 \times 10^6 \text{ m/s}$. Find the ratio of magnetic force to electric force on charge particle :-
(विद्युत चुम्बकीय तरंग का विद्युत क्षेत्र $E = 800 \sin\pi (10^8t + \frac{x}{150}) \text{ V/m}$ है। जहाँ $x$ cm में और $t$ sec में है। एक आवेशित कण $1.5 \times 10^6 \text{ m/s}$ की गति से चल रहा है। आवेशित कण पर चुंबकीय बल और विद्युत बल का अनुपात ज्ञात कीजिए:)
📝 Solution / समाधान
1. Find Velocity of Wave (c): From the wave equation $E = E_0 \sin(\omega t + kx)$, we have:
$\omega = 10^8\pi \text{ rad/s}$ and $k = \frac{\pi}{150} \text{ cm}^{-1} = \frac{100\pi}{150} \text{ m}^{-1} = \frac{2\pi}{3} \text{ m}^{-1}$.
Velocity $c = \frac{\omega}{k} = \frac{10^8\pi}{2\pi/3} = 1.5 \times 10^8 \text{ m/s}$.
2. Ratio of Forces:
• Electric Force $F_e = qE$
• Magnetic Force $F_m = qvB$
We know for EM waves, $B = E/c$. So, $F_m = qv(E/c)$.
3. Calculating the Ratio:
$\frac{F_m}{F_e} = \frac{qvE/c}{qE} = \frac{v}{c}$
$\text{Ratio} = \frac{1.5 \times 10^6}{1.5 \times 10^8} = \mathbf{10^{-2}}$.
1. सबसे पहले समीकरण से तरंग की चाल ($c$) ज्ञात करें: $c = \omega/k$। यहाँ $c = 1.5 \times 10^8 \text{ m/s}$ प्राप्त होता है।
2. चुंबकीय बल ($F_m = qvB$) और विद्युत बल ($F_e = qE$) का अनुपात $\frac{vB}{E}$ होता है।
3. विद्युत चुम्बकीय तरंगों के लिए $B/E = 1/c$ होता है।
4. अतः बलों का अनुपात $\mathbf{v/c}$ होगा। मान रखने पर: $\frac{1.5 \times 10^6}{1.5 \times 10^8} = \mathbf{10^{-2}}$।
⚡ Quick Tip (English)
Directly remember: Force Ratio ($F_m/F_e$) = particle velocity / wave velocity ($v/c$). You don't even need the value of $E_0$ (800) to solve this! Just find $c$ from $\omega$ and $k$, then divide.
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20 Question
A liquid drop having diameter 2mm and surface tension 0.08 N/m. This drop splits into 512 identical small drops. Find change in surface energy ?
(एक तरल बूंद जिसका व्यास 2mm और पृष्ठ तनाव 0.08 N/m है। यह बूंद 512 समान छोटी बूंदों में विभाजित हो जाती है। पृष्ठीय ऊर्जा में परिवर्तन ज्ञात कीजिए?)
📝 Solution / समाधान
1. Volume Conservation: Volume of big drop = $n \times$ Volume of small drop.
$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3 \Rightarrow R = n^{1/3}r$.
Given $n = 512$, so $R = (512)^{1/3}r = 8r \Rightarrow r = R/8$.
2. Change in Surface Energy ($\Delta U$):
$\Delta U = T \times \Delta A = T \times [n(4\pi r^2) - 4\pi R^2]$.
$\Delta U = T \times 4\pi [n(R/8)^2 - R^2] = T \times 4\pi [512(R^2/64) - R^2]$.
$\Delta U = T \times 4\pi [8R^2 - R^2] = T \times 4\pi (7R^2)$.
3. Calculation:
$R = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}, T = 0.08 \text{ N/m}$.
$\Delta U = 0.08 \times 4 \times 3.14 \times 7 \times (10^{-3})^2$.
$\Delta U \approx 7.034 \times 10^{-6} \text{ J}$.
1. आयतन संरक्षण: बड़ी बूंद का आयतन = $n \times$ छोटी बूंद का आयतन। इससे हमें बड़ी और छोटी त्रिज्या के बीच संबंध मिलता है: $R = n^{1/3}r$। $n = 512$ के लिए, $R = 8r$।
2. पृष्ठीय ऊर्जा में परिवर्तन: $\Delta U = T \times (\text{कुल अंतिम क्षेत्रफल} - \text{प्रारंभिक क्षेत्रफल})$।
3. मान रखने पर, $\Delta U = T \times 4\pi R^2 (n^{1/3} - 1)$।
4. गणना करने पर, ऊर्जा में परिवर्तन $7.034 \times 10^{-6}$ जूल प्राप्त होता है।
⚡ Quick Tip (English)
Direct Formula: $\Delta U = T \cdot 4\pi R^2 (n^{1/3} - 1)$.
Here $n=512$, so $(n^{1/3} - 1) = (8-1) = 7$.
Just multiply $T \times 4\pi R^2 \times 7$ to get the answer in one step!
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21 Question (Integer Type)
If power dissipated in a coil having total number of turns 'N', cross-section area 'A' and radius of coil 'R' when kept in a time varying magnetic field is P. Now if another coil having total number of turns '2N', cross-section area '2A' and radius of coil '3R' is placed in same time varying magnetic field, power dissipated is $\alpha P$, then value of $\alpha$ is :-
(यदि 'N' फेरों, 'A' अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और 'R' त्रिज्या वाली एक कुंडली को समय के साथ बदलने वाले चुंबकीय क्षेत्र में रखने पर व्यय शक्ति P है। अब यदि '2N' फेरों, '2A' क्षेत्रफल और '3R' त्रिज्या वाली दूसरी कुंडली को उसी चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाए, तो व्यय शक्ति $\alpha P$ है, तो $\alpha$ का मान है:)
📝 Solution / समाधान
1. Induced EMF ($\epsilon$): $\epsilon = N \cdot \pi R^2 \frac{dB}{dt}$.
2. Resistance of Coil ($r$): $r = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{N \cdot 2\pi R}{A}$.
3. Power Dissipated ($P$): $P = \frac{\epsilon^2}{r} = \frac{(N \cdot \pi R^2 \cdot \frac{dB}{dt})^2}{\rho \frac{2\pi R N}{A}} \propto \frac{N^2 R^4}{RN/A} = N \cdot R^3 \cdot A$.
4. Ratio Calculation:
$\alpha = \frac{P'}{P} = \frac{N'}{N} \cdot (\frac{R'}{R})^3 \cdot \frac{A'}{A}$
$\alpha = (2) \cdot (3)^3 \cdot (2) = 2 \cdot 27 \cdot 2 = \mathbf{108}$.
1. प्रेरित विद्युत वाहक बल ($\epsilon$) फेरों की संख्या ($N$) और क्षेत्रफल ($\pi R^2$) के समानुपाती होता है।
2. कुंडली का प्रतिरोध ($r$), तार की लंबाई ($2\pi R N$) के समानुपाती और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल ($A$) के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
3. शक्ति $P = \frac{\epsilon^2}{r}$ के सूत्र का उपयोग करने पर हमें मिलता है कि $P \propto N \cdot R^3 \cdot A$।
4. नए मान ($2N, 3R, 2A$) रखने पर: $\alpha = 2 \times 3^3 \times 2 = 2 \times 27 \times 2 = \mathbf{108}$।
⚡ Quick Tip (English)
Direct Proportionality: Power $P \propto (\text{Turns}) \times (\text{Radius})^3 \times (\text{Wire Area})$.
Just plug in the multipliers: $2 \times 3^3 \times 2 = 108$ instantly. Don't waste time deriving the whole EMF formula!
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22 Question (Integer Type)
The equation of a plane progressive wave is given by $y = 5 \cos \pi (200t - \frac{x}{150})$ where $x$ and $y$ are in cm and $t$ is in seconds. Find the wave velocity (in m/s) :-
(एक समतल प्रगामी तरंग (plane progressive wave) का समीकरण $y = 5 \cos \pi (200t - \frac{x}{150})$ द्वारा दिया गया है, जहाँ $x$ और $y$ cm में और $t$ सेकंड में हैं। तरंग का वेग (m/s में) ज्ञात कीजिए:)
📝 Solution / समाधान
1. Standard Equation: Compare given equation $y = 5 \cos (200\pi t - \frac{\pi x}{150})$ with standard wave equation $y = A \cos (\omega t - kx)$.
2. Extracting Parameters:
• Angular frequency ($\omega$) = $200\pi \text{ rad/s}$
• Wave number ($k$) = $\frac{\pi}{150} \text{ cm}^{-1}$
3. Wave Velocity Formula: $v = \frac{\omega}{k}$.
4. Calculation:
$v = \frac{200\pi}{\pi/150} = 200 \times 150 = 30000 \text{ cm/s}$.
5. Unit Conversion: $v = \frac{30000}{100} = \mathbf{300 \text{ m/s}}$.
1. दी गई तरंग समीकरण की तुलना मानक समीकरण $y = A \cos (\omega t - kx)$ से करने पर:
• $\omega = 200\pi$
• $k = \frac{\pi}{150}$ (प्रति cm में)
2. तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k}$ होता है।
3. मान रखने पर: $v = 200\pi \times \frac{150}{\pi} = 30,000 \text{ cm/s}$।
4. मीटर प्रति सेकंड में बदलने पर: $v = \mathbf{300 \text{ m/s}}$।
⚡ Quick Tip (English)
Directly use: Velocity $v = \frac{\text{Coefficient of } t}{\text{Coefficient of } x}$.
$v = \frac{200}{1/150} = 200 \times 150 = 30,000 \text{ cm/s} = 300 \text{ m/s}$.
Always check the units of $x$ (cm or m) before finalizing the integer answer!
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23 Question (Integer Type)
The dimension of $\frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ is $M^a L^b T^c$, then find the value of $a - 2b + c$ :-
(यदि $\frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ की विमा $M^a L^b T^c$ है, तो $a - 2b + c$ का मान ज्ञात कीजिए:)
📝 Solution / समाधान
1. Physical Significance: The term $\frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ represents Energy Density (Energy per unit volume).
2. Dimensional Formula:
$[\text{Energy Density}] = \frac{[\text{Energy}]}{[\text{Volume}]} = \frac{M^1 L^2 T^{-2}}{L^3} = \mathbf{M^1 L^{-1} T^{-2}}$
3. Comparing with $M^a L^b T^c$:
$a = 1, b = -1, c = -2$
4. Calculation:
$a - 2b + c = 1 - 2(-1) + (-2) = 1 + 2 - 2 = \mathbf{1}$.
1. $\frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ को ऊर्जा घनत्व (Energy Density) कहा जाता है।
2. विमीय सूत्र: ऊर्जा / आयतन = $\frac{ML^2T^{-2}}{L^3} = \mathbf{ML^{-1}T^{-2}}$।
3. तुलना करने पर: $a = 1, b = -1, c = -2$।
4. अभीष्ट मान: $1 - 2(-1) + (-2) = 1 + 2 - 2 = \mathbf{1}$।
⚡ Quick Tip (English)
Directly remember that Energy Density, Pressure, and Young's Modulus all have the same dimensions: $ML^{-1}T^{-2}$. This saves time in calculating $\epsilon_0$ and $E$ separately!
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24 Question (Integer Type)
If angular position of a particle is given by $\theta = \frac{t^4}{4} + t^2$. Find the magnitude of angular acceleration at $t = 1 \text{ s}$ (in $\text{rad/s}^2$) :-
(यदि किसी कण की कोणीय स्थिति $\theta = \frac{t^4}{4} + t^2$ द्वारा दी गई है। $t = 1 \text{ s}$ पर कोणीय त्वरण का परिमाण ($\text{rad/s}^2$ में) ज्ञात कीजिए:)
📝 Solution / समाधान
1. Angular Velocity ($\omega$): Differentiate $\theta$ w.r.t. time ($t$).
$\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^4}{4} + t^2) = \frac{4t^3}{4} + 2t = t^3 + 2t$.
2. Angular Acceleration ($\alpha$): Differentiate $\omega$ w.r.t. time ($t$).
$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 2t) = 3t^2 + 2$.
3. Calculation at $t = 1 \text{ s}$:
$\alpha = 3(1)^2 + 2 = 3 + 2 = \mathbf{5 \text{ rad/s}^2}$.
1. कोणीय वेग ($\omega$) निकालने के लिए $\theta$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\omega = t^3 + 2t$।
2. कोणीय त्वरण ($\alpha$) निकालने के लिए $\omega$ का फिर से अवकलन करने पर: $\alpha = 3t^2 + 2$।
3. $t = 1$ सेकंड पर मान रखने पर: $\alpha = 3(1) + 2 = \mathbf{5 \text{ rad/s}^2}$।
⚡ Quick Tip (English)
For any power function $\theta = at^n$, the second derivative $\alpha$ is $n(n-1)at^{n-2}$.
Here, for $t^4/4$, the acceleration part is $4 \times 3 \times (1/4) \times t^2 = 3t^2$.
For $t^2$, it is $2 \times 1 \times t^0 = 2$.
Directly write $3t^2 + 2$ and put $t=1$. Done!
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25 Question (Integer Type)
If stress at $x = \ell/3$ from bottom is $\left( \frac{W}{A} + \frac{2}{\gamma} \frac{w}{A} \right)$, then find the value of $\gamma$ :-
(यदि नीचे से $x = \ell/3$ पर प्रतिबल $\left( \frac{W}{A} + \frac{2}{\gamma} \frac{w}{A} \right)$ है, तो $\gamma$ का मान ज्ञात कीजिए:)
📝 Solution / समाधान
1. Concept: Stress at any point is the total weight supported per unit area.
2. At $x = \ell/3$ from bottom:
The cross-section supports the weight $W$ and the weight of the rod of length $\ell/3$.
3. Weight of rod part: Weight of full rod is $w$, so weight of $\ell/3$ length is $w' = \frac{w}{\ell} \times \frac{\ell}{3} = \frac{w}{3}$.
4. Calculation:
$\text{Stress} = \frac{\text{Total Weight}}{A} = \frac{W + w/3}{A} = \frac{W}{A} + \frac{w}{3A}$.
5. Comparison:
Compare $\frac{W}{A} + \frac{w}{3A}$ with the given expression $\frac{W}{A} + \frac{2w}{\gamma A}$.
$\frac{2}{\gamma} = \frac{1}{3} \Rightarrow \gamma = 2 \times 3 = \mathbf{6}$.
1. किसी बिंदु पर प्रतिबल उस बिंदु के नीचे लटके हुए कुल भार और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल का अनुपात होता है।
2. नीचे से $\ell/3$ दूरी पर भार $W$ और छड़ के $\ell/3$ भाग का भार ($w/3$) कार्य कर रहा है।
3. प्रतिबल = $\frac{W + w/3}{A} = \frac{W}{A} + \frac{w}{3A}$।
4. तुलना करने पर: $\frac{2}{\gamma} = \frac{1}{3}$। अतः $\gamma = \mathbf{6}$।
⚡ Quick Tip (English)
For a uniform rod of total weight $w$ and length $L$, the weight of a section of length $x$ is simply $(x/L)w$. Just add the external weight $W$ and divide by Area $A$ to get the stress at that point instantly!
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